Pemrograman Linier Semester Ganjil 2012/2013 Model Transportasi Pemrograman Linier Semester Ganjil 2012/2013 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc,

Contoh Permasalahan Transportasi Powerco mempunyai 3 pembangkit listrik yang digunakan untuk memenuhi kebutuhan 4 kota. Supply dari setiap pembangkit dan demand dari setiap kota disajikan dalam bentuk tabel Biaya pengiriman 1 juta kwh dari setiap pembangkit ke setiap kota tergantung dari jarak pengiriman yang harus ditempuh

Transportation tableau Masalah transportasi dicirikan oleh adanya supply, demand dan biaya pengiriman Seluruh data yang dibutuhkan disajikan dalam transportation tableau Tableau ini menyajikan kendala supply dan demand untuk setiap titik demand dan titik supply

Tabel biaya pengiriman, Supply dan demand Dari Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Supply Total Supply Pembangkit 1 $ 8 $ 6 $ 10 $ 9 35 jt kwh Pembangkit 2 $ 12 $ 13 $ 7 50 jt kwh Pembangkit 3 $ 14 $ 16 $ 5 40 jt kwh Demand 45 jt kwh 20 jt kwh 30jt kwh 30 jt kwh   125 jt kwh Total demand

Diagram Titik (Node diagram) Permasalahan Powerco Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc, Riset Operasi 2011

Peubah Keputusan Berapa banyak listrik yang harus dikirim dari setiap pembangkit ke setiap kota Xij = jumlah listrik yang diproduksi dari pembangkit i dan dikirim ke kota j Contoh: X14 = jumlah listrik yang diproduksi dari pembangkit 1 dan dikirim ke kota 4

Fungsi obyektif Dari Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Supply Total Supply Pembangkit 1 $ 8 $ 6 $ 10 $ 9 35 jt kwh Pembangkit 2 $ 12 $ 13 $ 7 50 jt kwh Pembangkit 3 $ 14 $ 16 $ 5 40 jt kwh Demand 45 jt kwh 20 jt kwh 30jt kwh 30 jt kwh   125 jt kwh Total demand Untuk meminimumkan total biaya pengiriman dari seluruh pembangkit ke seluruh kota yang membutuhkan Minimize Z = 8X11+6X12+10X13+9X14 (dari pembangkit 1) +9X21+12X22+13X23+7X24(dari pembangkit 2) +14X31+9X32+16X33+5X34(dari pembangkit 3)

Kendala supply Setiap pembangkit mempunyai keterbatasan kapasitas produksi X11+X12+X13+X14 <= 35 (pembangkit 1) X21+X22+X23+X24 <= 50 (pembangkit 2) X31+X32+X33+X34 <= 40 (pembangkit 2)

Kendala Demand Setiap kota mempunyai kebutuhan minimum X11+X21+X31 >= 45 (kota 1) X12+X22+X32 >= 20 (kota 2) X13+X23+X33 >= 30 (kota 3) X14+X24+X34 >= 30 (kota 4)

Batasan tanda Seluruh jumlah listrik yang dialirkan dari masing-masing pembangkit ke masing-masing kota tidak ada yang negatif Xij >= 0 (i= 1,2,3; j= 1,2,3,4)

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc, Riset Operasi 2011 Model Linear Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc, Riset Operasi 2011

Deskripsi masalah transportasi secara umum Himpunan m titik supply dari mana barang dikirim. Masing-masing titik supply mampu memproduksi paling banyak si unit. Himpunan n titik demand, ke mana barang dikirim. Masing-masing titik demand harus menerima paling sedikit di unit barang. Setiap barang yang diproduksi dari titik supply i dan dikirim ke titik demand and shipped to j membutuhkan biaya variabel cij.

Xij = jumlah unit barang yang dikirim dari titik supply i ke titik demand j

Balanced Transportation Problem Jika total supply sama dengan total demand, maka permasalahan transportasi bersifat balanced

Jika total supply >= total demand Konsep dummy variable, dengan biaya pengiriman nol ke titik dummy Jika total supply < total demand: tidak ada solusi feasible. Dikenakan penalti untuk demand yang tidak terpenuhi

Contoh Unbalanced Transportation Problem

Penentuan Basic Feasible Solution (BFS) untuk TP LP dengan m+n kendala Sifat istimewa: Jika peubah keputusan (xij’s) memenuhi m+n-1 kendala, otomatis nilai peubah keputusan tsb memenuhi kendala yang terakhir.

