PENDAHULUAN MATEMATIKA EKONOMI Dr. Luluk Kholisoh

Ruang Lingkup : Sasaran: Konsep-konsep Dasar, Hubungan Fungsional, Hubungan Nonlinear, Diferensial fungsi, Integral dan Matriks Sasaran: Mahasiswa yang menempuh matakuliah Matematika Ekonomi

Tujuan: Mahasiswa diharapkan mampu memahami Konsep-konsep Matematika dalam penerapannya pada masalah ekonomi. Kompetensi Lulusan: Mampu menyelesaikan persoalan Matematika permasalahan Ekonomi dan Bisnis.

LITERATUR Chiang A.C. 1984. Fundamental Methods Of Mathematical Economics. Third Edition. Mc. Graw-Hill Book Inc. New York Dumairy. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Edisi Ke dua belas. BPFE. Yogyakarta Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia Suryawati dkk. 2001. Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi YKPN Weber, Jean E. 1982. Mathematical Analysis: Business and Economics, Aplication, 4th ed. New York: Harper & Row 1982

RENCANA PENILAIAN Ujian Tengah Semester (UTS) 35 % Ujian Akhir Semester (UAS) 40 % Tugas Terstruktur 10 % Kuis 10 % Kehadiran 5 %

MATERI Himpunan Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma Deret dan Fungsi Fungsi Linier Fungsi Multivariat Fungsi Non Linier Derivatif Integral Matriks

SILABUS MATERI HIMPUNAN Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

Silabus Materi Sistem Bilangan Hubungan Perbandingan antar Bilangan Operasi Bilangan Operasi Tanda - Operasi Penjumlahan - Operasi Pengurangan - Operasi Perkalian - Operasi Pembagian Operasi Bilangan Pecahan - Operasi Pemadanan - Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Silabus Materi Pangkat, Akar dan Logaritma Kaidah pemangkatan bilangan Kaidah perkalian bilangan berpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat Akar Kaidah pengakaran bilangan Kaidah penjumlahan bilangan terakar Kaidah perkalian bilangan terakar Kaidah pembagian bilangan terakar Logaritma - Basis Logaritma - Kaidah-kaidah Logaritma - Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

Silabus Materi Deret Deret Hitung - Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku Deret Ukur - Suku ke-n dari DU

SILABUS MATERI FUNGSI Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear - Penggal - Simetri - Perpanjangan - Asimtot - Faktorisasi

SILABUS MATERI HUBUNGAN LINEAR Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear - Cara dwi- kordinat - Cara koordinat- lereng - Cara Penggal lereng - Cara dwi- penggal Hubungan dua garis lurus Pencarian Akar- akar persamaan linear Cara substitusi Cara eliminasi Cara determinan

SILABUS MATERI HUBUGAN NON LINEAR Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Menentukan titik maksimum atau minimum permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar - Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan analisis BEP Fungsi Eksponensial dan aplikasinya - Fungsi ongkos produksi - Perhitungan bunga majemuk

Silabus Materi Diferensial Fungsi Sederhana Kuosien Diferensi dan Derivatif Kaidah- Kaidah Diferensiasi Hakikat Derivatif dan Diferensial Derivatif dari Derivatif Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya - Fungsi menaik dan fungsi menurun - Titik ekstrim fungsi parabolik - Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik

Silabus Materi Diferensial Fungsi Majemuk Diferensial Parsial Derivatif dari Derivatif Parsial Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum Optimisasi Bersyarat - Pengganda Lagrange - Kondisi Kuhn-Tucker Homogenitas Fungsi

Silabus Materi Integral Integral tak tentu Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu Integral tertentu Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu

Silabus Materi Matriks Pengertian Matriks dan Vektor Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor Pengoperasian Matriks dan Vektor Bentuk- bentuk khas matriks Pengubahan Matriks

Himpunan Merupakan suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Obyek yang membentuk himpunan disebut anggota/elemen/unsur Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan unsur dilambangkan dengan huruf kecil

Penulisan Matematis p є A A C B A = B

Penyajian Himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing, anjing} A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤ 5} { } atau 0 . Merupakan himpunan kosong. Secara teori, himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun. Notasi U digunakan untuk himpunan universal (yang bersifat besar).

Operasi Himpunan Gabungan (Union): A U B = {x; x є A atau x є B} Irisan (Intersection): A ∩ B = {x; x є A dan x є B} Selisih: A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B} Pelengkap (Complement): A = { x; x є U tetapi x є A} = U - A

Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Matematika Ekonomi 22

Kaidah-kaidah Matematika Kaidah Indempoten: a) A U A = A b) A ∩ A = A Kadiah Asosiatif: a) (A U B) U C = A U (B U C) b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Kaidah Komutatif: a) A U B = B U A b) A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif: a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C) b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)

Kaidah – kaidah Matematika (lanjut) Kaidah Identitas: a) A U 0 = A b) A ∩ 0 = 0 c) A U U = U d) A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan: a) A U A = U b) A ∩ A = 0 c) (A) = A d) U = 0, 0 = U Kaidah De Morgan: ( A U B ) = A ∩ B b) ( A ∩ B) =A U B

Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir Sifat-sifat gabungan A U B = B U A  Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B) Matematika Ekonomi 25

s Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B Matematika Ekonomi 26

Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: S B A Matematika Ekonomi 27

Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus Matematika Ekonomi 28

A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A’ A Matematika Ekonomi 29

Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A c) A ∩ B d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’ Matematika Ekonomi 30

Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’ € 2; 5 U 2,5 {0} 3 ; 7 1 ; 2; 3; 4; 7; 8 Matematika Ekonomi 31

Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y} Matematika Ekonomi 32

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Y Matematika Ekonomi 33

Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y 3 • • • • 2 • • • • 1 • • • • 0 1 2 3 4 X PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar H4 H1 Terdapat 4 himp bag H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg mengerti} H3 = {rajin ttp krg ngerti} H4 = {rajin dan pintar} H2 H3 Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah Matematika Ekonomi 34

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: Wh = {1, 2, 3} Matematika Ekonomi 35

Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan Dh = { x / x € X} Wilayah hubungan: Wh = { y / y € Y} Matematika Ekonomi 36

SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan Nyata + dan - Khayal 2; -2; 1,1; -1,1 Nyata + dan - Khayal Akar negatip √(-4) = ± 2 Rasional Irrasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan Bulat ½; 2/7 dsb Matematika Ekonomi 38

Penggolongan Bilangan (lanjut) Bilangan nyata dapat positif maupun negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif. Bilangan rasional= bilangan bulat, pecahan terbatas Bilangan irrasional adalah bilangan pecahan yang tak terbatas.

Jenis-jenis Bilangan Lainnya Bilangan asli: bilangan bulat positif tidak termasuk nol Bilangan cacah: bilangan bulat positif atau nol Bilangan prima: bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.

Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Matematika Ekonomi 41

Operasi Bilangan Kaidah Komutatif: a + b = b + a a x b = b x a Kaidah Asosiatif: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a x b ) x c = a x ( b x c ) Kaidah Pembatalan: Jika a + c = b + c jika ac = bc (c = 0) maka a = b maka a = b Kaidah Distributif: a ( b + c ) = ab + ac

Operasi Bilangan (lanjut) Unsur Penyama: a ± 0 = a a x 1 = a a : 1 = a Kebalikan: a + (-a) = 0 a x 1/a = 1

Berbagai Operasi Tanda Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian

Operasi Bilangan Pecahan Operasi Pemadanan a/b = (axc)/(bxc) a/b = (a:c)/(b:c) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Operasi Perkalian (a/x) x (b/y) = (ab)/(xy) Operasi Pembagian: a/b : c/d = a/b x d/c a/b : c/d = x/z : y/z = x/y z = habis dibagi b dan d a/b : c/d = (a/b x z) : (c/d x z)

PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali Contoh: * 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 46 * 100.000 dapat diringkas menjadi 105 * 1/100.000 dapat diringkas menjadi 10-5 * 35.000.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 109 * 4.500.000.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 109 * 0,000.000.34 dapat diringkas menjadi 3,4 x 10-8

Kaidah-Kaidah Pemangkatan Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu x0 = 1 ( x ≠ 0) Contoh: 50 = 1 Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri x1 = x Contoh: 51 = 5 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol 0x = 0 Contoh: 05 = 0 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali (multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri x-5 = 1/x5 Contoh: 2-5 = 1/25 = 1/32 = 32-1

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya, sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan Contoh: Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi suku-suku berpangkatnya

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya (xa)b = xab Contoh: (22)3 = 22x3 = 26 =64 Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya dalam hal ini c = ab Contoh:

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilkali bilangan-bilangan berpagnkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat- pangkatnya xa….xb …..xz = xa+b+..+z Contoh: 23 x 23 = 23+3 = 26 = 64 Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan xa . ya = (xy)a Contoh: 32 x 52 = (3x5)2 = 225

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilbagi bilangan-bilanganerpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya xa : xb = xa-b Contoh: 55 : 53 = 55-3 = 52= 25 Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan xa : ya = (x/y)a Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25

AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat Akar dari suatu bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Jika xa, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat Jika xa = m, maka x dapat disebut sebagai akar pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai: jika xa = m

Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya dalam hal ini adalah basis Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi

Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan (lanjut) Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar- akarnya Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-koefisien terakar Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya

LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/ atau pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. Jika xa = m (dalam hal ini x adalah basis dan a adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis dalam bentuk: a = x log m Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga cukup ditulis log m

Kaidah-kaidah Logaritma xlog x = 1 sebab x1 = x xlog1 = 0 sebab x0 = 1 xlog xa = a sebab xa = xa xlog ma = a xlog m xlog m n = xlog m + xlog n xlog m/n = xlog m – xlog n xlog m mlog x = 1 sehingga xlog m = 1/mlog x xlog m mlog n nlog x = 1

Kasus Sederhanakan dan selesaikan: a) b) Carilah x jika log x = 1,2304! Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3!