MATEMATIKA EKONOMI Matematika Ekonomi

MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJA Oleh R. SIHOTANG

Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks. Ruang Lingkup: Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks. Sasaran: Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang diterima pada Program Pascasarjana Fakultas pertanian Univ. Jambi Tujuan : Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-kosep Matematika dalam penerap-annya pada persoalan ekonomi. Matematika Ekonomi

Kompetensi: Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika. Literatur Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta Matematika Ekonomi

Materi: Pegertian Matematika Himpunan Sistem Bilangan Fungsi Fungsi Linear Fungsi non Linear Diferensial Fungsi Sederhana Diferensial Fungsi Majemuk Aljabar Matriks Matematika Ekonomi

MATEMATIKA ASAL KATA Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari mate- matika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa. Berpikir matematis: Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika. Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa. Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat. Matematika Ekonomi

Ekonomi dan Matematika Ekonomi Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya: Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif-kan logika dengan asumsi-asumsinya. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng-gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel) Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi Matematika Ekonomi

Kelemahannya pendekatan matematis: Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran. Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika. b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: (1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis Matematika Ekonomi

Kesimpulan dari bahasa adalah: (2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi. Kesimpulan dari bahasa adalah: 1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi. 2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model) Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi dan Ekonometrika Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan penerapan statistika untuk menganalisa data ekonomi. Data Ekonomi Ekonometrika Matematika Deduksi - Model Induksi Mengolah data - Mengambil kesimpulan Matematika Ekonomi

Metode Ekonometrika Teori Diterima Teori Ditolak Teori Disempurnakan Teori Ekonomi Fakta deduktif Model atau Hipotesis Data Ekonomi Satu Persamaan Metode Ekonometrika Teori Statistika Simultan induktif Teori Diterima Teori Ditolak Teori Disempurnakan Matematika Ekonomi

Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas: Menurut “Social Science Research Council, seorang ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan (gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus (limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial differentiation, integrasi multipel). Matematika Ekonomi

• Definisi, pencatatan dan himpunan khas • Himpunan Bagian HIMPUNAN = GUGUS Silabus: • Definisi, pencatatan dan himpunan khas • Himpunan Bagian • Pengolahan (operasi) himpunan • Hubungan Matematika Ekonomi

Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) 1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambang-kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, … Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete-rusnya. Matematika Ekonomi

Dua cara pencatatan suatu himpunan Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4. b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri Matematika Ekonomi

Himpunan khas: Cara pendefinisian sifat yang lain: J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5 Himpunan khas: Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø” Matematika Ekonomi

Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam” Perhatikan: P = { 2, 3, 4 } Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3 € P 4 € P. Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam” Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P dicatat 5 € P 6 € P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”. Matematika Ekonomi

2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya. Matematika Ekonomi

Memilih semua unsur: X4 = { 1, 2, 3, 4 } Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 } Himpunan bagiannya: Memilih semua unsur: X4 = { 1, 2, 3, 4 } Memilih tiga unsur X31 = { 1, 2, 3 } X32 = { 1, 2, 4 } X33 = { 1, 3, 4 } X34 = { 2, 3, 4 } c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 } X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 } X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 } Matematika Ekonomi

d. Memilih 1 unsur: X11 = { 1 }; X12 = { 2 } X13 = { 3 }; X14 = { 4 } e. Tanpa memilih X0 = { } Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n 1 elemen: 1  2 himp bag 2 elemen: 1 2 1  4 himp bag 3 elemen: 1 3 3 1  8 himp bag 4 elemen: 1 4 6 4 1  16 himp bag 5 elemen: 1 5 10 10 5 1  32 himp bag Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton Matematika Ekonomi

Latihan: Matematika Ekonomi

3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x ε A atau x ε B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 } Matematika Ekonomi

Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir Sifat-sifat gabungan A U B = B U A  Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B) Matematika Ekonomi

s Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B Matematika Ekonomi

Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: S B A Matematika Ekonomi

Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus Matematika Ekonomi

A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A’ A Matematika Ekonomi

Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A c) A ∩ B d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’ Matematika Ekonomi

Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’ € Matematika Ekonomi

Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y} Matematika Ekonomi

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Y Matematika Ekonomi

Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y 3 • • • • 2 • • • • 1 • • • • 0 1 2 3 4 X PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar H4 H1 Terdapat 4 himp bag H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg mengerti} H3 = {rajin ttp krg ngerti} H4 = {rajin dan pintar} H2 H3 Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah Matematika Ekonomi