Metode Penentuan BFS bagai balanced TP Northwest Corner Method Minimum Cost Method Vogel’s Method

1. Northwest Corner Method Dimulai dari sudut paling atas kiri (northwest) dari transportation tableau Pada sudut ini tetapkan x11 sebanyak mungkin dengan syarat: x11 ≤ min (s1, d1) Kelemahan: tidak memanfaatkan biaya Dapat ditemukan solusi feasibel dengan biaya tidak optimal (terlalu mahal).

Tetapkan x11=min (35, 45) = 35 Supply dari pembangkit 1 sudah habis, kendala supply pertama sudah terpenuhi

Baris satu tidak digunakan lagi Baris satu tidak digunakan lagi. Revisi sisa demand pada kolom 1, 45 – 35 =10 Sudut kiri atas berikutnya untuk x21. Tetapkan x21=min(50, 10) = 10

Kolom satu tidak digunakan lagi Kolom satu tidak digunakan lagi. Revisi sisa supply pada baris dua: 50 – 10 = 40 Sudut kiri atas berikutnya untuk x22. Tetapkan x22=min(40, 20) = 20

Kolom dua tidak digunakan lagi Kolom dua tidak digunakan lagi. Revisi sisa supply pada baris dua: 40 – 20 = 20 Sudut kiri atas berikutnya untuk x23. Tetapkan x23=min(20, 30) = 20

Baris dua tidak digunakan lagi Baris dua tidak digunakan lagi. Revisi sisa demand pada kolom tiga: 30 – 20 = 10 Sudut kiri atas berikutnya untuk x33. Tetapkan x33=min(40, 10) = 10

Kolom tiga tidak digunakan lagi Kolom tiga tidak digunakan lagi. Revisi sisa supply pada baris tiga: 40 – 10 = 30 Sudut kiri atas berikutnya untuk x34. Tetapkan x34=min(30, 30) = 30

BFS yang diperoleh x11=35, x21=10, x22=20, x23=20, x33=10, x34=30 Nol untuk selainnya Solusi ini memenuhi semua batasan untuk demand maupun supply, dengan biaya: Z =8X11+6X12+10X13+9X14+9X21+12X22+13X23+7X24 +14X31+9X32+16X33+5X34 =1180

2. Minimum Cost Method Biaya dilibatkan dalam pemilihan solusi Solusi paling awal ditentukan dari variabel dengan biaya minimum Langkah-langkah iterasi serupa dengan metode Northwest Corner, hanya saja pemilihan variabel selalu berdasarkan biaya minimum Alokasikan min(supply, demand) pada sel dgn biaya terkecil

Ilustrasi pada kasus Powerco, Tabel Permasalahan beserta Biaya Sel (3, 3) adalah sel dengan biaya minimum X33 dipilih sebagai solusi pertama, X33=min(40, 30)=30

Kolom 3 tidak digunakan lagi. Revisi supply pada baris 3: 40 – 30 =10 Pilih sel sisanya dengan biaya minimum: X12 X12=min(35, 20)=20

Kolom 2 tidak digunakan lagi. Revisi supply pada baris 1: 35 – 20 =15 Pilih sel sisanya dengan biaya minimum: X11 X11=min(15, 45)=15

Baris 1 tidak digunakan lagi. Revisi demand pada kolom 1: 45 – 15 =30 Pilih sel sisanya dengan biaya minimum: X21 X21=min(50, 30)=30

Kolom 1 tidak digunakan lagi. Revisi supply pada baris 2: 50 – 30 =20 Pilih sel sisanya dengan biaya minimum: X33 X33=min(20, 30)=20

Baris 2 tidak digunakan lagi. Revisi demand pada kolom 3: 30 –20 =10 Pilih sel sisanya dengan biaya minimum: X33 X33=min(10, 10)=10

BFS yang diperoleh x11=15, x12=20, x21=30, x23=20, x33=10, x34=30 Nol untuk selainnya Solusi ini memenuhi semua batasan untuk demand maupun supply, dengan biaya: Z =8X11+6X12+10X13+9X14+9X21+12X22+13X23+7X24 +14X31+9X32+16X33+5X34 =1080

