4. RELASI

4.1 Relasi Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa relasi adalah hubungan antar himpunan-himpunan. Relasi yang menghubungan 2 buah himpunan disebut relasi biner. Relasi yang menghubungkan n buah himpunan disebut relasi n-ary Misal mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut adalah relasi biner.

Albert Barry Charles Derry Internet Sist. Operasi Algoritma Gambar 4.1 Relasi antara mahasiswa dan matakuliah yang sedang ditempuh Selain menggunakan gambar 4.1, relasi juga dapat ditunjukkan dengan menggunakan tabel, seperti pada Tabel 1.1 berikut.

Tabel 4.1 Mahasiswa Nama Mahasiswa Mata kuliah Albert Internet Sistem Operasi Barry Algoritma Charles Derry Albert Barry Charles Derry Internet Sist. Oprs. Algoritma

Jika kita perhatikan Gambar 4. 1 maupun Tabel 4 Jika kita perhatikan Gambar 4.1 maupun Tabel 4.1, maka dapat diketahui bahwa mahasiswa yang bernama: Albert sedang menempuh mata kuliah Internet, dan Sistem Operasi; Barry menempuh matakuliah Internet, Sitem Operasi, dan Algoritma; Charles menempuh matakuliah Internet, Sistem Operasi, dan Algoritma. Sedangkan Derry menempuh matakuliah Algoritma.

Selain dari Gambar 4.1 dan Tabel 4.1, relasi dapat juga ditunjukkan dalam bentuk matriks berikut. Internet Sistem Operasi Algoritma Gambar 4.2 Matriks relasi antara mahasiswa dan mata kuliah yang sedang ditempuh

Pada matriks diatas, kolom menunjukkan mata kuliah yang tersedia, yaitu Internet, Sistem Operasi, dan Algoritma. Baris pada matriks menunjukkan mahasiswa mulai dari Albert sampai dengan Derry. Kolom menunjukkan matakuliah yang tersedia. Nilai 1 menunjukkan bahwa mata kuliah tersebut sedang ditempuh oleh mahasiswa tertentu. Sebaliknya nilai 0 berarti tidak sedang ditempuh.

Gambar 4.1 dan 4.2 juga dapat disajikan dalam bentuk himpunan, seperti yang ditunjukkan berikut ini. Jika A adalah himpunan mahasiswa pada Gambar 4.1, maka A = {Albert, Barry, Charles, Derry} Jika B adalah himpunan mata kuliah pada Gambar 4.1, maka B = {Internet, Sistem Operasi, Algoritma} Jika R adalah relasi yang menyatakan mahasiswa yang menempuh matakuliah, seperti pada Gambar 4.1, maka: R = {(Albert, Internet), (Albert, Sistem Operasi), (Barry,Internet), (Barry,Sistem Operasi), (Barry, Algoritma), (Charles, Internet), (Charles, Sistem Operasi), (Charles, Algoritma), (Derry, Algoritma)}

Berdasarkan contoh diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa relasi adalah himpunan pasangan terurut (ordered pairs). Elemen pertama pada pasangan terurut, dalam hal ini nama-nama mahasiswa, disebut daerah asal (domain), sedangkan elemen kedua, nama-nama mata kuliah, disebut daerah hasil (range). Relasi antara dua buah himpunan disebut relasi biner. Untuk penyederhanaan, selanjutnya relasi biner disebut relasi saja.

Dalam bentuk notasi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari perkalian kartesian A dan B, ditulis sebagai R  A x B. Hasil dari A x B menghasilkan himpunan pasangan terurut dengan jumlah anggota adalah atau dapat ditulis sebagai A x B = Jika suatu relasi R didefinisikan pada himpunan yang sama, misal A, maka R  A x A

Jika anggota relasi R adalah (a, b), maka kita menuliskan “a R b” yang artinya “a” dihubungkan dengan “b” oleh relasi R. Contoh 4.1 Diketahui A = { 1, 4, 6, 8} dan B = {2, 5, 6, 9} Tulis pasangan terurut (a,b)  R sedemikian, sehingga a < b. Penyelesaian R = {(1,2), (1,5), (1,6), (1,9), (4,5), (4,6), (4,9), (6,9), (8,9)}

4.2 Penyajian Relasi Selain menggunakan cara pemetaan (Gambar 4.1) dan matriks (Gambar 4.2), relasi dapat juga disajikan dengan graf seperti contoh berikut. Misal A = {2, 3, 4, 6, 8, 9}. Gambarkan grafik dari pasangan terurut (a, b) dari relasi R pada A jika dan hanya jika a habis membagi b. Penyelesaian: R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)} Untuk menunjukkan pasangan terurut (a,b), maka dibuat sebuah busur dari a ke b dan dikatakan a adalah simpul asal (initial vertex). Sedangkan b adalah simpul tujuan (terminal vertex)

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)}  9  3  2  6  4  8 Gambar 4.3 Graf Relasi

4.3 Relasi Inversi Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B . Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R-1 , adalah relasi dri himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan sebagai, R-1 = {(b,a)|(a,b) R} Contoh 4.2 Misal P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15} Jika relasi R dari himpunan P ke himpunan Q didefinisikan sebagai (p,q) R jika p habis membagi q, tentukan R-1

Penyelesaian P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15} R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)} R-1 = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)} Contoh 4.3 Tentukan R-1 pada contoh 4.2 dalam bentuk matriks Penyelesaian

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R dalam bentuk matriks, maka M = Jika N adalah matriks yang merepresentasikan R-1 dalam bentuk matriks, maka N = MT N = MT =

Kombinasi relasi dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip operasi himpunan, seperti operasi gabungan, irisan, selisih (difference) dan beda simetrik (symmetric difference).   Contoh 4.4 Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c, d } Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} dan S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} adalah relasi dari A ke B, tentukan: a) R  S d) S – R b) R  S e) R  S c) R – S

Penyelesaian: R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)} b) R  S = {(2,b), (2,c), (3,c)} c) R – S = {(1,a), (1,c), (3,a), (3,d)} d) S – R = {(1,d), (2,a), (3,b)} e) R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (3,a), (3,b), (3,d)}

Selain operasi gabungan dan irisan yang telah dibahas dengan cara-cara diatas, operasi gabungan dan irisan juga dapat dilakukan dengan menggunakan operasi matriks. Misal terdapat relasi R dan S. Dalam bentuk matriks relasi tersebut disimbolkan dengan MR dan MS. Komponen dari matriks MR dan MS adalah 0 dan 1. Jika MR dan MS adalah matriks yang berukuran m x n, maka gabungan R dan S, ditulis MR  MS, adalah matriks M1. Sedangkan irisan R dan S, ditulis MR MS adalah M2. Kedua matriks M1 dan M2 berukuran m x n.

Contoh 4.5 Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c } Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)} dan S = {(1,a), (2,a), (2,b), 2,c), (3,b), ( 3,c)} adalah relasi dari A ke B, tentukan: a) MR  MS b) MR  MS Penyelesaian: Dari R dan S dapat disusun:

Mengkomposisi dua buah relasi atau lebih adalah 4.5 Komposisi Relasi Mengkomposisi dua buah relasi atau lebih adalah cara lain untuk mengkombinsikan relasi. Misal terdapat dua buah relasi, yaitu R dan S. Jika R adalah relasi dari himpunan A ke B dan S adalah relasi dari himpunan B ke C, maka komposisi R dan S, ditulis SoR merupakan suatu relasi yang didefinisikan sebagai:  SoR = {(a,c)aA, cC dan terdapat bB untuk setiap (a,b)R dan (b,c)S} 

Contoh 4.6 Diketahui: A ={1, 3, 4, 7} ; B = {2, 3, 4} ; C = {a, b, c} R = {(1,2), (1,3), (3,4), (4,2), (4,3), (7,3), (7,4)} S = {(2,a), (2,c), (3,b), (4,a), (4,c)} R adalah relasi dari A ke B S adalah relasi dari B ke C Tentukan komposisi dari R dan S! Penyelesaian

Relasi RoS dalam bentuk diagram pemetaan ditunjukkan pada Gambar berikut.  1 3 4 7 2 A B C a b c ► RoS = {(1,a), (1,c), (3,a), (3,c), (4,a), (4,c), (4,b), (7,b), (7,a), (7,c)} 

Komposisi dua buah relasi juga dapat ditentukan dengan cara perkalian Boolean. Misal terdapat relasi R dan S. Dalam bentuk matriks relasi tersebut disimbolkan dengan MR dan MS. Komponen dari matriks MR dan MS adalah 0 dan 1. Komposisi R o S ditentukan dengan perkalian Boolean MR dan MS, disimbolkan dengan MR☉MS. Sedangkan komposisi S o R ditentukan dengan cara perkalian Boolean MS dan MR, disimbolkan dengan MS☉MR.

Definisi Perkalian Boolean, disimbolkan dengan ☉, dari matriks A = [aij] yang berukuran m x n dan matriks B = [bjk] yang berukuran n x p akan menghasilkan matriks C = [cik] yang berukuran m x p. Contoh 4.7 Misal R = {(1,2), (1,3), (2,2), (3,1)} dan S = {(2,a), (2,c), (3,b)}. Tentukan RoS dan SoR dengan cara perkalian Boolean!

Penyelesaian: Langkah pertama adalah menentukan bentuk matriks MR dan MS. Ingat, bahwa elemen pertama pada masing-masing relasi merupakan baris dari matriks. Sedangkan elemen kedua merupakan kolom dari matriks. Selanjutnya matriks MRdan MS ditunjukkan pada matriks berikut.

Sehingga R o S = MR ☉ MS Simbol Rn digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, yaitu Rn = R o R o R o . . . o R (sebanyak n kali) dan MRn = MR (n) Oleh karena Rn+1 = Rn o R, maka MRn+1 = MR (n) . MR

Misal R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)} adalah relasi Contoh 4.8 Misal R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3} Tentukan R2 Penyelesaian = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)} o Bila diselesaikan dengan menggunakan matriks, maka matriks yang merepresentasikan R adalah MR =

Sehingga MRn = MR (2) = MR . MR 4.6 Sifat-sifat Relasi Sifat-sifat relasi yang akan dibahas pada materi ini adalah sifat-sifat relasi biner yang didefinisikan pada satu himpunan A.

4.6.1. Refleksif Relasi R pada himpunan A bersifat refleksif jika terdapat a R a atau (a,a)  R untuk setiap aA. Relasi “Lebih besar dari atau sama dengan” termasuk relasi refleksif. Contoh 4.9 Tulis relasi R dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5} yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x2  y Penyelesaian : R = {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)}

 4 3 2 1 Gambar 4.4 Relasi refleksif

4.6.2. Simetri (Setangkup) Relasi R pada himpunan A bersifat simetri, jika terdapat a R b maka b R a untuk setiap a dan b A. Contoh 4.10 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

Penyelesaian: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (3,4) dan (4,1) tapi tidak terdapat pasangan terurut (4,3) dan (1,4) R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} Simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2) dan terdapat juga pasangan terurut (2,1) R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} Simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2) dan (1,4) dan terdapat juga pasangan terurut (2,1) dan (4,1)

R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), tapi tidak terdapat terurut (2,1), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4),(3,3), (3,4), (4,4)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), tapi tidak terdapat terurut (2,1), (3,1), (4,1), (3,2), (4,2), (4,3)

4.6.3. Anti-Simetri (tolak setangkup) Relasi R pada himpunan A bersifat anti-simetri jika a R b dan b R a, maka a = b untuk setiap a dan b A. Contoh 4.11 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} Tidak anti-simetri (tidak tolak setangkup) karena terdapat pasangan (1,2) dan (2,1) R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} terdapat pasangan (1,2) dan (2,1) serta (1,4) dan (4,1)

R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} Anti-simetri (tolak setangkup) karena tidak terdapat (1,2), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)

4.6.4. Transitif Relasi R pada himpunan A bersifat transitif atau menghantar jika a R b dan b R c, maka a R c untuk setiap a, b dan c A. Contoh 4.12 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} (1,1) dan (1,2)  (1,2) (1,2) dan (2,1)  (1,1) (1,2) dan (2,2)  (1,2) (3,4) dan (4,1)  (3,1) (3,4) dan (4,4)  (3,4) (4,1) dan (1,1)  (4,1) (4,1) dan (1,2)  (4,2) (4,4) dan (4,1)  (4,1) Karena pasangan bilangan terurut (3,1) dan (4,2) tidak terdapat dalam relasi, maka R1 adalah relasi yang tidak transitif.

R2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} (3,2) dan (2,1)  (3,1) (4,2) dan (2,1)  (4,1) (4,3) dan (3,1)  (4,1) (4,3) dan (3,2)  (4,2) Karena pasangan bilangan terurut (3,1), (4,1), dan (4,2) terdapat dalam relasi, maka R1 adalah relasi yang bersifat transitif.