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: Wh = {1, 2, 3} Matematika Ekonomi

Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan Dh = { x / x € X} Daerah hubungan: Wh = { y / y € Y} Matematika Ekonomi

SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan Nyata + dan - Khayal 2; -2; 1,1; -1,1 Nyata + dan - Khayal Akar negatip √(-4) = ± 2 Rasional Irrasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮ Bulat 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan ½; 2/7 dsb Matematika Ekonomi

Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Matematika Ekonomi

Fungsi Silabus: Pengertian Macam-macam fungsi Fungsi Linear Fungsi non Linear Matematika Ekonomi

Pengertian Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y) Dengan denah Venn sbb: X Y ◦ • Hubungan 1 - 1 Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR Matematika Ekonomi

Perhatikan juga contoh berikut: Y y = f(x) •x1 •x2 •xn •y1 •yn y1 • • X x2 x1 Y X Gambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x) Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y. Matematika Ekonomi

Transformasi mengandung pengertian yang luas: a Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll. Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x  y simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergan-tungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain ditransformasi aturan Matematika Ekonomi

Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y } Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat) Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf). Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y } Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya? Jawaban: Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 }  Dapat Anda jelaskan ? Matematika Ekonomi

Macam-macam fungsi Bentuk umumnya : y = a + bx + cx2 + . . . + pxn a. Fungsi Polinomial Bentuk umumnya : y = a + bx + cx2 + . . . + pxn y y Slope = a1 case c < 0 a0 a0 x x Konstan, jika n = 0 y = a Linear, jika n = 1 y = a + bx Kuadratik, jika n = 2 Y = c + bx + ax2 Matematika Ekonomi

Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4 • Titik maksimum Titik belok • Fungsi kubik y = d + cx + bx2 + ax3 x y Titik maksimum Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4 Titik minimum x Matematika Ekonomi

c. Fungsi eksponensial dan logaritma b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola. y Hiperbola: y = (a/x), a > 0 x c. Fungsi eksponensial dan logaritma y y Logaritmay = logbx Eksponensial y = bx , b>1 Matematika Ekonomi x x

Fungsi linear • Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi • Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi – misalnya: - antara permintaan dan harga - invests dan tingkat bunga - konsumsi dan pendapatan nasional, dll • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1. Matematika Ekonomi

Diturunkan dari fungsi polinom: y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx  bentuk umum Contoh: y = 4 + 2x  a = 4 b = 2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y b = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis. Matematika Ekonomi

a0 = penggal garis y = ax + b, pada sumbu y yaitu nilai y saat x = 0 y = a + bx a a a ∆y = a ∆x b x 1 2 3 4 5 a = lereng garis atau ∆y/Δx pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a Matematika Ekonomi

Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan. Latihan-1 y = 4 + 2x Penggan garis pada sumbu y = …………… Lereng garis : x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a - 1 2 3 4 Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0 Matematika Ekonomi

Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x ∆y/∆x = a -3 -2 -1 1 2 3 4 Mendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0 Matematika Ekonomi

Kurva (grafik) fungsi Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama. Misalkan y = 36 – 4x maka a = -4  (∆y/∆x) b = 36 Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y Hubungkan kedua titik penggal tersebut Titik penggal pada sb x,  y = .., x = … atau titik (…, …) Titik penggal pada sb y,  x = .., y = … atau titik (…, …) Matematika Ekonomi

Grafik: y = 36 – 4x y • (0,36) (9,0) x • Grafik dengan lereng negatip 18 (9,0) x • 9 Grafik dengan lereng negatip Matematika Ekonomi

Gambarkan grafik fungsi: y = 2 + 4x Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2) Gambarkan : y y = 2 + 4x x Grafik dengan lereng positip Matematika Ekonomi

Fungsi non linear (kuadratik) Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi • Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2. Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 ± 0, yaitu y = a0 + a1x + a2x2 atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c Matematika Ekonomi

y = 8 – 2x – x2 a = -1 (a < 0) b = -2 c = 8  Contoh - 2: y = 2x2 + 4x + 6 a = 2  a > 0) b = 4 c = 2 Contoh - 1: y = 8 – 2x – x2 a = -1 (a < 0) b = -2 c = 8  Menggambar kurva non linear kuadratik Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2x – x2 atau 8 – 2x – x2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas- ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil Matematika Ekonomi

