Proposisi

Pengantar  Pokok bahasan logika, atau objek dari logika adalah pernyataan-pernyataan atau kalimat yang memiliki arti tertentu dan memiliki nilai benar atau salah saja.  Contoh: Dewi belajar Badu adalah seorang mahasiswa yang pandai pada mata kuliah Logika Matematika  Kalimat pertama hanya memiliki subjek dan predikat, sedangkan kalimat kedua memiliki subjek, predikat, objek, dan keterangan. Dalam proposisi, masalah tersebut bukan merupakan masalah karena setiap kalimat atau pernyataan tetap dapat dianggap satu buah proposisi.

Pengantar  Proposisi-proposisi dapat digabungkan dan dimanipulasi sedemikian rupa dengan berbagai cara sehingga membentuk proposisi yang rumit.  Penggabungan tersebut dilakukan dengan perangkai- perangkai (connectives) sehingga disebut proposisi majemuk (compound propositions).  Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak proposisi atomic (atomic propositions).  Proposisi atomic adalah proposisi yang tak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi.

Dasar-dasar Logika  Ada suatu argumen yang dikatakan secara logis kuat, tetapi ada juga yang tidak.  Contoh: Perhatikan argumen logis berikut: (1) Jika harga gula naik, maka pabrik gula senang (2) Jika pabrik gula senang, maka petani tebu akan senang (3) Dengan demikian, jika harga gula naik, maka petani tebu senang. Pernyataan (1) dan (2) disebut premis-premis (premises) dari argumen, sedangkan pernyataan (3) berisi kesimpulan (conclusion).  Jadi, jika suatu argumen memiliki premis-premis yang benar, maka kesimpulan juga harus benar. Jika hal tersebut terjadi, maka argumen tersebut secara logis kuat (soundness).

Dasar-dasar Logika  Proposisi-proposisi dapat dinyatakan dengan huruf.  Kalimat pada contoh sebelumnya dapat diubah menjadi huruf-huruf seperti berikut: A = Harga gula naik B = Pabrik gula senang C = Petani tebu senang Maka argumen tersebut dapat ditulis sebagai berikut: (1) Jika A maka B (2) Jika B maka C (3) Jika A maka C Bentuk argumen yang memakai pola tersebut dinamakan Hypothetical Syllogism

Dasar-dasar Logika  Bentuk argumen lainnya: (1) Program komputer ini memiliki bug atau masukannya salah (2) Masukannya tidak salah (3) Dengan demikian, program komputer ini memiliki bug  Jika A = Program komputer ini memiliki bug B = Masukannya salah Maka argumen tersebut sekarang ditulis: (1) A atau B (2) Bukan B   A Bentuk argumen di atas dinamakan Disjunctive Syllogism

Dasar-dasar Logika  Modus Ponens (1) Jika lampu lalu-lintas menyala merah, maka semua kendaraan berhenti (2) Lampu lalu-lintas menyala merah (3) Dengan demikian, semua kendaraan berhenti Jika A = Lampu traffic menyala merah B = Semua kendaraan berhenti Maka bentuk argumen di atas menjadi: (1) Jika A maka B (2) A   B

Dasar-dasar Logika  Modus Tollens (1) Jika saya makan, maka saya kenyang (2) Saya tidak makan (3) Dengan demikian, saya tidak kenyang Jika A = Saya makan B = Saya kenyang Maka bentuk argumen di atas menjadi: (1) Jika A maka B (2) Bukan A   Bukan B

Proposisi  Proposisi-proposisi merupakan pernyataan-pernyataan yang ada di dalam suatu argumen  Pernyataan-pernyatan tersebut mempunyai properti yaitu suatu nilai benar atau salah  Proposisi: setiap pernyataan yang bernilai benar atau salah. Tidak bisa bernilai kedua-duanya atau nilai lainnya.  Misal pernyataan “Program komputer ini memiliki bug” adalah proposisi yang bernilai benar atau salah.

Proposisi  Persoalan yang terjadi, ternyata banyak pernyataan atau argumen yang mengandung perdebatan tentang nilai benar atau salah. Misalnya: (a) Angka 8 adalah angka keberuntungan (b) Angka 13 adalah angka sial (c) Indonesia negara yang kaya raya Ketiga pernyataan di atas ada yang berpendapat benar, ada yang menganggap salah. Dengan demikian pernyatan tersebut tak dapat dijadikan proposisi.

Proposisi  Selain itu pernyataan yang berbentuk kalimat perintah (commands) dan pertanyaan (questions) juga merupakan kalimat yang tidak dapat dijadikan proposisi.  Dengan kata lain, jika pernyataan tersebut tidak dapat dijawab benar atau salah (is it true or false?), maka ia tidak dapat berfungsi sebagai proposisi.

Variabel dan Konstanta Proposisional  Huruf-huruf A, B, dan C yang menggantikan proposisi- proposisi disebut variabel proposisional (propositionals variables), yang hanya memiliki nilai benar (True=T) atau salah (False=F) saja.  Pernyataan untuk proposisi majemuk “A atau B” maka nilai A=T atau B=F atau sebaliknya. T dan F disebut konstanta- konstanta proposisional (propositional constants).  Proposisi yang berisi satu variabel proposisional atau satu kosntanta proposisional disebut proposisi atomik.  Semua proposisi bukan atomik disebut proposisi majemuk, dan semua proposisi majemuk memiliki minimal satu perangkai logika.

Variabel dan Konstanta Proposisional  Perhatikan proposisi majemuk berikut: A atau B (A or B) A dan B(A and B) Bukan A(not A) Jadi kata-kata “atau (or)”, “dan (and)”, dan “bukan (not)” digunakan sebagai perangkai untuk merangkaikan proposisi-proposisi yang disebut sebagai perangkai dasar atau perangkai alamiah (natural connectives)

1. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi? (a) Apakah jawabanmu ini sudah benar, Bowo? (b) Bowo pergi kuliah (c) 4 adalah bilangan prima (d) Bowo, pergilah ke sekolah sekarang juga! 2. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang berupa proposisi atomik dan yang berupa proposisi majemuk? (a) Setiap orang Indonesia kaya raya (b) Bowo dan Dewi sama-sama kaya raya (c) Bowo kaya raya atau banyak hartanya

3. Beri nilai konstanta proposisional T atau F pada pernyataan berikut: (a) Yogyakarta ibukota negara Indonesia (b) Angka 8 adalah angka genap (c) Jepang berbentuk negara republik (d) Hari ini hari Senin

Tabel Kebenaran  Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana  Setiap kombinasi dari proposisi-proposisi sederhana tersebut, nilainya tergantung dari jenis perangkai atau operator logika yang digunakan untuk mengkombinasikannya.

Tabel Kebenaran  Setiap perangkai logika memiliki nilai kebenaran masing- masing.  Perangkai logika yang digunakan: PerangkaiSimbol Dan (and)  Atau (or)  Bukan (not)  Jika…maka… (if…then.../implies)  Jika dan hanya jika (if and only if) 

Konjungsi (  )  Konjungsi (conjuction) adalah kata lain dari perangkai “dan (and)”  Konjungsi: Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A dan B” yang disimbolkan dengan A  B, adalah proposisi yang bernilai benar, jika nilai A dan B keduanya benar, jika lainnya pasti salah.  Proposisi berbentuk A  B disebut konjungsi A dan B AB ABAB FFF FTF TFF TTT

Disjungsi (  )  Disjungsi (disjunction) adalah kata lain dari perangkai “atau (or)”  Disjungsi: Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi A atau B, yang disimbolkan dengan A  B, adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A dan B keduanya salah, jika lainnya pasti benar.  Proposisi berbentuk A  B disebut disjungsi A dan B AB ABAB FFF FTT TFT TTT

Negasi (  )  Negasi (negation) digunakan untuk menggantikan perangkai “bukan (not)”  Negasi: Misalnya A adalah proposisi. Pernyataan “Ini bukan A” adalah proposisi yang lain, disebut negasi dari A. Negasi A diberi simbol  A, dan dibaca “bukan A”  Perangkai  disebut perangkai unary karena hanya dapat merangkai satu variabel proposisional. A AA FT TF

Implikasi (  )  Implikasi (implication) menggantikan perangkai “jika…maka… (if…then…)”.  Implikasi: Misalnya A dan B adalah proposisi. Implikasi “ A implikasi B”, yang disimbolkan dengan A  B adalah proposisi bernilai salah, jika nilai A bernilai benar dan B bernilai salah, dan jika lainnya pasti benar.  Pada implikasi ini A disebut antecedent (hipotesis atau premis) dan B disebut consequence (kesimpulan). AB ABAB FFT FTT TFF TTT

Ekuivalensi (  )  Ekuivalensi (equivalence) menggambarkan perangkai “jika dan hanya jika (if and only if)”.  Ekuivalensi: Misalnya A dan B adalah proposisi. Ekuivalensi “A jika dan hanya jika B” yang disimbolkan dengan A  B, adalah proposisi yang bernilai benar jika nilai A dan B bernilai sama, baik benar atau salah. Jika nilai A dan B tidak sama (baik benar atau salah) maka nilai proposisi A  B salah. AB ABAB FFT FTF TFF TTT

Perangkai “Bukan Dan” ( | )  Bukan Dan (not and): Misalnya A dan B adalah proposisi, Proposisi “A bukan dan B”, yang disimbolkan dengan A|B, adalah proposisi yang bernilai salah jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar, dan jika lainnya pasti benar.  Nilai kebenaran A|B terlihat berbalik dari A  B ABA|B FFT FTT TFT TTF

Perangkai “Bukan Atau (  )” atau NOR  Bukan Atau (not or) atau Nor: Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A bukan atau B” yang disimbolkan dengan A  B, adalah proposisi yang bernilai benar jika nilai A bernilai salah dan B bernilai salah, dan jika lainnya pasti salah.  Nilai kebenaran A  B terlihat berbalik dari A  B AB ABAB FFT FTF TFF TTF

Perangkai XOR  XOR (exclusive or): Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A xor B”, yang disimbolkan dengan A  B adalah bernilai benar jika A dan B tidak bernilai sama, jika A dan B bernilai sama, maka A  B pasti salah.  Nilai kebenaran A  B terlihat berbalik dari A  B AB ABAB FFF FTT TFT TTF

1. Gunakan variabel proposisional A untuk “Bowo kaya raya” dan B untuk “Bowo hidup bahagia”. Lalu ubah pernyataan berikut menjadi bentuk logika: (1) Bowo tidak kaya (2) Bowo kaya raya dan hidup bahagia (3) Bowo kaya raya atau tidak hidup bahagia (4) Jika Bowo kaya raya, maka ia hidup bahagia (5) Bowo hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya raya

2. Beri variabel proposisional terserah Anda, dan ubah pernyataan berikut menjadi bentuk logika! (1) Jika Bowo ada di Malioboro, maka Dewi juga ada di Malioboro (2) Pintu rumah Dewi berwarna merah atau coklat (3) Berita itu tidak menyenangkan (4) Bowo akan datang jika ia mempunyai kesempatan (5) Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai 3. Jawab pertanyaan berikut dengan tabel kebenaran! (1) Apakah nilai kebenaran dari A  A? (2) Apakah nilai kebenaran dari A  A dan A  A? (3) Apakah A  B mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan B  A? (4) Apakah (A  B)  C mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan A  (B  C)?