1.2.3 Ingkaran Kalimat Berkuantor Misal terdapat pernyataan “Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit”. Pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang salah jika setidak-tidaknya terdapat satu mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit. Perlu diingat bahwa nilai kebenaran yang salah merupakan ingkaran dari nilai kebenaran yang benar. Jadi ingkaran dari “Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit” adalah “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit”.

Jika semesta pembicaraan sudah jelas, bisanya tidak Jika p : Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit dan p(x) : “x lulus ujian Matematika Diskrit”, maka dalam bentuk simbolik pernyataan tersebut dapat kita tulis menjadi xmahasiswa, p(x). Sedangkan “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit” dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi xmahasiswa, p(x). Jika semesta pembicaraan sudah jelas, bisanya tidak dicantumkan lagi pada penulisannya. Jadi xmahasiswa, p(x) sering ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana seperti : x, p(x).

Secara umum ingkaran dari kalimat berkuantor adalah sebagai berikut: x, p(x)  x, p(x) x, p(x)  x, p(x) Contoh 1.47 Tulis ingkaran dari kalimat-kalimat berikut : a) Semua orang sukses rajin bekerja b) Sebagian ahli matematika adalah orang malas c) Ada bilangan ril merupakan bilangan rasional. Penyelesaian:

Misal p(x) : “x rajin bekerja”. Maka kalimat a) dapat kita tulis dalam bentuk simbol : xorang sukses, p(x) atau x, p(x). Ingkaran x, p(x) adalah x, p(x)  x, p(x) b) Misal q(x) : “x adalah orang malas”. Maka kalimat b) dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi : xahli matematika, q(x) atau x, q(x). Ingkaran x, q(x) adalah x, q(x)  x, q(x) . c) Misal r(x) : “x merupakan bilangan rasional”. Kalimat tersebut dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi : xbilangan ril, r(x) atau x, r(x). Ingkaran x, q(x)  x, r(x)

Contoh 1.48 Tulis kalimat-kalimat berikut dengan menggunakan simbol-simbol, kemudian tulis ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat). Untuk setiap x, jika x bilangan ganjil maka x2 + 1 bilangan ganjil juga. b) Ada beberapa x sedemikian sehingga x merupakan bilangan genap dan x merupakan bilangan ganjil.

Ada beberapa bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil, tetapi (x2 + 1) bukan merupakan bilangan ganjil. Penyelesaian a) Misal p(x) : x bilangan ganjil q(x) : x2 + 1 bilangan ganjil x, (p(x)  q(x)) Ingkarannya : x, (p(x)  q(x))

b) Misal r(x) : x bilangan ganjil s(x) : x2 + 1 bilangan ganjil Kalimat semula x, (r(x)  s(x)) Ingkarannya x, (r(x)  s(x)) adalah x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x)) Semua bilangan x bukan merupakan bilangan genap atau bukan merupakan merupakan bilangan ganjil

1.2.4 Kalimat Berkuantor Ganda Kalimat berkuantor ganda adalah kalimat yang menggunakan lebih dari satu kuantor. Secara umum ekiovalensi dari kalimat berkuantor ganda adalah sebagai berikut: x y p(x,y)  y x p(x,y) x y p(x,y)  y x p(x,y) x y p(x,y)  y x p(x,y) Sedangkan ekivalensi dari ingkarannya adalah: x y p(x,y)  x y p(x,y) x y p(x,y)  x y p(x,y)

Contoh 1.49 Nyatakan kalimat berikut ke dalam simbol logika. Setiap bilangan genap sama dengan 2 kali bilangan bukat. Jika setiap dosen bermutu maka semua mahasiswa antusia belajar. Penyelesaian: Misal p(x,y) : x sama dengan 2 kali y x  bilangan genap y bilangan bulat p(x,y) atau disingkat x y p(x,y) b) Misal p(x,y) : Jika x maka y xdosen bermutu ymahasiswa antusias belajar p(x,y), atau dapat disingkat x y p(x,y)