2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 - x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x) (2 - x)(4 + x) = 0 (2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0) 2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b ± √ b2 – 4ac x = -------------------- 2c - (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8) x = ------------------------------- 2(-1) Matematika Ekonomi

y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8) x1 = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0) x2 = (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi. b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8) c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari. Matematika Ekonomi

ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9.  titik maks (-1, 9). Mencari titik maks atau min Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b2 – 4ac x = ----, dan y = ----------- 2a -4a c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min y = 8 – 2x – x2, a < 0  berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1 ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9.  titik maks (-1, 9). Matematika Ekonomi

Gambarkan kurvanya: y x Matematika Ekonomi

Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: y = 2x2 + 4x + 6 Latihan: Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: y = 2x2 + 4x + 6 Matematika Ekonomi

Lanjutan: Matematika Ekonomi

Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit Berimpit: Jika dan hanya jika a1 = a2 b1= b2 y1 = a1x + b1 y2 = a2x + b2 b. Sejajar y1 = a1x + b1 Sejajar: Jika dan hanya jika a1 = a2 b1 ± b2 y2 = a2x + b2 Matematika Ekonomi

Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan. c. Berpotongan Berpotongan: jika dan hanya jika a1 ± a2 b1 ± b2 y Ttk pot y1 = a1x + b1 • y2 = a2x + b2 x Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan. y Ttk pot Ttk pot y1 = a1x + b1 a<0 • • a>0 y2 = ax2 + bx + c x Matematika Ekonomi

Mencari titik potong dua garis/persamaan Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3 x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3  y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10 Matematika Ekonomi

Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10) Matematika Ekonomi

Mencari titik potong dua garis/persamaan (1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut. Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x) (1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4y = 23  4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4) Matematika Ekonomi

Latihan Matematika Ekonomi

Penggunaan Fungsi dalam ekonomi Analisa keseimbangan pasar Keseimbangan pasar – Model linear Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Qd – Qs = 0) Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd turun. Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Qs juga naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol. Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?

Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat: Qd = Qs Qd = a - bP, slope (-) (1) Qs = -c + dP, slope (+) (2) Gambarnya sbb: Qd, Qs Qs = -c + dP a Qd = a -bP keseimbangan Q0 P P1 P0 -c Matematika Ekonomi

Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb: Qs = 4 – p2 dan Qd = 4P – 1 Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)} 4 QS = 4p - 1 1,3 keseimbangan 3 QD = 4 - p2 1 2 -1 Matematika Ekonomi

Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut Latihan Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi

Keseimbangan pasar (lanjutan) Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika: Qd = 16 – P2 , (Permintaan) QS = 2p2 – 4p (penawaran) Gambarkan grafiknya Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Matematika Ekonomi

Pada saat keseimbangan maka Qd = Qs Penjelasan Pada saat keseimbangan maka Qd = Qs 16 – p2 = 2p2 – 4p 3p2 – 4p – 16 = 0 Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 dengan bentuk umum: ax2 + bx + c Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16 p = (-b) ± (b2 – 4ac)1/2 = 4 ± (16 + 192)1/2 = 3.1 (+) 6 2a Qd = 16 – p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4 Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1) Matematika Ekonomi

Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2 Grafik: Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2 Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0) b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p2 = 0 (p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4) Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0 p = (b2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16 atau pada titik (0, 16) Matematika Ekonomi

Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0) Grafik: Fungsi penawaran Qs = 2p2 – 4p Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0) Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p2 – 4p = 0 Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0) (p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2) c. Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 4/4 = 1 p = (b2 – 4ac)/(-4a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2) Matematika Ekonomi

Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Grafik: p Qs 4 3.1 Qd 2 Q 6.4 16 Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, terjadi ekses demand Matematika Ekonomi

Penjelasan ekses suplai dan ekses demand Qs Qd Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun. Matematika Ekonomi

DERIFATIF 1.1. Pengantar Kalkulus Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang Fungsi b. Derivatif atau fungsi turunan c. Derivatif parsial dan d. Integral sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya: 1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan Matematika Ekonomi

