Modul Matematika Diskrit TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

MATEMATIKA DISKRIT 3 SKS Modul Matematika Diskrit MATEMATIKA DISKRIT 3 SKS Buku Teks : Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H Rossen, McGraw-Hill Penilaian : Tugas Kuis UTS UAS Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Materi Kuliah Logic and proofs, Sets, and Functions Algorithms, integers, and matrices Mathematical reasoning, induction, and recursion Counting Advanced counting techniques Relations Graphs Trees

LOGIKA DAN EKUIVALENSI LOGIKA Modul Matematika Diskrit LOGIKA DAN EKUIVALENSI LOGIKA Bab 1 Sub-bab 1.1 – 1.2 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Tujuan Instruksional khusus Modul Matematika Diskrit Tujuan Instruksional khusus Memahami tentang logika proposional Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Logika Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning) Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: Dino adalah mahasiswa UB. Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai. Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar. Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Proposisi Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh bukan proposisi: Berapa harga tiket ke Malaysia? Silakan duduk. Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit MACAM PROPOSISI Kalimat deklaratif yang tidak memuat penghubung disebut proposisi (primitif ) ex: 2 adalah Bilangan bulat Kalimat deklaratif yg memuat penghubung ”atau” “dan” ”jika maka” disebut proposisi majemuk (compound) Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tenis Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Konektif Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif Macam-macam konektif: NOT (negasi) Simbol  atau ‾ AND (konjungsi) Simbol ^ Inclusive OR (disjungsi) Simbol v Exclusive OR Simbol  Implikasi Simbol  Implikasi ganda Simbol 

Tabel Kebenaran Negasi p p 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa p = Jono bukan seorang mahasiswa

Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q 1 Contoh : p = Harimau adalah binatang buas q = Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q salah. Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q

Tabel Kebenaran Disjungsi (Inclusive OR) p q p v q 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum

Tabel Kebenaran Exclusive Disjunction “Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer" p q p  q 1

Kalimat majemuk (compound statements) p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai. Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: (pq)^r p(q^r) (p)( q) (pq)^( r) dll

Tingkat Presedensi Urutan penyelesaian logika jika menemui proposisi majemuk

Tabel Kebenaran (p   r)  q Modul Matematika Diskrit Tabel Kebenaran (p   r)  q p q r (p   r)  q 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit HITUNG Lengkapilah tabel dibawah ini serta berikan kesimpulan akhirnya p q p q p q (p q) v (p q) 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Implikasi Disebut juga proposisi kondisional (conditional proposition) dan berbentuk “jika p maka q” Notasi simboliknya : p  q Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p  q = Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Tabel Kebenaran Implikasi Modul Matematika Diskrit Tabel Kebenaran Implikasi p q p  q 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Hypotesa dan konklusi Dalam implikasi p  q p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent, conclusion) Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Perlu dan Cukup Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Tabel kebenaran Implikasi Ganda (Biimplikasi) Modul Matematika Diskrit Tabel kebenaran Implikasi Ganda (Biimplikasi) Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” Notasi simboliknya p  q p q p  q (p  q) ^ (q  p) 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

KESIMPULAN BIIMPLIKASI Modul Matematika Diskrit KESIMPULAN BIIMPLIKASI p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p) p q p  q (p  q) ^ (q  p) 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Ekivalensi Logikal Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p  q p q  p  q p  q 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Konversi dan Inversi Konversi dari p  q adalah q  p Inversi dari p  q adalah  p   q Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!! Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Kontrapositif kontrapositif dari proposisi p  q adalah  q   p Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p  q dan  q   p ekivalen??? Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit JAWAB KONTRAPOSITIF p  q dan  q   p ekivalen p q p  q  q   p 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p  T  p p  F  p Identity laws p  T  T p  F  F Domination laws p  p  p p  p  p Idempotent laws (p)  p Double negation laws p  q  q  p p  q  q  p Commutative laws (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  ( q  r) Associative laws Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Distributive laws (p  q)  ( p)  ( q) (p  q)  ( p)  ( q) De Morgan’s laws p  (p  q)  p p  (p  q)  p Absorption laws p  p  T p  p  F Negation laws Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Ekivalensi Logika Ekivalensi p  q  p  q p  q  q  p p  q  p  q p  q  (p  q) (p  q)  p   q (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r Ekivalensi p  q  (p  q)  (q  p) p  q  p  q p  q  (p  q)  (p  q) (p  q)  p   q Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Tautology Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun Contoh: p  p v q p q p  p v q 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Kontradiksi Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun Contoh : p ^  p p p ^ ( p) 1 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Latihan-1 Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran dari proposisi tsb. 7 merupakan sebuah bilangan prima. Jangan lakukan. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2. x + y = y + x untuk setiap pasangan dari bilangan real x dan y Jam berapa sekarang? Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Modul Matematika Diskrit Latihan 2. Tentukan apakah (p  (p  q))  q adalah tautologi? 3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p  q b. (p  q)  (p  q) c. (p  q) ^ (q  p) Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS