BAB V (lanjutan) VEKTOR

Vektor-vektor Ortogonal Jika u dan v adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus (dapat ditulis dengan lambang u⊥v), maka kedua vektor tersebut dikatakan vektor-vektor ortogonal, dan memenuhi u . v = 0. Sifat-sifat Hasil Kali Titik Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada bidang atau ruang, dan k adalah skalar, maka berlaku: u.v = v.u u.(v + w) = uv + uw c) k(u.v) = (ku).v = u.(kv) d) v.v > 0 jika v  0 e) v.v = 0 jika v = 0

Tempatkan vektor u dan a sedemikian rupa sehingga Proyeksi Ortogonal Tempatkan vektor u dan a sedemikian rupa sehingga titik-titik awalnya berimpit di Q. Selanjutnya vektor u dapat diuraikan sebagai berikut. –w1 Tarik garis tegak lurus dari ujung u yang memotong a. Gambar vektor w1 dari titik Q yang berimpit dengan a sampai ke perpotongan grs tegak lurus dgn a. w2 u Q w1 a Gambarkan vektor –w1 dari ujung vektor u Gambarkan vektor w2 dengan cara menarik garis dari Q tegak lurus vektor –w1

Vektor w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Vektor w1 disebut proyeksi ortogonal u pada a atau komponen vektor u sepanjang a atau ditulis dalam notasi, w1 = proja u Q w1 w2 u a –w1 Vektor w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Karena w2 = u – w1 , maka w2 = u – proja u

Rumus-rumus untuk menghitung proja u dan u – proja u Jika u dan a adalah vektor-vektor pada bidang atau ruang dan jika a  0, maka berlaku, (komponen ortogonal u sepanjang a) (komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)

Contoh 5.8 Misal u = (2, –1, 3) dan a = (4, –1, 2). Tentukan komponen vektor u sepanjang a dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Penyelesaian u.a = (2, –1, 3).(4, –1, 2) = (2)(4) + (–1)(–1) + (3)(2) = 15 ||a||2 = 42 + (–1)2 + 22 = 21 Komponen vektor u sepanjang a adalah

Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a adalah

Jarak antara sebuah titik koordinat ke garis n(a, b) Misal Q(x1, y1) adalah sembarang titik pada garis ax + by + c = 0 dan titik awal vektor n(a, b) berimpit dengan titik Q. y x D Tarik garis proyeksi dari titik P0 ⊥ n dan garis ax+by+c = 0.  P0(x0, y0)  Q(x1, y1) Tarik garis dari Q yg sejajar n ke perpotongan garis proyeksi. Garis yang didapat adalah D, yaitu jarak terdekat titik P0 ke garis ax + by + c = 0 D ax + by + c = 0

Tentukan jarak D dari titik (1, 2) ke garis 3x + 4y – 6 = 0 Contoh 5.9 Tentukan jarak D dari titik (1, 2) ke garis 3x + 4y – 6 = 0 (1, 2) x 3x + 4y – 6 = 0  D y O Penyelesaian x0 = 1 , y0 = 2 a = 3, b = 4, c = –6

Latihan I. Diketahui a) u = (6, 2) , a = (3, –9) b) u = (–1, –2) , a = (–2, 3) c) u = (3, 1, –7) , a = ( 1, 0, 5) d) u = (1, 0, 0) , a = (4, 3, 8) Tentukan: Proyeksi ortogonal u pada a Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a II. Tentukan lima buah vektor yang ortogonal terhadap (– 5, 4, 6) III. Tentukan jarak antara garis dan titik koordinat berikut a) 4x + 3y + 4 = 0 ; (–3, 1) b) y = 1 – 4 x + 2 ; (2, –5)

5.11 Hasil Kali Silang Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 3, maka hasil kali silang (cross product) u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai, (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) Ingat! Hasil kali silang hanya dapat diterapkan pada ruang (dimensi 3) Untuk mendapatkan rumus diatas, lakukan langkah-langkah sebagai berikut. Bentuk matriks 2 baris 3 kolom. Baris pertama terdiri dari komponen vektor u. Sedangkan baris kedua berasal dari vektor v.