2) Elastisitas produksi 3) Biaya total, rata-rata dan marginal 4) Revenue dan marginal revenue 5) Maksimisasi penerimaan dan profit. 6) dll. Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan. Matematika Ekonomi

Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: 1.2. Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: 2x2 + x - 3 h(x) = ------------- x - 1 Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per-hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu) Matematika Ekonomi

h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 3 Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-tornya, sehingga: (x-1)(2x +3) 2x2 + x - 3 h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 3 x - 1 x - 1 x2 - 4 Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x - 2 tentu, untuk x = 2 Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: (x – 2)(x + 2) g(x) = ------------------- = x + 2. x - 2 Matematika Ekonomi

◦ Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Fungsi h tdk terdefi-nisi di titik x = 1. Un-tuk x ± 1, maka h(x) = 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mende-kati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5. y ◦ 5 y = h(x) 4 3 2 1 1 x Matematika Ekonomi

Keadaan di atas, dicatat sebagai: 2x2 + x - 3 lim h(x) = lim ------------- = 5 x1 x1 x - 1 Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1 Demikian juga dengan g(x) di atas x2 - 4 lim g(x) = lim --------- = 4. x - 2 x  2 x  2 Matematika Ekonomi

1.3. Pengertian Derivatif Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka: lim f(x) = f(x0) x -> x0 Y Y = f(x) diskontinu pada x = x0 Y = f(x) Y=f(x) y1 ◦ y0 y0 • Y = f(x) kontinu pada x = x0 • x x0 x0

Sehingga f(x) – f(x0) --- = x – x0 Maka lim --- = ------------------ x – x0 Maka lim f(x) – f(x0) disebut dengan derivatif ------------- x->x0 x – x0 fungsi f dititik x = x0. Dengan mensubstitusi Δx = x – x0, atau x = x0 + Δx, untuk x-> x0 berarti Δx ->0 atau: f(x0 + Δx) – f(x0) ------------------- merupakan derivatif atau turunan fungsi. lim Δx Δx-> 0 Matematika Ekonomi

y = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy. Atau dengan penjelasan lain: Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x). Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) Y = f(x) y1 Δy y ◦ Δx x x1 ------------------------------- Δx Matematika Ekonomi

lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1, dititik x = 5. Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. y + Δy = (x + Δx)2 + 1 y = x2 + 1 (-) ----------------------------- Δx->0 Δx Matematika Ekonomi

Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1 = x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1 = 2xΔx + (Δx)2 Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2 Δx = 2x + Δx lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10. Δx ->0 Δx ->0 Δx ->0 Matematika Ekonomi

1.4 Rules of differentiation Rule 1: Derivative of a power function. Fungsi pangkat (power function) y = xn y + Δy = (x + Δx)n Δy = (x + Δx)n – y Δy = (x + Δx)n – xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3 Matematika Ekonomi

C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n unsur. C(i, n)  adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya. C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur. C(i, n) = ------------ n ! i ! – (n – i)! Matematika Ekonomi

Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1 Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + C(2, n)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + ………… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn Matematika Ekonomi

C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1 C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n C(2, n) = ---------- = ---------------------- = ----- n! n.n-1.n-2.n-3. … 0!(n-0)! 1.n.n-1.n-2.n-3 … n! n.n-1.n-2.n-3. … 1.n-1.n-2.n-3. … 1!(n-1)! n.n-1.n-2.n-3. … n! n.n-1 2!(n-2)! 2 2.1.n-2.n-3. … Matematika Ekonomi

= xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + Δy = (x + Δx)n – xn = xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn = nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 2 Matematika Ekonomi

Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1 Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx + C(3, n)xn-3Δx2 + C(4, n)xn-4Δx3 + …… + C(n-1, n)xΔxn-2 Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1 Contoh: y = x5 dy/dx = 5x4. Mis C = total cost, q = output C = q3 derivatif C thdp q = 3q2. Δx 2 Δy Δx Δx->0 Δx->0 Matematika Ekonomi

Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx)2 Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2 = c2xΔx + c(Δx)2 ---- = c2x + c(Δx) lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x Δy Δx Δy Δx Δx->0 Δx->0 Matematika Ekonomi

Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Contoh: y =f(x) = 5x2 f’(x) = 5(2)x2-1 = 10x Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x) Matematika Ekonomi

Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37 g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3 Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih. f(x) = g(x) – h(x); f’(x) = g’(x) – h’(x). Contoh: Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37 g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3 h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2 k(x) = -3x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3. Matematika Ekonomi

Rule 4: derivative of a product Fungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x) Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3x2; h’(x) = 6x Jadi: f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2 = 18x2 + 18x. Matematika Ekonomi

Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)]2 Matematika Ekonomi

Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1). g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1 f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3) = 2x + 2 – 2x + 3 = 5 (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 Matematika Ekonomi

Fungsi berantai bentuknya sbb: Rule 6: Chain rule Fungsi berantai bentuknya sbb: y = f(u) u = g(x) y = f(z) z = g(u) u = h(x) Dicari derivatif y ter-hadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx. Dari y = f(u) didpt dy/du, Maka Dengan cara yang sama dy du dz dy = du dz dx dx dy dy . du = dx du dx Matematika Ekonomi

Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2x Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15y Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif). Matematika Ekonomi

dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15 Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit. Matematika Ekonomi

Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x. v = t2 dan t = 1 + x2 v = t2,  dv/dt = 2t t = 1 + x2  dt/dx = 2x u = s3,  du/ds = 3s2 s = 1 – x  ds/dx = -1 y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1) = 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx – 3t) Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) – 3(1+x2)] Matematika Ekonomi

Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx. Dengan memakai derivatif fungsi berantai: Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3 dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2. Matematika Ekonomi

1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d2y/dx2 atau f”(x) atau y” Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2. Matematika Ekonomi

f(x) = x3 – 3x2 + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0 f’(x) = 3x2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0 f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6 f”’(x) = 6 f”’(2) = 6. Matematika Ekonomi

Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. 1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain sK = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung. Matematika Ekonomi

∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y) Δx->0 Δx->0 Δx Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai: ∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y) Δy->0 Δy->0 Δy Matematika Ekonomi

Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka: ∂z/∂x = 6x + 2y ∂z/∂y = 2x – 10y Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb: Contoh: z = (x2 + y2)3 ∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2 ∂z/∂y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2 ∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2) ∂2z/∂y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2) ∂2z/ ∂y∂x = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24xy(x2 + y2). ∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2) Matematika Ekonomi

Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx. Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxx Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy fyx = fxy Matematika Ekonomi

Maksimum dan minimum y = f(x) akan maksimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 < 0 akan minimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 > 0 akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dan d2y/dx2 = 0 Matematika Ekonomi

Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x1, x2), Maksimum jika fx = 0, fy = 0 fxx < 0, fyy < 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0 Minimum jika fx = 0, fy = 0 fxx > 0, fyy > 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0 Matematika Ekonomi

d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu-nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x2 + 4x + 7 dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2 d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11 Matematika Ekonomi

Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x2 + xy + y2 – 3x + 2 Langkah-langkah: Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3 fy = x + 2y fx = 0 dan fy = 0 2x + y – 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x. Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0 atau 3x = 6  x = 2. Matematika Ekonomi

Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min c. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1 fxxfyy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1). d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2 = 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1. Matematika Ekonomi

1.5 Aplikasi dalam ekonomi 1) Elastisitas permintaan Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga. Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya p = harga komoditi; Δp = perubahannya Matematika Ekonomi

Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- -- dp q Δp/p Δp/p Δp q Δq/q Δq/q Δq p dq p Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- -- dp q Δp/p Δp/p Δp q Δp->0 Δp->0 Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p2 hitung elastisitas permintaan jika harga berku- rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi- nisi dan derivatif. Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0.05 berarti p1 = 2 – 2(0.05) = 1.9 Untuk p1 = 1.9, q = 18-2p2 = 18 – 2(1.9)2 = 10.78 untuk p = 2, q = 18-2p2 = 18 – 2(2)2 = 10. berarti Δq = 10.78 – 10 = 0.78 Matematika Ekonomi

Jadi menurut pendekatan definisi Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56 Dengan pendekatan derivatif: Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q pada harga p = 2, dan q = 10 Ed = -4(2)2/10 = - 1.60. Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol, sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadi hasilnya sedikit berbeda. Matematika Ekonomi

2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dTC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk. Matematika Ekonomi

Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah ini. Rp AC MC VC q Matematika Ekonomi

