Logika Matematika Pengenalan Logika Matematika dan Pengantar Logika Proposisional AMIK-STMIK Jayanusa ©2009 Pengantar Logika

Argumen Logika (logic) berasal dari kata bahasa Yunani logos, yang dalam bahasa Inggris berarti word, speech, atau what is spoken. Definisi logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen yang valid. Logika secara umum berhubungan dengan penalaran deduktif yang hanya secara umum mengambil kesimpulan dari premis-premisnya (pernyataan yang diberikan). Kesimpulan yang mengikuti premis-premis tidak hanya nilainya, tetapi juga mengharuskan kesimpulan-kesimpulan diperoleh atau berasal dari premis-premisnya, atau tidak dimungkinkan kesimpulan diambil bukan dari premis-premisnya. Inilah yang disebut argumen, yakni suatu usaha untuk mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan berdasarkan pada kebenaran dari suatu kumpulan pernyataan yang disebut premis. Bentuk argumen artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan. Pengantar Logika

Argumen Contoh Semua mahasiswa pandai. Badu adalah mahasiswa. Dengan demikian, Badu pandai. 2. Semua manusia bermata empat. Badu seorang manusia. Dengan demikian, Badu bermata empat. Perlu dicatat, logika yang akan dibahas hanya berhubungan dengan kesimpulan yang valid, dan diperoleh dari prinsip-prinsip penalaran yang valid. Jadi, Contoh 2 tetap dapat dikatakan valid karena kesimpulannya tetap mengikuti premis-premisnya. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah matematika untuk membuktikan validitas suatu argumen disebut logika matematika. Pengantar Logika

Argumen Logika matematika merupakan dasar-dasar yang penting bagi seseorang jika ingin belajar ilmu komputer dengan baik, terutama untuk belajar algoritma, teknik-teknik pemrograman tersetruktur, dan teknik pemrograman berorientasi objek yang dalam penulisan programnya sangat erat berkaitan dengan logika. Pemahan logika yang kuat akan membentuk kemampuan pemrograman yang kuat pula. Validitas argumen adalah premis-premis yang diikuti oleh suatu kesimpulan yang berasal dari premis-premisnya dan bernilai benar. Tidak mungkin kesimpulan yang salah diperoleh dari premis-premis yang benar, atau premis-premis yang benar tidak mungkin menghasilkan kesimpulan yang salah. Contoh 3. Semua mamalia adalah hewan berkaki empat. Semua manusia adalah mamalia. Dengan demikian, semua manusia adalah binatang berkaki empat Pengantar Logika

Argumen 4. Ada jenis makhluk hidup berkaki dua. Semua manusia adalah makhluk hidup. Dengan demikian, semua manusia berkaki dua. (Apa bedanya contoh 3 dan 4?) Jia suatu argumen valid, maka pokok pernyataan dapat digantikan untuk semua yang bisa digantikannya dan validitas tidak terganggu. Akan tetapi jika argumen tidak valid, maka akan mengganggu. Jika kesimpulan yang bernilai benar muncul dan terlepas dari premis-premisnya maka ini bukan argumen yang kuat secara logis. Contoh Semua mahasiswa rajin belajar. Badu seorang mahasiswa. Dengan demikian, Dewi rajin belajar. Pengantar Logika

Argumen Jadi suatu argumen logis dapat disebut kuat (sound) jika dan hanya jika memenuhi dua persyaratan berikut: a. Argumen valid b. Semua premis-premisnya benar. Pengantar Logika

Logika Klasik dan Logika Modern Logika klasik pertama kali diperkenalkan oleh Aristoteles, sehingga disebut Logika Aristoteles. Aristoteles mengembangkan suatu aturan-aturan untuk penalaran silogistik yang benar. Menurutnya, suatu silogisme adalah suatu argumen yang terbentuk dari pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk berikut: (1) Semua A adalah B, atau Universal Affirmative (2) tidak A adalah B, atau Universal Negative (3) Beberapa A adalah B, atau Particular Affirmative (4) Beberapa A adalah tidak B, atau Particular Negative Huruf A dan B di atas menggantikan suatu kata benda, misalnya “manusia”, “hewan”, “berkaki dua”, dan sebagainya, yang disebut terms of syllogism. Pengantar Logika

