SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING PERTEMUAN 8 SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING Oleh: J. Purwanto Ruslam SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

Pengantar Pada penarikan sampel acak sederhana (SRS) setiap unit dipilih dengan menggunakan tabel angka random. Dengan demikian kita harus menarik sampel sebanyak n kali. Untuk memperingan penarikan sampel ini maka diterapkan penarikan sampel secara sistematik, dengan hanya mengambil satu angka random saja dan lainnya akan mengikuti dengan menghitung interval-nya.

SRS vs Systematic

Deskripsi N unit dalam populasi diberi nomor urut 1 s/d N Untuk memilih sampel sebanyak n unit, kita mengambil sebuah unit secara acak dari k unit pertama dan setiap unit ke-k setelah itu Misal: k=15 dan unit pertama terpilih adalah nomor 13unit-unit berikutnya adalah 28, 43, 58, dst Pemilihan unit pertama akan menentukan sampel secara keseluruhan

PRINSIP Ada interval (k) antar unit sampel: 𝑘= 𝑁 𝑛 Unit sampel pertama dipilih secara acak Cara 1: antara 1-k (Linear Systematic Sampling) Cara 2: antara 1-N (Circular Systematic Sampling) Unit sampel berikutnya ditentukan oleh interval (k) Misal: N=60; n=10; maka 𝑘= 60 10 =6

Jadi, sampel terpilih (cara 1): No: 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56 Misal: N=60; n=10; maka 𝑘= 60 10 =6 Jadi, sampel terpilih (cara 1): No: 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56 No Mhs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 60 Tinggi (cm) 165 162 155 176 160 180 173 154 166 Jadi, systematic sampling adalah suatu teknik sampling di mana hanya unit pertama dipilih dengan bantuan angka random dan untuk mendapatkan sisanya dipilih secara otomatis menurut interval yang ditentukan sebelumnya

Linear Systematic Sampling a. Hitung interval, yaitu 𝑘= 𝑁 𝑛 b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan intervalnya (pilih AR≤𝑘) dari tabel angka random Angka random ini selanjutnya disebut angka random pertama 𝐴𝑅 1 . Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih sebagai sampel pertama. c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval: 𝐴𝑅 2 = 𝐴𝑅 1 +𝑘 𝐴𝑅 3 = 𝐴𝑅 2 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +2𝑘 𝐴𝑅 4 = 𝐴𝑅 3 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +3𝑘 … 𝐴𝑅 𝑛 = 𝐴𝑅 𝑛−1 +𝑘= 𝐴𝑅 1 + 𝑛−1 𝑘 Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai sampel. d. Jika N tidak dapat dinyatakan dalam bentuk N=nk, maka k diambil sebagai bilangan bulat yang paling dekat dengan N/n.

Circular Systematic Sampling a. Hitung interval, yaitu 𝑘= 𝑁 𝑛 b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan populasi (pilih AR≤𝑁) dari tabel angka random. Angka random ini selanjutnya disebut angka random pertama 𝐴𝑅 1 . Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih sebagai sampel pertama. c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval: 𝐴𝑅 2 = 𝐴𝑅 1 +𝑘 𝐴𝑅 3 = 𝐴𝑅 2 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +2𝑘 𝐴𝑅 4 = 𝐴𝑅 3 +𝑘= 𝐴𝑅 1 +3𝑘 … 𝐴𝑅 𝑛 = 𝐴𝑅 𝑛−1 +𝑘= 𝐴𝑅 1 + 𝑛−1 𝑘 Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai sampel. e. Jika setelah ditambahkan dengan interval, didapatkan AR yang lebih besar dengan nilai populasi (N) maka kurangkan AR tsb dengan nilai N. Unit yang nomor urutnya sama dengan AR setelah dikurangi N adalah unit yang terpilih sebagai sampel

Systematic Arrangement Selain untuk mempermudah penarikan sampel, penarikan sampel sistematik juga dapat meningkatkan efisiensi, misal dengan mengadakan pengaturan unit-unit (systematic arrangement). Contoh: Misalkan, ada populasi sebanyak 8 pegawai ingin diambil sampel sebanyak 4 orang dan diteliti mengenai loyalitas mereka terhadap instansi mereka bekerja. Misal, 𝐴𝑅 1 =2 dan 𝑘= 8 4 =2 sehingga sampel terpilihnya 2,4,6,8 Data sebelum diurutkan: No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Amin Rizal Anis Harun Risma Fahri Ika Aris Jenis Kelamin L P Masa kerja 26 23 15 10 9 24 19

Systematic Arrangement Populasi dikelompokkan berdasarkan jenis kelamin: Populasi diurutkan berdasarkan masa kerja Populasi diurutkan berdasarkan jenis kelamin dan masa kerja. No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Amin Rizal Harun Fahri Aris Anis Risma Ika Jenis Kelamin L P Masa kerja 26 23 9 19 15 10 24 No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Harun Fahri Risma Anis Aris Rizal Ika Amin Jenis Kelamin L P Masa kerja 9 10 15 19 23 24 26 No 1 2 3 4 5 6 7 8 Nama Pegawai Harun Fahri Aris Rizal Amin Risma Anis Ika Jenis Kelamin L P Masa kerja 9 19 23 26 10 15 24

Hubungan dengan Stratified Sampling Systematic sampling menstratifikasi populasi menjadi n strata yang terdiri dari: k unit pertama, k unit kedua, dst. Sampel sistematik sama precisenya dengan stratified random sampling dengan satu unit per strata yang bersesuaian k 2k 3k 4k = systematic sample = stratified random sample

Perbedaan: Systematic Sample: Unit-unit terletak pada posisi yang relatif sama dalam strata Stratified Random Sample: Posisi dalam strata ditentukan secara terpisah berdasarkan pengacakan di dalam masing-masing strata.