Tentukan u x v jika u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian 2. Untuk menghitung komponen pertama, hilangkan kolom pertama dari matriks dan hitung determinannya 3. Untuk menghitung komponen kedua, hilangkan kolom kedua dari matriks dan hitung determinannya. 4. Untuk menghitung komponen ketiga, hilangkan kolom ketiga dari matriks dan hitung determinannya. Contoh 5.9 Tentukan u x v jika u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian u x v

Latihan Misal u = (3, 2, –1), v = (0, 2, –3) , w = (2, 6, 7) Tentukan a) v x w b) u x (v x w) c) u x (v –2w) d) (u x v) x (v x w) 2. Tentukan hasil kali triple skalar u.(v x w) dari vektor-vektor: a) u = (–1, 2, 4), v = (3, 4, –2), w = (–1, 2, 5) b) u = (3, –1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5, –1, 2)

Hubungan antara Hasil Kali Silang dan Hasil Kali Titik Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 3, maka berlaku: u . (u x v) = 0 (u x v adalah ortogonal terhadap u) v . (u x v) = 0 (u x v adalah ortogonal terhadap v) ||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 (identitas Lagrange) u x (v x w) = (u.w) v – (u.v) w (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang) e) (u x v) x w = (u.w) v – (v.w) u (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang)

Sifat-sifat Hasil Kali Silang Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 3, dan k adalah sembarang skalar, maka berlaku: (u x v) = – (v x u) b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) c) (u + v) x w) = (u x w) + (v x w) d) k (u x v) = (ku) x v = u x (kv) e) u x 0 = 0 x u = 0 f) u x u = 0

Vektor Satuan Standar Perhatikan vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Masing-masing vektor tersebut memiliki panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu-sumbu koordinat. z y x Vektor-vektor ini disebut vektor satuan standar pd ruang dimensi 3. Setiap vektor v = (v1, v2, v3) pada ruang dimensi 3 dapat dinyatakan dalam bentuk i, j, dan k, karena kita dapat menulis: k (0, 0, 1) j i (0, 1, 0) (1, 0, 0) v = (v1, v2, v3) = v1(1, 0, 0) + v2(0, 1, 0) + v3(0, 0, 1) = v1 i + v2 j + v3 k

Hasil kali silang vektor satuan Telah diketahui bahwa: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Didapat: i x j j x i i x i

Hasil perkalian silang dua vektor yang searah jarum jam adalah vektor berikutnya. Hasil perkalian silang dua vektor yang berlawanan jarum jam adalah negatif vektor berikutnya. Hasil perkalian silang dua buah venktor yang sama adalah nol. Hasil perkalian silang lainnya dapat dilihat pada diagram berikut. i k j i x k = –j k x i = j j x k = i k x j = –i j x j = 0 k x k = 0

Bentuk Determinan dari Hasil Kali Silang u x v Contoh 5.10 Jika u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) u x v

Interpretasi Geometrik dari Hasil Kali Silang ||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 (identitas Lagrange) Telah dijelaskan sebelumnya bahwa, u . v = ||u|| ||v|| cos  Jadi (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2 Sehingga didapat ||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2) = ||u||2 ||v||2 sin2 (1) 0    , maka sin   0, sehingga dari (1) dapat ditulis, ||u x v|| = ||u|| ||v|| sin  (2)

Dari gambar diketahui bahwa ||u|| ||v|| sin  adalah luas jajaran genjang yang dibatasi oleh u dan v Dari persamaan (2) dapat disimpulkan bahwa, ||u x v|| adalah luas jajaran genjang yang dibatasi oleh u dan v

Tentukan luas segitiga yang dibatasi P1(2, 2, 0) P3(0, 4, 3) P2(–1, 0, 2) x z y Contoh 5.11 Tentukan luas segitiga yang dibatasi oleh titik P1(2, 2, 0), P2(–1, 0, 2), dan P3(0, 4, 3) Penyelesaian = ((–1 – 2), (0 – 2), (2 – 0) = (–3, –2, 2) = ((0 – 2), (4 – 2), (3 – 0) = (–2, 2, 3)

Tentukan luas segitiga yang dibatasi P1(2, 2, 0) P3(0, 4, 3) P2(–1, 0, 2) x z y Contoh 5.11 Tentukan luas segitiga yang dibatasi oleh titik P1(2, 2, 0), P2(–1, 0, 2), dan P3(0, 4, 3) Penyelesaian = (–10, 5, –10) Luas segitiga = ½ (15) = 15/2

Definisi Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka u . ( v x w ) disebut sebagai hasil kali tripel skalar (scalar triple product) Dikatahui bahwa u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) Hasil kali tripel skalar u . ( v x w ) didapat,

Contoh 5.12 Hitung hasil kali tripel skalar u.( v x w ) dari vektor-vektor u = 3i – 2j – 5k , v = 3i – 2j – 5k , w = 3i – 2j – 5k Penyelesaian = 3(20) + 2(2) – 5(3) = 60 + 4 –15 = 49

Interpretasi Geometrik dari Determinan Nilai absolut dari = luas jajaran genjang pada ruang berdimensi 2 yang dibatasi oleh vektor-vektor u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) y (v1, v2) v (u1, u2) u x O

pada ruang berdimensi 3 yang dibatasi oleh vektor-vektor = luas balok genjang Nilai absolut dari pada ruang berdimensi 3 yang dibatasi oleh vektor-vektor u = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) , dan w = (w1, w2, w3) z (u1, u2, u3) u (w1, w2, w3) (v1, v2, v3) w v y O x

Jika vektor-vektor u = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) , dan w = (w1, w2, w3) mempunyai titik awal yang sama, maka vektor-vektor tersebut akan terletak pad bidang yang sama jika dan hanya jika, Contoh 5.13 Tentukan apakah u, v, dan w berikut terletak pada bidang yang sama jika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berhimpitan. u = (–1, –6, 1), v = (3, 0, –2), w = (5, –4, 0)

Penyelesaian = 8+60 – 12 = 56 Jadi vektor-vektor u, v, dan w tidak terletak pada bidang yang sama karena u . ( v x w)

Latihan Tentukan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi: a) u = (2, 5), v = (4, 3) b) u = (1, 4), v = (5, 1) 2. Tentukan volume balok genjang dengan sisi-sisi: a) u = (2, –6, 2), v = (0, 4, –2), w = (2, 2, –4) b) u = (3, 1, 2), v = (4, 5, 1), w = (1, 2, 4)

5. 12 Garis dan Bidang Pada Ruang berdimensi 3 P(x, y, z) P0(x0, y0, z0) n z y x Persamaan bidang yang melewati titik P0(x0, y0, z0) dan memiliki vektor n(a, b, c) adalah, a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Persamaan diatas adalah bentuk normal-titik dari persamaan suatu bidang

Persamaan bidang yang melewati tiga titik P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), dan P3(x3, y3, z3). ax + by + cz + d = 0 Contoh 5.13 Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik (3, –1, 7) dan tegak lurus thd. vektor n (4, 2, –5) dengan menggunakan persamaan bidang bentuk normal-titik ! Penyelesaian: 3(x – 4) –1(y – 2) + 7(z +5) = 0 3x – 12 – y + 2 + 7z + 35 = 0 3x – y + 7z + 25 = 0

Contoh 5.14 Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik-titik P1(1, 2, –1), P2(2, 3, 1), dan P3 (3, –1, 2)! Penyelesaian a + 2b – c + d = 0 2a + 3b + c + d = 0 3a – b + 2c + d = 0 Didapat: a = 9 b = 1 c = –5 d = –16 Maka persamaan bidang adalah: 9x + y – 5z – 16 = 0

5.12.2 Bentuk vektor dari Persamaan Suatu Bidang Misal r = (x, y, z) adalah vektor dari titik asal ke titik P(x, y, z). Misal r0(x0, y0, z0) adalah vektor dari titik asal ke titik P0(x0, y0, z0) dan misal n(a, b, c) adalah vektor normal terhadap bidang. r –r0 P(x, y, z) P0(x0, y0, z0) n z y x r r0 Maka P0P = r – r0, sehingga n . (r – r0) = 0 Persamaan diatas adalah bentuk vektor dari persamaan suatu bidang