Logika Klasik dan Logika Modern Suatu silogisme yang berbentuk sempurna disebut well-formed syllogism jika ia memiliki dua buah premis dan satu kesimpulan, dengan satu premis memiliki satu pokok (term) bersama dengan kesimpulan dan satu lagi pokok bersama dengan premis lainnya. Logika Modern Logika Modern atau Logika Simbolik dikembangkan dari logika Aristoteles oleh Augustus De Morgan dan Goerge Boole. Dalam bentuk yang biasa, semua well-formed sentences di dalam logika modern memiliki satu nilai saja dari dua nilai berikut, yaitu benar (true, atau 1) atau salah (false, atau 0). Logika menjadi dasar pembuatan ajabar Boole dan menjadi dasar teori tentang pengembangan komputer digital. Semua well-formed sentences akan diformulasikan dalam bentuk suatu rumus sehingga dinamakan well-formed formulae (wff). Pengantar Logika

Logika Klasik dan Logika Modern Logika matematika yang menangani masalah well-formed formulae yang hanya memiliki nilai benar atau salah adalah: Logika Proposisional, dengan fokus utama pada pernyataan-pernyataan yang dapat digolongkan dalam pengertian proposisi-proposisi. Logika Predikat. Pernyataan-pernyataan yang tidak dapat digolongkan sebagai proposisi, dan tidak dapat diproses dengan logika proposisional akan ditangani logika predikat yang memfokuskan diri pada predikat yang selalu menyertai suatu pernyataan dalam bentuk kalimat. Pengantar Logika

Logika Banyak Nilai Titik utama pada logika banyak nilai bukan hanya nilai benar atau salah, tetapi masih memiliki nilai ketiga yang bersifat netral. Di pihak lain, ada yang diekspresikan seperti pada nilai probabilitas yang memiliki nilai antara 0 dan 1, atau antara -1 dan 1. Logika banyak nilai diperkenalkan oleh Jan Lukosiewicsz, yang memperkenalkan nilai ketiga di antara nilai 0 dan 1. Pada saat ini, logika banyak nilai sudah menangani nilai antara 0 dan 1 yang disebut logika fuzzy. Logika juga dipakai di bidang pengembangan perangkat lunak terutama yang mengimplementasikan kecerdasan buatan, sistem pakar, dan pemrograman logika. Logika juga dipakai di bidang penulisan perangkat lunak, yakni untuk menguji konsistensi dari penulisan perangkat lunak yang terstruktur dengan baik. Untuk mempelajari logika dengan sempurna, ada beberapa ilmu yang berkaitan, yaitu: Semantik atau Filsafat Bahasa. Tekanan utama semantik adalah pada arti kata dan kalimat. Epistemologi atau Teori Pengetahuan. Tekanan utama pada kondisi di mana pernyataan akan selalu bernilai benar. Psikologi Penalaran. Tekanan utama pada proses mental yang mempengaruhi penalaran. Pengantar Logika

Pengantar Logika Proposisional Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah disebut proposisi. Logika yang menangani atau memroses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut logika proposisional (propositional logic atau propositional calculus). Proposisi majemuk adalah gabungan dari berbagai proposisi atomik, yaitu proposisi yang tidak dapat dipecah lagi. Contoh proposisi majemuk Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan gagal ujian. Ayah pergi ke Solo dan Ibu pergi ke Solo. Proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar disebut tautologi. Tautologi menghasilkan implikasi-implikasi secara logis dan ekivalen-ekivalen secara logis. Pengantar Logika

Pengantar Logika Proposisional Contoh argumen yang secara logis kuat (1) Jika Anda rajin belajar maka Anda akan lulus ujian (2) Jika Anda lulus ujian maka Anda akan senang (3) Dengan demikian, jika Anda rajin belajar maka Anda senang. Pernyataan (1) dan (2) merupakan premis-premis dari argumen, sedangkan pernyataan (3) merupakan kesimpulan yang mengikuti atau berasal dari premis-premisnya. (1) Program komputer ini mempunyai bug, atau masukannya salah (2) Masukannya tidak salah (3) Dengan demikian, program komputer ini mempunyai bug Untuk memanipulasi logika dikembangkan suatu pola untuk argumen yang bernilai benar atau salah. Untuk memudahkan memanipulasi pola tersebut maka digunakan huruf-hruf A, B, C, dan seterusnya untuk menggantikan satu proposisi. Pengantar Logika

