DISTRIBUSI DARI FUNGSI VARIABEL RANDOM

TEORI SAMPLING Misalkan Y adalah suatu variabel random yang didefinisikan sebagai fungsi dari X1, X2,…, Xn atau Y=u(X1,X2,…,Xn). Apabila pdf bersama dari X1, X2,…, Xn diketahui,bagaimana menentukan pdf dari Y? Pada subbab sebelumnya, telah dibahas beberapa contoh berikut: (1). Jika n = 1 Misal , berdasarkan pembahasan di bab 3 diperoleh

(2). Misal X1, X2, …, Xn variabel random yang saling (2). Misal X1, X2, …, Xn variabel random yang saling independen dan masing-masing mempunyai pdf Jika maka Pada contoh (1), , merupakan fungsi dari X1 yang mengandung 2 parameter yang tidak diketahui , sedangkan Y pada contoh 2 tidak bergantung pada parameter p.

DEFINISI Suatu fungsi dari satu atau lebih variabel-variabel random yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui disebut statistik. Berdasarkan definisi di atas, variabel random adalah suatu statistik, sedangkan apabila tidak diketahui, bukanlah suatu statistik. Walaupun statistik tidak tergantung pada parameter yang tidak diketahui, tetapi distribusinya bisa saja tergantung pada parameter yang tidak diketahui.

KEGUNAAN STATISTIK Misalkan X adalah suatu variabel random yang didefinisikan pada suatu ruang sampel C . Misalkan ruang nilai dari X dinotasikan dengan A. Pada umumnya, distribusi dari X tidak lengkap diketahuinya. Sebagai contoh, bisa saja distribusi dari X diketahui tetapi nilai dari parameternya tidak diketahui. Untuk mengatasi masalah tersebut , maka dilakukan suatu percobaan random yang dilakukan berulangkali (n kali), dan dilakukan di bawah kondisi yang sama.

Misalkan variabel random Xi adalah fungsi dari hasil ke-i, i=1,2,. n Misalkan variabel random Xi adalah fungsi dari hasil ke-i, i=1,2,..n. Maka X1, X2,…,Xn disebut observasi-observasi dari suatu sampel random dari suatu distribusi yang ditetapkan. Misalkan didefinisikan suatu statistik Y = u(X1,X2,…,Xn) yang mempunyai pdf g(y). Pdf dari Y bisa menunjukkan bahwa terdapat probabilitas yang cukup besar bahwa Y mempunyai nilai yang cukup dekat dengan parameter yang tidak diketahui. Artinya bila hasil eksperimennya adalah X1=x1, X2=x2,,Xn=xn, maka y=u(x1,x2,..,xn) adalah suatu nilai yang diketahui. Harapannya bahwa nilai itu dapat memberikan informasi mengenai parameter yang tidak diketahui.

DEFINISI Misalkan X1,X2,…,Xn menotasikan n buah variabel random yang independen, dan mempunyai pdf yang sama yaitu f(x). Artinya pdf dari X1,X2,,Xn masing-masing adalah f1(x1)=f(x1), f2(x2) = f(x2),…,fn(xn) = f(xn). Jika pdf bersama dari X1,X2,…,Xn adalah maka X1,X2,…,Xn disebut sampel random dari suatu distribusi yang mempunyai pdf f(x). Artinya observasi-observasi dari sampel random adalah independen dan mempunyai distribusi yang sama (iid : independent and identically distributed).

STATISTIK DEFINISI Misalkan X1,X2,…,Xn adalah sampel random yang berukuran n dari suatu distribusi yang diberikan . Statistik disebut mean dari sampel random dan statistik disebut variansi dari sampel random.

Teori distribusi sampling random adalah suatu teori yang membahas bagaimana mencari distribusi dari fungsi dari observasi-observasi dari suatu sampel random. Salah satu metodenya adalah dengan teknik fungsi distribusi. Misalkan X1,X2,…,Xn variabel-variabel random, distribusi dari Y=u(X1,X2,…,Xn) ditentukan dengan menghitung fungsi distribusi dari Y,

Contoh: Misalkan X1,X2,X3 adalah sampel random yang berukuran 3 dari suatu distribusi normal standar. Misal , tentukan distribusi dari Y!