Contoh 5.15 Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik (6, 3, –4) dan tegak lurus terhadap vektor n(–1, 2, 5) dengan menggunakan persamaan bidang bentuk vektor! Penyelesaian: n . (r – r0) = 0  (–1, 2, 5). (x – 6, y – 3, z + 4) = 0 –1(x – 6) + 2(y – 3) + 5(z + 4)= 0 –x + 6 + 2y – 6 + 5z + 20 = 0 –x + 2y + 5z + 20 = 0 x – 2y – 5z – 20 = 0

5.12.3 Garis pada Ruang Berdimensi 3 z y x P0(x0,y0,z0) P(x, y, z) l (a, b, c) v P0P = tv (x – x0, y – y0 , z – z0) = (ta, tb, tc) x – x0 = ta, y – y0 = tb, z – z0 = tc x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc (- < t < +) Persamaan diatas adalah persamaan parametrik untuk l Contoh 5.16 Tentukan persamaan parametrik garis yang melewati titik (1, 2, –3) dan sejajar dengan vektor v(4, 5, –7)! Penyelesaian: x = 1+ 4t, y = 2 + 5t, z = –3 – 7t (- < t < +)

Contoh 5.17 Tentukan persamaan parametrik untuk garis l yang melewati titik-titik P1(2, 4, –1) dan P2(5, 0, 7). Dimanakah garis tersebut memotong bidang xy? Penyelesaian: P1P2 = (3, –4, 8) sejajar dengan l dan P1(2, 4, –1) terletak pada l, maka garis l mempunyai persamaan-persamaan parametrik: x = 2 + 3t, y = 4 – 4t, z = –1 + 8t (- < t < +) Garis tersebut memotong bidang xy pada z = –1 + 8t = 0. Didapat t = 1/8. Substitusi nilai t ke persamaan parametrik, ddidapat: (x, y, z) = ((19/8), (7/2), (0))

Dengan menyelesaikan kedua sistem persamaan tersebut akan diperoleh: Contoh 5.18 Tentukan persamaan-persamaan parametrik untuk garis perpotongan bidang-bidang: 3x + 2y – 4z – 6 = 0 dan x – 3y – 2z – 4 = 0 Penyelesaian: Garis potong terdiri dari semua titik (x, y, z) yang memenuhi kedua persaman dalam sistem: 3x + 2y – 4z = 6 x – 3y – 2z = 4 Dengan menyelesaikan kedua sistem persamaan tersebut akan diperoleh: (- < t < +)

5.12.4 Jarak Titik dan Bidang Jarak D antara titik P0(x0, y0, z0) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah Contoh 5.18 Tentukan jarak antara titik (1, –4, –3) dan bidang 2x – 3y + 6z = –1 Penyelesaian: 2x – 3y + 6z = –1  2x – 3y + 6z +1 = 0

Contoh 5.19 Tentukan jarak antara bidang x + 2y – 2z = 3 dan bidang 2x – 3y + 6z = –1 Penyelesaian: Ambil sembarang titik pada salah satu bidang, misal pada bidang x + 2y – 2z = 3. Jika y = 0, z = 0, maka x = 3, sehingga titik yang diambil adalah P0(3, 0, 0). Jadi jarak kedua bidang tersebut adalah

Latihan Tentukan bentuk normal titik dari persaman suatu bidang yang melewati P dan memiliki n sebagai normalnya. P(–1, 3, –2); n = (–2, 1, –1) P(1, 1, 4); n = (1, 9, 8) 2. Tentukan persamaan bidang yang melewati titik berikut. a. P(–4, –1, –1), Q(–2, 0, 1), R(–1, –2, –3) P(5, 4, 3) , Q(4, 3, 1), R(1, 5, 4) 3. Tentukan, apakah bidang-bidang berikut sejajar 4x – y + 2z = 5 dan 7x – 3y + 4z = 8 x – 4y – 3z – 2 = 0 dan 3x – 12y – 9z – 7 = 0