TRANSFORMASI LINIER
DEFINISI Jika T : V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka T dinamakan transformasi linier (linear transformation) jika T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. T(ku) = kT(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
SIFAT TRANFORMASI LINIER, KERNEL DAN JANGKAUAN Teorema. Jika T : V → W adalah transformasi linier, maka : T(0) = 0 T(-v) = -T(v) untuk semua u di dalam V T(v – w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w di dalam V. Definisi : Jika T : V → W adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di dalam V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh ker(T). Himpunan semua vektor di dalam W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di dalam V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T).
Teorema Jika T : V → W adalah transformasi linier maka : Kernel dari T adalah subruang dari V Jangkauan dari T adalah subruang dari W. Definisi : Jika T : V → W adalah transformasi linier, maka dimensi dari jangkauan dari T dinamakan rank dari T dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas (nullity) dari T. Teorema Dimensi Jika T : V → W adalah transformasi linier dari sebuah ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka (rank dari T) + (nulitas dari T) = n
TRANSFORMASI LINIER DARI Rn KE Rm
Dengan membandingkan (2) dan (3) maka akan menghasilkan T(x) = Ax, yakni T adalah perkalian oleh A. Kita menyebut matriks A di dalam (1) sebagai matriks standar untuk T.
MATRIKS TRANSFORMASI LINIER Matriks T terhadap basis B dan B’ : A = matriks T terhadap basis B dan B’ = [ [ T(u1)]B’ | [T(u2)]B’ | … | [T(un)]B’ ]
KESERUPAAN Definisi : Jika A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar, dikatakan bahwa B serupa dengan A (B is similar to A) jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga B = P-1AP dimana P adalah matriks transisi dari basis baru ke basis lama.