Pengantar Logika Proposisional Contoh penggantian argumen dengan huruf A = Anda rajin belajar B = Anda lulus ujian C = Anda senang Maka bentuk argumen tersebut menjadi: (1) Jika A maka B (2) Jika B maka C (3) Jika A maka C Bentuk argumen di atas dinamakan silogisme hipotesis. A = Program komputer ini mempunyai bug. B = Masukannya salah (1) A atau B (2) Tidak B (3) A Argumen di atas dinamakan silogisme disjungtif. Pengantar Logika

Pengantar Logika Proposisional (1) Jika lampu lalu lintas menyala merah maka semua kendaraan berhenti (2) Lampu lalu lintas menyala merah (3) Dengan demikian, semua kendaraan berhenti Jika setiap proposisi pada argumen di atas diganti dengan huruf: A = Lampu lalu lintas menyala merah B = Semua kendaraan berhenti Maka bentuk argumen di atas menjadi (1) Jika A maka B (2) A (3) B Argumen di atas dinamakan Modus Ponens (MP) atau Modus Ponendo Ponens (MPP). Pengantar Logika

Pengantar Logika Proposisional (1) Jika Badu belajar rajin maka ia lulus ujian (2) Badu tidak lulus ujian (3) Dengan demikian, Badu tidak belajar rajin Jika setiap proposisi pada argumen di atas diganti dengan huruf: A = Badu belajar rajin B = Badu lulus ujian Maka bentuk argumen di atas menjadi (1) Jika A maka B (2) Tidak A (3) Tidak B Argumen di atas dinamakan Modus Tollens (MT) atau Modus Tollendo Tollens (MTT). Anda harus berhati hati jika ingin mengubah susunan pernyataan dalam argumen. Bisa saja terlihat sebagai argumen yang valid, tetapi justru sebenarnya sudah tidak valid lagi. Pengantar Logika

Pengantar Logika Proposisional (1) Jika lampu lalu lintas menyala merah maka semua kendaraan berhenti (2) Semua kendaraan berhenti (3) Dengan demikian, lampu lalu lintas menyala merah Sebuah pernyataan tidak dapat dipakai sebagai proposisi jika: Nilai benar atau salah dari sebuah pernyataan tidak dapat ditentukan dengan pasti. Berupa kalimat perintah Berupa kalimat tanya Contoh 15 Angka 13 adalah angka sial Warna merah adalah warna bahagia Badu, kerjakan tugas tersebut! Badu, apakah engkau sudah mengerjakan tugas tersebut? Pengantar Logika

Pengantar Logika Proposisional Suatu proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama. Contoh 16 Badu tidak lapar Badu kenyang Pernyataan pertama dan pernyataan kedua memiliki arti kalimat yang sama. Jika dijumpai contoh seperti pernyataan pertama dan pernyataan kedua di atas, maka pemberian variabel proposisional harus berlainan karena proposisi tidak diizinkan menafsir arti kalimatnya. Contoh 17 A = Badu lapar, maka “Tidak A” = Badu tidak lapar B = Badu kenyang, maka “Tidak B” = Badu tidak kenyang Jadi, tidak diperbolehkan mengganti “Tidak A” dengan B, walaupun arti kalimatnya sama. Pengantar Logika

Pemberian Nilai Huruf A, B, C, dan seterusnya digunakan untuk menggantikan proposisi dan disebut variabel-variabel proposisional, dan hanya memiliki nilai benar (True = T) atau salah (False = F). Jadi, pemberian nilai pada variabel-variabel proposisional hanya T dan atau F. Simbol brupa huruf T dan F disebut konstanta-konstanta proposisional. Variabel proposisional dan konstanta proposisional adalah proposisi atomik. Contoh 18 Proposisi majemuk A atau B A dan B Tidak A Kata “ atau (or)”, “ dan (and)”, dan “tidak (not)” pada proposisi majemuk di atas berfungsi sebagai perangkai dari proposisi-proposisi atomik dan disebut perangkai-perangkai logika. Pengantar Logika