2.1 Bidang Bilangan dan Grafik Persamaan Apr-17 BAB II 2.1 Bidang Bilangan dan Grafik Persamaan Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Definisi. Himpunan semua pasangan terurut bil. riil dinamakan bidang bilangan, dan bidang bilangan dinyatakan dg R2. Setiap pasangan terurut (x,y) dinamakan titik di dalam bidang bilangan. Sumbu mendatar: sumbu-x Sumbu tegak: sumbu-y. Kedua sumbu dsb sumbu koordinat. Perpotongan sumbu: titik asal O:(0,0). Titik P(x1,y1): pasangan terurut x1 dan y1. Jarak P ke sumbu-y : x1, dsb absis P Jarak P ke sumbu-x : y1, dsb ordinat P. Kedua sumbu koordinat membagi bidang atas empat bagian yang dinamakan kuadran. Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Definisi Grafik suatu persamaan di R2 adalah himpunan semua titik (x,y) di R2 yang bilangan koordinatnya memenuhi persamaan tersebut. Grafik suatu persamaan disebut juga tempat kedudukan atau kurva dari persamaan tersebut. Contoh. Sketsa grafik persamaan: (x – 2y + 3 ) ( y – x2 ) = 0 x y = ½ x + 3/2 y = x2 -3 9 -2 ½ 4 -1 1 3/2 2 5/2 3 … Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Cth. Gambar skets grafik persamaan : y = x-2  Jawab: y = x-2  x -1 1 2 3 4 y untuk x < 2: y =2-x untuk x  2: y = x-2 Universitas Jenderal Achmad Yani

Teorema. ( Uji Kesimetrian ) Apr-17 Teorema. ( Uji Kesimetrian ) Grafik persamaan akan: simetri terhadap sumbu-x  simetri terhadap sumbu-y  simetri terhadap titik asal  f(x,- y) = f(x, y) f(-x,y) = f(x,y) f(-x, -y) = f(x,y) Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Contoh Grafik persamaan y = x2 simetri terhadap sumbu-y, Grafik persamaan y = x3 simetri terhadap titik asal, Grafik persaman y2 – x = 0 simetri terhadap sumbu-x. f(x,y) : y = x² f(-x,y) : y = (-x)² = x² : f(x,y) Simetri thdp sb-y Simetri thdp sb-x Universitas Jenderal Achmad Yani

1.8 Rumus Jarak, Titik Tengah, dan Lingkaran Apr-17 1.8 Rumus Jarak, Titik Tengah, dan Lingkaran Teorema. ( Jarak ) Jarak titik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2) ditentukan oleh : PQ = Titik Tengah ruas garis PQ adalah T : (xt , yt ) = Contoh. Buktikan bhw segitiga dg titik sudut P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) adalah suatu segitiga siku-siku. Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Jawab: P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) Jarak dua titik merupakan panjang sisi segitiga. Universitas Jenderal Achmad Yani

Persamaan garis melalui dua titik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2) ? Apr-17 Persamaan garis melalui dua titik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2) ? Definisi. Jika garis g melalui dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) yang tidak sejajar dg sumbu-y, maka kemiringan garis g , dinyata-kan dg m, ditentukan oleh: m = …. (1.9.1) Kemiringan garis = tanjakan, slope, garis tangen, atau gradien garis. Misalkan α sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-x positif Gradien: m = tan α Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Dari sifat ketunggalan gradien, diperoleh: Teorema. Pers. garis yg melalui dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah …. (*) Akibat Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik A:(a,b) adalah: Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Cth. 1 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan ( -2, 3). Jawab: Cth. 2 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan membentuk sudut ¼ π radian dengan sumbu-x positif. Jawab: Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Bentuk Lain Persamaan Garis Lurus Persamaan Ax + By + C = 0 , dimana A,B, dan C konstanta; A dan B tidak keduanya nol, adalah persamaan garis lurus Ax + By + C = 0  By = – A x – C  y = (– A/B) x – (C/B) Jika x = 0, maka y = - C/B → garis melalui titik M: (0, - C/B) → titik potong dg sb-y Jika y = 0, maka x = - C/A → garis melalui titik N: (- C/A, 0) → titik potong dg sb-x Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Hubungan dua garis Misalkan garis g dan l mempunyai gradien masing-masing mg dan ml g sejajar l ↔ mg = ml g tegak lurus l ↔ mg .ml = - 1 Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Cth. 4 Dengan menggunakan kemiringan garis, buktikan bhw keempat titik A: (6,2), B: (8,6), C: (4,8), dan D: (2,4) titik sudut suatu persegi panjang. Petunjuk: Tunjukkan bahwa gradien garis dari sisi yang berhadapan sama (sejajar) Kemudian tunjukkan bahwa sudut persegi adalah siku-siku Cth. 5 Garis g dengan pers. 2x + 3y – 5 = 0. Tentukan suatu pers. garis yang tegak lurus garis g dan melalui titik A:( - 1, 3) Misal garis yang dicari: garis l . Karena keduanya tegak lurus, maka: Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang yang berjarak tetap (sama) dari suatu titik tetap. Titik tetap tersebut dinamakan pusat dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari lingkaran. Misalkan C: (a,b) menyatakan pusat lingkaran dan r sebagai jari-jari lingkaran, maka untuk sebarang titik P(x,y) pada lingkaran berlaku: Jarak P dan C = jari-jari lingk.  PC = r Persamaan lingkaran dengan pusat C:(a,b) dan jejari r Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Dengan menjabarkan persamaan sebelumnyadiperoleh: ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2  x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2  x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 - r2) = 0  x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Menghasilkan : A = -2a atau a = - ½ A , B = -2b atau b = - ½ B , dan C = a2 + b2 - r2 atau r = = Teorema. Persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah perssamaan lingkaran dengan pusat C:(- ½ A, - ½ B) dan jari-jari r = Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Cth. 6 Persamaan x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 adalah persamaan lingkaran dengan pusat C : ( - 3 , 1 ) dan jari-jari r = 5 . Petunjuk: Gunakan rumus pada teorema sebelumnya Tentukan pers. lingkaran yang melalui titik (4,5), (3,-2), dan (1,-4). Jawab: Misalkan persamaan lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Melalui (4, 5) ==> 14 + 25 + 4A + 5B + C = 0 .... (1) Melalui (3, -2) ==> 9 + 4 + 3A – 2B + C = 0 .... (2) Melalui (1, -4) ==> 1 + 16 + A – 4B + C = 0 .... (3) Dari ketiga persamaan, dengan eliminasi atau substitusi diperoleh A, B, dan C, sehingga persamaan lingkaran adalah: x2 + y2 + 7x - 5y - 44 = 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

HUBUNGAN LINGKARAN DAN GARIS Apr-17 HUBUNGAN LINGKARAN DAN GARIS Berpotongan pada dua titik: D > 0 Berpotongan pada satu titik (Garis menyinggung lingkaran): D = 0 Tidak berpotongan (Garis di luar lingkaran): D < 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan 2.3 Nilai Mutlak (Absolute) Apr-17 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan 2.3 Nilai Mutlak (Absolute) Universitas Jenderal Achmad Yani

2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan A. Persamaan Apr-17 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan A. Persamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yg mengandung minimal satu variabel yg melibatkan pernyataan “sama dengan”. Misalnya: x2 - 4 = 0 Nilai tertentu variabel x yang membuat kalimat bernilai benar dsb penyelesaian atau akar pers. Misalnya, x = 2 atau x = - 2 adalah akar dari persamaan x2 – 4 =0. Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Cth. Persamaan Persamaan Linear. Bentuk umum PL: ax + b = 0 … (1) Penyelesaian (akar)nya : x = - b/a Persamaan Kuadrat BU Pers. kuadrat : ax2 + bx + c = 0 … (2) dimana a,b, dan c konstanta riil dan a≠0. Penyelesaian/akar-akarnya: , dimana: D = b2 - 4ac. Persamaan Derajat-n BU Pers. Derajat-n : axn +an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 dimana: ai , i=1,2,3, …,n konstanta riil dan an ≠ 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 akar-akar PK: ax2 + bx + c = 0, maka berlaku: Cth: Tentukan penyelesaian pers. : 2x2 – 7x +5 = 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 B. Pertidaksamaan. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dg minimal satu variabel yg mengandung salah satu tanda berikut: lebih besar dari ( > ) , lebih kecil dari ( < ) , lebih besar atau sama dengan (  ), atau lebih kecil atau sama dengan (  ). Bentuk Umum: dimana P(x) dan Q(x) merupakan fungsi polinom derajat- n. atau tanda > diganti oleh tanda : < , ≥ , ≤ Universitas Jenderal Achmad Yani

Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan. Apr-17 Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan. Untuk mempermudah pemahaman, kita diskusikan melalui contoh berikut ini. Prosedur dan proses penyelesaian pertaksamaan mengacu kepada contoh tersebut. Menentukan solusi: Pembilang: P(x) Tanda Pertidaksamaan: ≥ Penyebut: Q(x) Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Langkah-1: Faktorkan pembilang P(x) dan penyebut Q(x) dalam bentuk perkalian faktor linear, dan tentukan pembuat nol faktor. Ini untuk menentukan akar atau pembuat nol pembilang dan penyebut. Dalam hal tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linear berarti bentuknya adalah kuadrat dan definit (definit positif atau negatif). P(x) = (x-1)(x2-2x-3)(x2-9) = (x-1)(x-3)(x+1)(x-3)(x+3) = (x-1)(x+1)(x-3)2(x+3) Q(x) = (4-x2)(2-x)2 = (2-x)(2+x)(2-x)2 = (2-x)3(2+x). Pembuat nol faktor-faktor tersebut adalah: { - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3 } Faktor berderajat ganjil adalah: (x-1), (x+1), (2+x), (2-x), dan (x+3) Faktor berderajat genap adalah: (x-3) Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Langkah-2: Nyatakan pembuat nol faktor tsb pada garis bilangan dg ketentuan: Jika tanda pertidaksamaan memuat tanda “sama dengan” maka pembuat nol pembilang dinyatakan tertutup dan pembuat nol penyebut dinyatakan terbuka; Jika tanda pertidaksamaan soal tidak memuat sama dengan ( > atau < ) maka semua tanda pembuat nol dinyatakan terbuka, yang berarti tidak ikut. Kemudian tentukan salah satu tanda bagian dengan melakukan uji oleh salah satu nilai x yang diambil sembarang pada bagian itu. (x-1)(x+1)(x-3)2(x+3) X=10 (2-x)3(2+x). Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Langkah-3: Tentukan tanda bagian lain secara berurutan dari tanda bagian yang telah ditentukan sebelumnya, dengan ketentuan berikut : Jika melewati pembuat nol dari faktor berderajat ganjil maka tanda berubah dari tanda sebelumnya dan jika melewati pembuat nol dari faktor yang berpangkat genap maka tandanya tetap dari tanda sebelumnya. Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Langkah-4: Arsir daerah penyelesaian kemudian terjemahkan dalam bentuk himpunan, dengan ketentuan berikut: Arsir daerah positif jika tanda soal pertidaksamaan  atau > dan Arsir daerah negatif jika tanda pertidaksamaan soal adalah  atau < . Dalam contoh ini, arsir daerah bertanda (+) karena soal pertidaksamaan bertanda “  0 “. HP = { x/ x  -3 atau -2 < x  -1 atau 1  x < 2 atau x = 3 } Universitas Jenderal Achmad Yani

Cth. Tentukan solusi dari: Apr-17 Cth. Tentukan solusi dari: Soal Latihan Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan Buatlah ilustrasinya pada garis bilangan riil. 3 – 2x  9 + 4x 2. 3. Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 2.3 Nilai Mutlak Secara geometri, Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan riil x didefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0. Berarti nilai mutlak dari setiap bil. selalu bernilai tak negatif. Notasi yang digunakan adalah: Ini berarti: 4= 4 , - 4= - (- 4) = 4 , 0= 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

Sifat-Sifat Nilai Mutlak. Apr-17 Sifat-Sifat Nilai Mutlak. Misalkan x dan y bilangan riil dan a bilangan riil positif, maka: -x  x  x x2 = x2 x y=xy 4. x / y= x/y , asalkan y≠ 0 5. x + y  x+y 6. xy  x2  y2 Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 7. x< a  - a < x < a dan x a  - a  x  a 8. x > a  x < - a atau x > a dan x a  x  - a atau x  a Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Contoh. Tentukan penyelesaian dari :  x + 1 > 4 Jawab: Cara 1 : Menggunakan sifat 8, diperoleh: x + 1  > 4  x + 1 < - 4 atau x + 1 > 4  x < - 5 atau x > 3 Jadi HP = { x/ x < - 5 atau x > 3 } Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Cara 2: Menggunakan sifat 2 dan 6, diperoleh:  x + 1 > 4  (x + 1)2 > (4)2  x2 + 2x + 1 > 16  x2 + 2x – 15 > 0  (x-3) (x+5) > 0 Pembuat nol faktor : pnf = { - 5 , 3 } Uji dengan x = 10, maka tanda: f(10) = (+)(+) = (+) Jadi HP = { x/ x < - 5 atau x > 3 } Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani Apr-17 Contoh. Tentukan penyelesaian dari: Jawab: Pembuat nol pembilang: { 4/3 , 3 } Pembuat nol penyebut : { 2 } ( - ) ( + ) ( + ) ( - ) Jika diuji dengan x = 5, maka Tanda f(5) = 4/3 2 3 Jadi HP = { x/ x  4/3 atau x  3 } Universitas Jenderal Achmad Yani