Contoh dengan data diskrit q FC VC TC AC MC 1 100 10 110 110.00 - 2 16 116 58.00 6.0 3 21 121 40.33 5.0 4 26 126 31.50 5 30 130 26.00 4.0 6 36 136 22.67 7 45.5 145.5 20.78 9.5 8 56 156 19.50 10.5 9 72 172 19.10 Matematika Ekonomi

Contoh dengan fungsi biaya: TC = q3 – 4q2 + 10q + 75. FC = Fixed Cost = 75 VC = Variable cost = q3 – 4q2 + 10q MC = dTC/dq = 3q2 – 8q + 10 AC = TC/q = q2 – 4q + 10 + 75/q Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga. Matematika Ekonomi

Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq. Contoh: Fungsi Permintaan; 3q + 2p = 9; 2p = 9 – 3q atau p = 9/2 – (3/2)q TR = p.q atau TR = (9/2)q – (3/2)q2 MR = dTR/dq = 9/2 – 3q TR, MR, p MR 4 p Matematika Ekonomi q 3

Jumlah produk yang yang akan diproduksi 4). Fungsi produksi Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh profit maksimum, adalah: Jumlah produk yang yang akan diproduksi Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb. Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI. Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat penggunaan input-input dengan tingkat output. Matematika Ekonomi

Fungsi produksi, secara umum dicatat: Q = f(x1, x2, x3, … , xn) Q = output xi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , n Apabila dalam proses produksi: Q = f(x1/x2, x3, … , xn) input xI ditambah terus menerus, sedangkan input lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada hukum : The law of diminishing returns “bila satu macam input, terus ditambah penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya negatip”. Matematika Ekonomi

Tambahan output yg didapat karena adanya tam-bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM). PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , n Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat di-turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR). PR = Q/x = f(x)/x Jadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di-tunjukkan oleh kurva berikut ini. Matematika Ekonomi

Q X1 Q PM PR 1 10 - 2 24 14 12 3 39 15 13 4 52 5 61 9 12.2 6 66 11 7 9.4 8 64 -2 Q = PT x PM PR x Matematika Ekonomi

Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb: a. Pada saat PT maks, maka PM = 0 b. Pada saat PR maks, maka PM = PR c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT. Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk Q = f(x1, x2)/x3, … , xN) atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut: Matematika Ekonomi

z x1 x2 Matematika Ekonomi

MATRIKS Matriks artinya sesuatu yang membungkus, yang dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun dalam bentuk “baris” dan “lajur”. Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan (rata-rata) Kota A B C J 4000 4500 4200 F 4600 M 4700 Bulan

Dengan catatan matriks ditulis: A = 4000 4500 4200 4200 4600 4500 4200 4600 4500 4200 4700 450 B = 1 0 1 4 3 2 6 7 9 8 4 1 Bentuk umum sbb: A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n : : : am1 am2 … amn Notasi matriks m x n Untuk menyederhanakan dicatat: A = (aij)mxn m = jlh baris; n = jlh lajur m x n Matematika Ekonomi

Vektor. Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor lajur. Vektor baris: a’ = (4, 1, 3, 2) x’ = (x1, x2, … xn) Vektor lajur b = 1 u = u1 2 u2 8 : un Matematika Ekonomi

Beberapa macam bentuk matriks Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n 4 1 7 7 1 2 3 4 5 1 4 1 b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji 4 x 4 B = 1 0 7 7 0 5 4 3 7 4 2 5 7 3 5 1 4 X 4 Matematika Ekonomi

Matriks diagonal D = (dij)n.n, dij = 0 utk i±j D = 3 0 0 0 5 0 0 0 7 e. Matriks segitiga atas, jika semua unsur di-bawah diagonal uta-ma bernilai nol. G = 9 9 3 0 1 3 0 0 2 d. Matriks identitas I4 = 1 0 0 0 I2 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Diagonal utama Jika semua unsur di-atas diagonal utama bernilai 0 = matriks segitiga bawah. Matematika Ekonomi

Penggandaan matriks Matriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.q jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B atau n = p Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur dimana setiap baris A digandakan dengan setiap lajur B seperti contoh berikut ini. 1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2 Matematika Ekonomi

1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2 (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1 1 1 1 2 (2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1 (6 7 8) 8 , (6 7 8) -1 = = Matematika Ekonomi