3. Vogel’s Method Dikembangkan karena pada kasus tertentu, minimum cost tetap dapat menghasilkan solusi dasar dengan biaya yang terlalu besar Dimulai dengan menghitung penalti pada setiap baris dan kolom. Penalti dihitung sebagai selisih dari dua biaya terkecil pada baris atau kolom yang bersangkutan. Tentukan kolom atau baris dengan penalti terbesar. Variabel awal dipilih dari baris/kolom dengan penalti terbesar, pada biaya minimum Untuk menghindari dipilihnya variabel dengan biaya yang terlalu besar Biaya yang besar: penalti besar

Ilustrasi permasalahan Powerco Langkah 1: Perhitungan penalti setiap baris dan kolom

Langkah 2: Tentukan kolom/baris dengan penalti terbesar: Baris 3 Pilih sel dengan biaya terkecil pada kolom/baris tsb: X34 Tetapkan nilai variabel sebesar mungkin: X34=min(40, 30)=30

Kolom 4 tidak dapat lagi digunakan Revisi total supply pada baris 3: 40 – 30 = 10 Update penalti menggunakan sel-sel yang tersisa

Tentukan kolom/baris dengan penalti terbesar: Baris 3 Pilih sel dengan biaya terkecil pada kolom/baris tsb: X32 Tetapkan nilai variabel sebesar mungkin: X32=min(10, 20)=10

Baris 3 tidak dapat lagi digunakan Revisi total demand pada kolom 2: 20 – 10 = 10 Update penalti menggunakan sel-sel yang tersisa

Tentukan kolom/baris dengan penalti terbesar: Kolom 2 Pilih sel dengan biaya terkecil pada kolom/baris tsb: X12 Tetapkan nilai variabel sebesar mungkin: X12=min(35, 10)=10

Kolom 2 tidak dapat lagi digunakan Revisi total supply pada baris 1: 35 – 10 = 25 Update penalti menggunakan sel-sel yang tersisa

Tentukan kolom/baris dengan penalti terbesar: Baris 2 Pilih sel dengan biaya terkecil pada kolom/baris tsb: X21 Tetapkan nilai variabel sebesar mungkin: X21=min(50, 45)=45

Kolom 1 tidak dapat lagi digunakan Revisi total supply pada baris 2: 50 – 45 = 5 Update penalti menggunakan sel-sel yang tersisa

Tentukan kolom/baris dengan penalti terbesar: Baris 2 Pilih sel dengan biaya terkecil pada kolom/baris tsb: X23 Tetapkan nilai variabel sebesar mungkin: X23=min(5, 30)=5

Baris 2 tidak dapat lagi digunakan Revisi total demand pada kolom 3: 30 – 5 = 25 Update penalti menggunakan sel-sel yang tersisa

Tentukan kolom/baris dengan penalti terbesar: Baris 1/Kolom3 Pilih sel dengan biaya terkecil pada kolom/baris tsb (satu-satunya): X13 Tetapkan nilai variabel sebesar mungkin: X13=min(25, 25)=25

Semua baris dan kolom sudah terpenuhi. BFS sudah diperoleh

BFS yang diperoleh x12=10, x13=25, x21=45, x23=5, x32=10, x34=30 Nol untuk selainnya Solusi ini memenuhi semua batasan untuk demand maupun supply, dengan biaya: Z =8X11+6X12+10X13+9X14+9X21+12X22+13X23+7X24 +14X31+9X32+16X33+5X34 =1020

Perbandingan ketiga Metode Metode Northwest corner: paling mudah, tapi tidak mempertimbangkan biaya Metode Minimum Cost: biaya dilibatkan, tapi ada kasus tertentu dengan dipilihnya biaya termahal Metode Vogel: proses iterasi lebih rumit, kombinasi solusi menghasilkan biaya terkecil Pada model transportasi yang kompleks: jumlah iterasi yang lebih sedikit daripada kedua metode sebelumnya.

Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc, Riset Operasi 2011 Metode Simplex Formulasi LP, fungsi obyektif dan kendala-2 Solusi dengan spreadsheet, Interpretasi, Analisis sensitivitas Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc, Riset Operasi 2011