Hubungan dengan Cluster Sampling Dengan N=nk, populasi dibagi menjadi k unit sampling yang besar, yang masing-masing mengandung n unit original. Pelaksanaan pemilihan sampel sistematik adalah pelaksanaan pemilihan satu dari unit-unit sampling yang besar ini secara acak. Sebuah sampel sistematik adalah sebuah sampel acak sederhana dari satu unit cluster dari suatu populasi sebanyak k unit cluster.

KOMPOSISI K SAMPEL SISTEMATIK NOMOR SAMPEL 1 2 … i k 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑘 𝑦 𝑘+1 𝑦 𝑘+2 𝑦 𝑘+𝑖 𝑦 2𝑘 𝑦 𝑛−1 𝑘+1 𝑦 𝑛−1 𝑘+2 𝑦 𝑛−1 𝑘+𝑖 𝑦 𝑛𝑘 Rata-rata 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑘

PENDUGA RATA-RATA POPULASI Linear Systematic Sampling Jika N=nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik merupakan penduga unbiased dari rata-rata populasi Jika N≠nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik merupakan penduga biased dari rata-rata populasi Circular Systematic Sampling (N=nk maupun N≠nk) Rata-rata sampel akan selalu merupakan penduga unbiased

Ilustrasi Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N=nk Sistematik linear Jika diambil sampel dengan interval k=2, maka kemungkinan sampelnya: 1,3 2,4 Sistematik Sirkuler Jika diambil sampel dengan interval k=2, maka kemungkinan sampelnya: 1,3 2,4 1 2 3 4 1 2 3 4

Ilustrasi Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N≠nk Sistematik linear Jika k=3, maka kemungkinan sampelnya: 1,4 2,5 3 Sistematik Sirkuler Jika k=3, maka kemungkinan sampelnya: 1,4 4,2 2,5 5,3 3,1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

PENDUGA RATA-RATA POPULASI 𝑦 𝑖 = 1 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 rata-rata sampel untuk sampel sistematik ke-i 𝐸 𝑦 𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑦 1 + 𝑦 2 +…+ 𝑦 𝑘 (karena ada k possible sample, probability= 1 k ) = 1 𝑘 1 𝑛 𝑦 1 + 𝑦 1 +…+ 𝑦 𝑁 (jika N=nk) = 1 𝑁 𝑦 1 + 𝑦 1 +…+ 𝑦 𝑁 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑦 𝑖 = 𝑌

VARIANS PENDUGA RATA-RATA Penghitungan 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) membutuhkan informasi dari seluruh k sampel sistematik. 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 …(1) 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑁−1 𝑁 𝑆 2 − 𝑘(𝑛−1) 𝑁 𝑆 𝑤𝑠𝑦 2 … (2) 𝑆 2 = 1 𝑁−1 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 𝑆 𝑤𝑠𝑦 2 = 1 𝑘(𝑛−1) 𝑖 𝑘 𝑗 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 Varians within sampel sistematis yang besar mengindikasikan bahwa sampel tsb adalah HETEROGEN Varians within dari k sampel sistematik

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT Misal populasi: 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 periodicity Misal 2 terpilih sampel dan k=5, sehingga sampel sistematik: 2,2,2 homogen dan tidak representatif Varians within=0 dan 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) akan besar. Bagaimana mengukur kehomogenan atau keheterogenan ini ? INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT Ukuran yang menyatakan tingkat kehomogenan dalam sebuah sampel sistematik di antara pasangan unit dalam sampel sistematik yang sama adalah intraclass correlation coefficient (𝜌) 𝜌= 𝐸( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 )( 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 ) 𝐸 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT Ketika ada n unit sampling dalam sebuah sampel sistematik, maka ada 𝑛 2 = 𝑛(𝑛−1) 2 pasangan unit sampling yang berbeda yang bisa kita pilih Karena keseluruhan ada k sampel sistematis, ada 𝑘𝑛(𝑛−1) 2 pasangan yang berbeda, sehingga: 𝐸 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 = 2 𝑘𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑘 𝑗<𝑗′ 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 𝐸 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 = 𝑁−1 𝑁 1 𝑁−1 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2 = 𝑁−1 𝑁 𝑆 2

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT 𝜌= 2 𝑘𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑘 𝑗<𝑗′ 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁−1) 𝑆 2 𝑉 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌 Jika 𝜌 besar dan positif 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) besar (unit-unit homogen dalam sampel sistematik) Jika 𝜌 kecil dan (+/-)  𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) kecil (unit-unit heterogen dalam sampel sistematik) Jika 𝜌=0  𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) = 𝑣( 𝑦 𝑠𝑟𝑠 )

Latihan 1. Buktikan bahwa varians systematic 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 dapat dinyatakan dalam bentuk: 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑁−1 𝑁 𝑆 2 − 𝑘(𝑛−1) 𝑁 𝑆 𝑤𝑠𝑦 2 Keterangan: 𝑆 𝑤𝑠𝑦 2 = 1 𝑘(𝑛−1) 𝑖 𝑘 𝑗 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 𝑆 2 = 1 𝑁−1 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 ( 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 ) 2

Latihan 2. Buktikan bahwa varians systematic 𝑣 𝑦 𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 dapat dinyatakan dalam bentuk: 𝑉 𝑦 𝑠𝑦 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌 Keterangan: 𝜌= 2 𝑘𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑘 𝑗<𝑗′ 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁−1) 𝑆 2

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling