7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni) Prostok-7-firda

Definisi Misal proses stokastik dengan waktu kontinu dan ruang keadaan diskrit Jika untuk maka proses disebut rantai Markov waktu kontinu. Prostok-7-firda

7.1 Proses Kelahiran Murni Definisi 1 (Shunji Osaki) Jika proses menghitung adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner dan memenuhi: maka proses dinamakan proses kelahiran murni dengan parameter Prostok-7-firda

Realisasi proses kelahiran murni sebagai proses menghitung. 4 3 2 1 t Realisasi proses kelahiran murni sebagai proses menghitung. Prostok-7-firda

Tulis peluang transisi stasioner: merupakan peluang transisi dari state i ke state j. Dengan kondisi awal (menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada interval (0,t]. Prostok-7-firda

Untuk k = 0, Sifat (2),(3) kenaikan bebas kenaikan stasioner Prostok-7-firda

Dari bentuk diperoleh : Dengan syarat awal Prostok-7-firda

Untuk Prostok-7-firda

(*) atau Dari sini diperoleh : Atau ditulis, PDB linear Prostok-7-firda

Jika maka persamaan (*) memberikan hasil (1) (2) (3) dimana Prostok-7-firda

Prostok-7-firda

Teorema 1 Untuk proses kelahiran murni dengan parameter Waktu antar kedatangan (waktu antar kelahiran) saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter Prostok-7-firda

Teorema 2 Untuk proses kelahiran murni dengan parameter jika dan hanya jika Prostok-7-firda

7.2 Contoh Proses Kelahiran Murni Proses Poisson yang mempunyai laju kelahiran konstan, Dalam hal ini, dimana, Prostok-7-firda

Pada kantor catatan sipil, pengeluaran akte Contoh Pada kantor catatan sipil, pengeluaran akte kelahiran mengikuti proses Poisson dengan laju 5,5 akte/jam. Tentukan: a. Peluang tidak ada akte yang dikeluarkan dalam 1 jam. b. Jika dalam periode 3 jam dikeluarkan 35 akte, tentukan peluang pengeluaran akte pada 1 jam terakhir jika telah dikeluarkan 25 akte pada 2 jam pertama. c. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara pengeluaran akte ke 4 dan akte ke 5 tidak lebih dari ½ jam. Prostok-7-firda

Jumlah akte yang dikeluarkan dalam waktu t. Misal Jumlah akte yang dikeluarkan dalam waktu t. a. Peluang tidak akte yang dikeluarkan dalam 1 jam. b. Prostok-7-firda

c. Jika waktu antar pengeluaran akte = X(t) Prostok-7-firda

Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter Contoh Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter Tentukan Jawab: Untuk k=0,1, gunakan persamaan (1),(2) slide 12. Prostok-7-firda

Prostok-7-firda

Untuk k=2, gunakan persamaan (3) slide 12, dimana Prostok-7-firda

Sehingga, Prostok-7-firda

Jika menyatakan jumlah populasi pada saat t, maka 2. Proses Yule Jika menyatakan jumlah populasi pada saat t, maka adalah proses kelahiran murni dengan laju Prostok-7-firda

Soal latihan Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter Tentukan Prostok-7-firda

Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiran 2. Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiran untuk k=0, 1, 2,… dimana merupakan kelajuan imigrasi dalam populasi dan β sebagai kelajuan kelahiran individu. Asumsikan bahwa N(0)=0, Tentukan Prostok-7-firda

Contoh Proses Kelahiran Murni Kelahiran bayi mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata satu kelahiran 12 menit. Tentukan : Rata-rata kelahiran per tahun. Peluang tidak adanya kelahiran dalam satu hari. Peluang pengeluaran 50 akte kelahiran diakhir periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 40 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama. Asumsikan pegawai memasukkan data akte kelahiran ke komputer setelah terkumpul 5 akte kelahiran. Berapa peluang pegawai akan memasukkan sekumpulan data baru setiap jam. Prostok-7-firda

Jawab : a) rata-rata kelahiran per tahun  Misal menyatakan banyaknya kelahiran. menyatakan waktu antar kelahiran. a) rata-rata kelahiran per tahun  kelahiran per hari. Jadi rata-rata kelahiran bayi 43.800 bayi/tahun. Prostok-7-firda

b) Peluang tidak ada kelahiran perhari Jadi dalam satu hari mustahil tidak ada kelahiran. Prostok-7-firda

c) Peluang pengeluaran 50 akte di akhir periode (3jam), dengan diketahui ada 40 akte di 2 jam pertama. Jadi pengeluaran 10 akte pada 1 jam terakhir kira kira 1,8%. Prostok-7-firda

d) Jika data akte di entri setelah terkumpul 5 data akte, berapa peluang pegawai akan mengentri sekumpulan data baru setiap jam?  Minimal 5 data akte  k=0,1,2,3,4,5 Jadi kemungkinan pegawai akan mengentri setiap jam setelah terkumpul paling sedikit 5 data akte adalah 60%. Prostok-7-firda

Definisi 1 (Shunji Osaki) 7.3 Proses Kematian Murni Definisi 1 (Shunji Osaki) Jika proses stokastik adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner, ruang keadaan , memenuhi: maka proses dinamakan proses kematian murni dengan parameter Prostok-7-firda

Realisasi proses kematian murni 4 3 2 1 t Realisasi proses kematian murni Prostok-7-firda

Tulis peluang transisi dengan kondisi awal (menyatakan peluang bahwa ada k unit yang tersisa pada interval (0,t]. Seperti proses kelahiran murni, dengan persamaan Kolmogorov diperoleh: Prostok-7-firda

Khusus jika dan Prostok-7-firda

Jika parameter kematian berbeda untuk setiap k, artinya dimana Prostok-7-firda

7.4 Contoh Kematian Murni 1. Sebuah toko bunga memiliki persediaan 18 lusin bunga mawar setiap awal pekan, rata-rata toko tersebut menjual 3 lusin mawar per hari, dengan permintaan yang mengikuti distribusi Poisson. Ketika persediaan mencapai 5 lusin, pesanan baru akan ditempatkan di awal pekan selanjutnya. Semua mawar yang tersisa di akhir pekan akan dibuang. Prostok-7-firda

Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5 lusin. Tentukan: Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5 lusin. Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hari Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari kedua Peluang tidak ada mawar yang terjual selama hari pertama Prostok-7-firda

Jawab: banyak mawar di awal pekan = 18 lusin laju permintaan = 3 per hari Peluang n unit yang tersisa selama periode t : Prostok-7-firda

a) Peluang mawar tersisa paling banyak 5 lusin Prostok-7-firda

Prostok-7-firda

b) Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hari Jadi, peluang persediaan habis dalam 3 hari adalah 0,00608

c) Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari kedua Tabel berikut meringkas perhitungan dengan diketahui µt=6 Jadi, rata-rata kurang dari 12 lusin mawar yang tersisa di akhir hari kedua n 1 … 18 Pn(2) 3,932x10-5 1,1796x10-4 2,4787x10-3 Prostok-7-firda

d) Peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama Jadi, peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama adalah 0,049 (4,9%). Prostok-7-firda

Contoh Proses Kematian Murni 2. Suatu proses kematian murni dimulai dari X(0)=3, dengan parameter kematian Tentukan Prostok-7-firda

Jawab: untuk n=0, dimana: Prostok-7-firda

Jadi Prostok-7-firda

untuk n=1, dimana: Prostok-7-firda

Jadi Prostok-7-firda

untuk n=2, dimana: Prostok-7-firda

Jadi untuk n=3, Prostok-7-firda

PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN Definisi (Shunji Osaki) Jika proses stokastik adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner , dan memenuhi: maka proses dinamakan proses kelahiran dan kematian dengan parameter

Realisasi proses kelahiran dan kematian 4 3 2 1 t Realisasi proses kelahiran dan kematian Prostok-7-firda

Misal merupakan peluang transisi dari state i ke state j . Dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov Prostok-7-firda

Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h  0 diperoleh Secara umum

Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h  0 diperoleh o(h) j+1 j j i j-1 o(h) t+h t Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h  0 diperoleh Prostok-7-firda

Blok Diagram Proses Kelahiran dan Kematian Contoh : Proses pertumbuhan linear Sehingga Prostok-7-firda

Nilai rata-rata pada saat t dan dijumlahkan terhadap j diperoleh (*) Dengan nilai awal M(0) = i , dgn asumsi X(0) = i

dan dijumlahkan terhadap j diperoleh Bukti (*) dan dijumlahkan terhadap j diperoleh Nyatakan suku pertama dalam Pij(t) Prostok-7-firda

Nyatakan suku ketiga dalam Pij(t) sehingga atau

Distribusi Prostok-7-firda