10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

10.1 Pendahuluan Kombinatorial (combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusi yang ingin diperoleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. Tiga contoh berikut dapat memperjelas masalah yang menyangkut Kombinatorial i) Misal nomor plat mosil di negar X terdiri atas 5 angka yang diikuti oleh 5 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?

ii) Sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter Boleh berupa huruf besar atau kecil atau angka. Berapa banyak sandi-lewat yang dapat dibuat? iii) Dari 20 anggota fraksi X di DPR akan dibentuk sebuah komisi yang beranggotakan 65orang. Berapa banyak cara memilih anggota komisi Bila seorang anggota yang bernama A harus termasuk didalam komisi tersebut? Cara konvensional yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan persoalan diatas adalah dengan mengenumerasi seluruh kemungkinan jawaban.

Mengenumerasi berarti mencacah atau menghitung satu per satu setiap kemungkinan jawaban. Jika jumlah objek sedikit kita masih mungkin melakukan enumerasi terhadap kemungkinan jawaban yang ada. Tapi jika ukutan objeknya besar maka melakukan enumerasi terhadap seluruh kemungkinan jawaban menjadi tidak efisien, karena membutuhkan waktu yang banyak, ditambah lagi kemungkinan kesalahan lebih besar. Untuk ukuran objek yang besar kita perlu menggunakan suatu cara yang lebih efisien. Cara tsb. dikenal dengan “Kombinatorial”.

10.2 Percobaan Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan (experiment). Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati. Contoh-contoh percobaan dan hasilnya. Melempar dadu Hasil percobaan yang mungkin dari proses melempar dadu adalah 6 kemungkinan, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. ii) Melempar koin Hasil percobaan melempar sebuah koin menghasilkan 2 kemungkinan, yaitu muka atau belakang.

iii) Memilih 5 orang wakil dari 100 mahasiswa. Hasil yang diperoleh adalah perwakilan yang beranggotakan 5 orang mahasiswa. Kemungkinan perwakilan yang dapat dibentuk cukup besar, sehingga sulit untu dilakukan proses enumerasi. iv) Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d, e dan tidak boleh ada huruf yang berulang. Hasil yang diperoleh adalah untai (string) yang tersusun atas huruf-huruf tersebut, misalnya, abcde, abced, acdeb, …

10.3 Kaidah dasar menghitung Dua buah kaidah dasar menghitung dalam bidang kombinatorial adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kaidah Perkalian (Rule of Product) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil q kemungkinan jawaban), maka bila percobaan 1 dan 2 dilakukan akan terdapat p x q hasil percobaan (menghasilkan p x q kemungkinan jawaban).

Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil q kemungkinan jawaban), maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan ( percobaan 1 atau percobaan 2), maka terdapat p + q kemungkinan hasil percobaan (menghasilkan p + q kemungkinan jawaban).

Perhatikan kata dan pada aturan perkalian serta kata atau pada aturan penjumlahan. Kedua kata ini adalah kunci untuk mengidentifikasi apakah suatu persoalan menghitung diselesaikan dengan kaidah perkalian atau penjumlahan. Kaidah perkalian berarti menyatakan bahwa kedua percobaan dilakukan secara simultan atar serentak. Sedangkan kaidah penjumlahan kedua percoban dilakukan secxara tidak simultan. Contoh berikut memperlihatkan penggunaan kaidah perkalian dan penjumlahan untuk menghitung pengaturan objek-objek. Kita harus dapat menganalisis kapan menggunakan kaidah perkalian dan kapan menggunakan kaidah penjumlahan.

Contoh 6. 1 Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, yaitu, nasi goreng, roti, soto ayam, sate, dan sop. Sedangkan minuman tersedia susu, kopi, dan teh. Jika setiap orang boleh memesan satu jenis makanan dan satu jenis minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan? Penyelesaian: Untuk membantu penyelesaian, kita dapat menggunakan diagram pohon untuk menentukan jumlah pasangan makanan dan minuman

Nasi goreng Roti Soto ayam Sate Sop Jumlah pasangan = 15 Kemungkinan makanan dan minuman yang dapat dipesan adalah: Nasi goreng dan susu Nasi goreng dan kopi Nasi goreng dan teh Roti dan susu Roti dan kopi Roti dan teh Soto ayam dan susu Soto ayam dan kopi Soto ayam dan teh Sate ayam dan susu Sate ayam dan kopi Sate ayam dan teh Sop ayam dan susu Sop ayam dan kopi Sop ayam dan teh Nasi goreng Sate Soto ayam Sop Roti susu kopi teh Jumlah pasangan = 15

Contoh 6. 2 Jabatan Ketua Himpunan dpt diduduki oleh mahasiswa angkatan 1997 atau angkatan 1998. Jika terdapat 45 orang mahasiswa angkatan 1997 dan 52 orang mahasiswa angkatan 1998, berapa cara memilih jabatan ketua himpunan? Penyelesaian: Jabatan yang tersedia hanya satu yang dapat diduduki oleh salah satu mahasiswa dari kedua angkatan. Karena ada 45 mahasiswa dari angkatan 1997, berarti ada 45 kemungkinan untuk memilih mahasiswa dari angkatan tersebut. Sedangkan untuk memilih salah satu mahasiswa angkatan 1998 terdapat 52 kemungkinan. Jadi jumlah cara untuk memilih salah satu dari kedua angkatan tsb. adalah 45 + 52 = 97 cara

Contoh 6. 3 Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 orang mahasiswa dan 3 orang mahasiswi. Berapa jumlah cara untuk memilih seorang mahasiswa dan seorang mahasiswi dari kelompok tersebut? Penyelesaian: Misal mahasiswa terdiri dari A, B, C, dan D. Mahasiswi terdiri dari K, L, dan M. Jumlah cara untukj memilih seorang mahasiswa dan seorang mahasiswi adalah 4 x 3 = 12 cara.

Contoh 6. 4 Misal himpunan A = { a, b, c} dan himpunan B = {1, 2, 3}. Berapa banyak pasangan terurut (ordered pairs) yang dapat dibentuk dari anggota himpunan A dan anggota himpunan B? Penyelesaian: Jumlah pasangan yang dapat dibentuk adalah: R = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} atau 3 x 3 = 9 cara

10.4 Perluasan Kaidah menghitung Kaidak perkalian dan penjumlahan dapat diperluas hingga mengandung lebih dari dua percobaan. Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, … , pn, hasil percobaan yang mungkin terjadi yang dalam hal ini pi tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah: p1 x p2 x p1 x p2 x … x pn untuk kaidah perkalian. p1 + p2 + p1 + p2 +…+ pn untuk kaidah penjumlahan

Contoh 6. 5 Jika terdapat 3 pertanyaan yang masing-masing mempunyai 2 pilihan jawaban (S atau B), berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat? Penyelesian: B S 23 = 8 kemungkinan

Contoh 6. 6 Berapa banyak kata yang terdiri dari 5 huruf yang dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d, e jika tidak boleh ada huruf yang berulang. b) Berapa banyak kata yang terdiri dari 5 huruf yang dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d, e jika pengulangan huruf diperbolehkan. c) Berapa banyak jumlah kata pada a) yang diawali huruf a. d) Berapa banyak jumlah kata pada a) yang tidak diawali huruf a. Penyelesaian:

5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 kata yang mungkin b) 5 cara d) 4 cara 3 cara 2 cara 1 cara 4 x 4 x 3 x 2 x 1 = 96 kata yang mungkin