(1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2) (1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2) (2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2) (6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2) 9 0 Contoh-2: 3 6 0 x = 25 12 4 2 -7 y 63 17 z 3x + 6y 4x + 2y – 7z Matematika Ekonomi

Putaran matriks Matriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A’ = (a’ij)n.m, sedangkan (a’ij) = (aji). Contoh: A = 3 8 -9  A’ = 3 1 1 0 4 8 0 -9 4 D = 1 0 4  D’ = 1 0 4 0 3 7 0 3 7 4 7 2 4 7 2 Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi

Determinan matriks segi Determinan suatu matriks segi adalah hasil per-kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur, dengan tanda tertentu. Determinan matriks A dicatat det (A) atau |A| Contoh: Hitung determinan matiks A = 2 7 4 9 det A = (2)(9) – (4)(7) = - 10. - + Matematika Ekonomi

Contoh: Cari determinan matriks C = 1 4 7 Cara Sarrus, yaitu dengan 8 2 5 menambahkan lajur 1 sebagai 6 9 3 lajur 4 dan lajur 2 sebagai lajur 5 kemudian mengganda- kan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur. det C = 1 4 7 1 4 8 2 5 8 2 6 9 3 6 9 - - - + + + = (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9) -(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405 Matematika Ekonomi

Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per-kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur. Pangkat suatu matriks Suatu matriks segi dengan determinan ± 0, maka matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak penuh atau dinamakan matriks singular. Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat penuh. Matematika Ekonomi

Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak matriksnya yang memiliki det ± 0. Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka 2 -1 1 p(A) ± 3, dan kemungkinan 4 1 1 p(A) = 2. Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya: A11 = 1 1 , det A11 = - 3 ± 0. Berarti p(A) = 2 2 -1 3 x 3 Matematika Ekonomi

Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 0 Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai-nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks penyusun persamaan linear dimaksud harus ± 0 atau tak singular atau berpangkat penuh. Misal: 7x1 - 3x2 – 3x3 = 7 2x1 + 4x2 + x3 = 0 - 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 0 0 -2 -1 x3 2 Matematika Ekonomi

Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 ± 0, berarti nilai-nilai x 2 4 1 dari persamaan li- 0 -2 -1 near itu dpt dicari. Matematika Ekonomi

Persamaan linear dan jawabannya. Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari. Contoh: 5x1 + 3x2 = 30 7x1 – x2 – x3 = 0 6x1 – 2x2 = 8 10x1 – 2x2 + x3 = 8 6x1 + 3x2 – 2x3 = 7 Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2 Matematika Ekonomi

Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks. Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi-nan, sistem persamaan linear di atas dapat diselesai-kan dg cara sbb: Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks. 5 3 x1 = 30 6 -2 x2 8 b. Cari nilai det (A); det A = -28 c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d. A d x Matematika Ekonomi

e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140 8 -2 d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d. A2 = 5 30 6 8 e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140 Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A. x1 = -84/-28 = 3; x2 = -140/-28 = 5. Matematika Ekonomi

Contoh 2 7 -1 -1 x1 = 0 10 -2 1 x2 8 6 3 -2 x3 7 Det A = -61 Det A1 = 0 -1 -1 = -61; det A2 = 7 0 -1 = -183 8 -2 1 10 8 1 7 3 -2 6 7 -2 det A3 = 7 -1 0 = -244 10 -2 8 6 3 7 Matematika Ekonomi

Jika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatat sebagai A-1. Cara mencari matriks kebalikan: Dengan matriks adjoint Dengan transformasi penyapuan Dengan metode Doolittle Matematika Ekonomi

Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjoint Umpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang-kah-langkah sbb: Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3) Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak matriks dengan menghapus baris p dan lajur q. Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut: Matematika Ekonomi

Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 – a23a32 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 – a23a32 a32 a33 Minor unsur a12 = M12 = a21 a23 = a21a33 – a23a31 a31 a33 Minor unsur a13 = M13 = a21 a22 a31 a32 = a21a32 – a22a31 Matematika Ekonomi

Minor unsur a21 = M21 = a12 a13 = a12a33 – a13a32 a32 a33 Matematika Ekonomi

Minor unsur a31 = M31 = a12 a13 = a12a23 – a13a22 a21 a23 Matematika Ekonomi

Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+qMpq. b. Kofaktor. Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+qMpq. Kofaktor unsur a11 = α11 = (-1)1+1M11 Kofaktor unsur a12 = α12 = (-1)1+2M12 Kofaktor unsur a13 = α13 = (-1)1+3M13 Kofaktor unsur a21 = α21 = (-1)2+1M21 Kofaktor unsur a22 = α22 = (-1)2+2M22 Kofaktor unsur a23 = α23 = (-1)2+3M23 Kofaktor unsur a31 = α31 = (-1)3+1M31 Kofaktor unsur a32 = α32 = (-1)3+2M32 Kofaktor unsur a33 = α33 = (-1)3+3M33 Matematika Ekonomi

Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah matriks kofaktor K: α21 α22 α23 α31 α32 α33 Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K’) Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal tanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap, tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya negatip. Matematika Ekonomi

Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1 0 3 2 3 0 7 0 3 2 3 0 7 Matriks kofaktor K= 3 2 0 2 0 3 = 21 6 -9 0 7 3 7 3 0 -7 31 3 - 1 -1 4 -1 4 1 5 -8 12 0 7 3 7 3 0 - - 1 -1 4 -1 4 1 3 2 0 2 0 3 - Matematika Ekonomi

Matriks putaran K = K’ = 21 -7 5 6 31 -8 -9 3 12 6 31 -8 -9 3 12 Matriks kebalikan = B-1 adalah: (1/det B)K’. det (B) = (4)(3)(7) + (1)(2)(3) + (0)(0)(-1) -(-1)(3)(3) -(2)(0)(4) -(1)(0)(7) = 99 B-1 = (1/99) 21 -7 5 6 31 -8 -9 3 12 Matematika Ekonomi

Untuk menguji, maka: BB-1 = I 4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0 4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0 0 3 2 6/99 31/99 -8/99 0 1 0 3 0 7 -9/99 3/99 12/99 0 0 1 B B-1 I Matematika Ekonomi

PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis) Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in-dustri (atau sektor industri). Artinya output suatu sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me-menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah, pembentukan modal maupun ekspor. Sementara Input suatu sektor dibeli dari sektor lain. Matematika Ekonomi

Dengan notasi matriks model I-O sbb: AX + F = X atau X - AX = F atau Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan persamaan linear. Contoh analisis input-output Leontief. Dengan notasi matriks model I-O sbb: AX + F = X atau X - AX = F atau (I – A)X = F pers matriks Leontief X = F/(I - A) = (I – A)-1. F. Matriks kebalikan Leontief Matematika Ekonomi

Mis. Sektor perekonomian terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind, dan Jasa. 0.2 0.3 0.2 , x1 , 10 0.4 0.1 0.2 x2 5 0.1 0.3 0.2 x3 6 x F A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0.2 0.3 0.2 = 0.8 -0.3 -0.2 0.4 0.1 0.2 -0.4 0.9 -0.2 0.1 0.3 0.2 -0.1 -0.3 0.8 - I A 0.8 -0.3 -0.2 -0.4 0.9 -0.2 -0.1 -0.3 0.8 x1 = 10 x2 5 x3 6 F I - A x Matematika Ekonomi

Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah M11 -M12 M13 = 0.66 0.34 0.21 , K’ = 0.66 0.30 0.24 -M21 M22 -M23 0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24 M31 -M32 M33 0.24 0.24 0.60 0.21 0.27 0.60 (I – A)-1 = 1/(det (I-A)K’ = 1 0.66 0.30 0.24 0.34 0.62 0.24 0.21 0.27 0.60 = 1.72 0.78 0.63 = R 0.90 1.61 0.63 0.55 0.70 1.56 0.384 Matematika Ekonomi

Arti dari matriks kebalikan Leontief: Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per-mintaan akhir akan produk Industri, harus diproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian. R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin-taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk-si sebanyak 0.68 satuan produk Industri. Matematika Ekonomi

Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu: (I – A)-1F X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84 x2 1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68 x3 1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36 Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira-malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing-masing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36 satuan. Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di-naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui. Matematika Ekonomi

Penutup: TUHAN Maha Tahu tetapi tidak pernah memberi tahu ! Mengapa ? Manusia sudah diberi pikiran dan manusia adalah makhluk yang berpikir. Matematika merupakan sarana berpikir Matematika Ekonomi