LOGIKA Purbandini, S.Si, M.Kom

Pendahuluan Merupakan studi penalaran (reasoning) Penalaran yaitu : Cara berfikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements). Contoh : Semua pengendara sepeda motor memakai helm Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa a Aplikasi logika dalam ilmu komputer bidang : Pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan, perancangan komputer dsb

Materi Logika Proposisi Kombinasi Proposisi Disjungsi Eksklusif Hukum-hukum Logika Proposisi Operasi Logika di falam Komputer Proposisi Bersyarat (Implikasi) Varian Proposisi Bersyarat Bi-kondisional (Bi-implikasi) Inferensi Argumen

Proposisi Adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah tetapi tidak dapat sekaligus keduanya kalimat. Nilai kebenaran adalah : Kebenaran atau kesalahan dari sebuah pernyataan

Contoh 6 adalah bilangan genap  proposisi Ibukota provinsi Jawa Tengah adalah Klaten Jam berapa kita berangkat ke Jakarta? X + 5 = 62

Kalkulus proposisi adalah : Kalkulus predikat adalah : Bidang logika yang membahas proposisi Kalkulus predikat adalah : Bidang logika yang membentuk proposisi pada pernyataan yang mengandung peubah Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil Contoh : p : 5 adalah bilangan ganjil

Kombinasi Proposisi Operator logika adalah : Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi Operator logika dasar terdiri dari : Operator biner : Dan (and) Atau (or) Operator uner : Tidak (not) Operator biner mengoperasikan dua buah proposisi Operator uner hanya membutuhkan satu buah proposisi Proposisi majemuk adalah : proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian Proposisi atomik adalah proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain

Konjungsi (And) Notasi :  Misalkan p dan q adalah proposisi sehingga : p  q  p dan q Konjungsi (and) p  q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah p q p  q T F T = True (benar) F = False (salah)

Disjungsi (Or) Notasi : V Misalkan p dan q adalah proposisi sehingga : p V q  p atau q Disjungsi (or) p V q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar p q p V q T F T = True (benar) F = False (salah)

Negasi (Ingkaran) Notasi :  Misalkan p adalah proposisi sehingga :  p  tidak p Negasi p ( p)bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar p p T F T = True (benar) F = False (salah)

Disjungsi Eksklusif (Eksklusif Or) Misalkan p dan q adalah proposisi. Notasi : p  q Proposisi bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar, selain itu nilainya salah. p q p  q T F T = True (benar) F = False (salah)

Tabel Kebenaran Digunakan untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik

Latihan Soal Jika p, q dan r adalah proposisi maka carilah tabel kebenaran dari : (p  q) V (q  r) (p  q) V r (p V q)  r [(p V q)  r] V [(p  r) V (q  p)] [(p  q) V r]  r

Hukum-Hukum Logika Proposisi Identitas : p V F  p p  T  p Null/dominasi : p  F  F p V T  T Negasi : p V p  T p  p  F Idempoten : p V p  p p  p  p Involusi (negasi ganda) : (p)  p Penyerapan (absorpsi) : p V ( p  q)  p p  (p V q)  p Komutatif : p V q  q V p p  q  q  q Asosiatif : p V ( q V r)  (p V q) V r p  (q  r)  (p  q)  r Distributif : p V (q  r)  (p V q)  (p V r) p  (q V r)  (p  q) V (p  r) De Morgan: (p  q)  p V q  (p V q)  p  q

Operasi Logika di Dalam Komputer Bahasa pemrograman menyediakan tipe data Boolean untuk data tipe logika Peubah Boolean bernilai True atau False Operasi Boolean dinyatakan dalam ekspresi logika (ekspresi Boolean) Operator Boolean : And Or Not Xor Operasi bit merupakan operasi lain dalam pemrograman yang bersesuaian dengan operasi logika, menggunakan nilai 1 (True) atau 0 (False) Operasi bit Operasi logika 0 F 1  0 T  F 0 V 0 F V F 1  0 T  F

Bitwise Operasi bit yang menggunakan rangkaian bit yang panjangnya tetap dan digunakan untuk memanipulasi informasi Contoh : 10011011 01010101 00010001 Bitwise And 11011111 Bitwise Or 11001110 Bitwise Xor Aplikasi ini sering digunakan dalam mesin pencarian (search engine) di internet

Proposisi Bersyarat (Implikasi) Misalkan p dan q adalah proposisi. Notasi dari proposisi majemuk “jika p maka q” : p  q Proposisi p disebut hipotesis (antesenden atau premis atau kondisi) Proposisi q disebut konklusi (konsekuen) Implikasi p  q hanya salah jika p benar tetapi q salah, selain itu implikasi benilai benar p q p  q T F T = True (benar) F = False (salah)

Ekspresi lain dari implikasi p  q : Konsep matematik mengenai implikasi independen dari hubungan sebab-akibat antara hipotesis dan konklusi Ekspresi lain dari implikasi p  q : Jika p maka q : if p then q Jika p, q : if p, q p mengakibatkan q : p implies q q jika p : q if p p hanya jika q : p only if q p syarat cukup agar q :p is sufficient for p q syarat perlu bagi p :q is necessary for p q bilamana p : q whenever p

Contoh Kalimat implikasi Jika hari hujan maka tanaman akan tumbuh subur Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan Andi bisa mengambil MK Matematika Diskrit hanya jika ia lulus MK Kalkulus Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi

Implikasi dalam Bahasa Pemrograman Struktur : if-then if c then S C : sebuah ekspresi logika menyatakan syarat atau kondisi S : satu atau lebih pernyataan S dieksekusi jika c benar tetapi S tidak dieksekusi jika c salah Dalam bahasa pemrograman penyataan if-then bukan proposisi implikasi karena tidak ada korespondensi antara penyataan dengan operator impiklasi Interpretasi bahasa pemrograman (interpreter atau compiler) tidak melakukan penilaian kebenaran penyataan if-then secara logika tetapi memeriksa kebenaran kondisi c Jika kondisi c benar maka S dieksekusi, sebaliknya jika c salah maka S tidak dieksekusi

Varian Proposisi Bersyarat Konvers (kebalikan) Notasi : q p Invers Notasi : p  q Kontraposisi : Notasi : q  p p q p q Implikasi pq Konvers qp Invers p q Kontraposisi q p T F

Bi-kondisional (Bi-implikasi) Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q “ dinyatakan dengan notasi : p  q Penyataan p  q bernilai benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama p q p  q T F T = True (benar) F = False (salah)

Bi-kondisional pq ekivalen dengan (p  q)  (q  p) Bi-kondisional dapat dinyatakan dengan kata-kata : p jika hanya jika q p adalah syarat perlu dan cukup untuk q Jika p maka q, dan sebaliknya P iff q p q p q pq qp (p  q)  (q  p) T F

Contoh proposisi majemuk dari bi-implikasi 1 + 1 = 2 jika hanya jika 2 + 2 = 4 Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi Jika budi orang kaya maka budi mempunyai banyak uang, dan sebaliknya Surabaya terletak di Jawa Tengah iff Jawa Tengah adalah sebuah pulau di Indonesia

Inferensi (Inference) Adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi Kaidah inferensi : Modus ponen (law of detachment) Modus tolen Silogisme hipotesis Silogisme disjungtif Simplifikasi Penjumlahan Konjungsi

Modus Ponen Didasarkan pada tautologi (p  (p  q))  q, dalam hal ini p dan (p  q) merupakan hipotesis sedangkan q konklusi Kaidah modus ponen dinyatakan dengan : p  q p  q Jika hipotesis p dan implikasi p  q benar maka konklusi q benar

Contoh Modus Ponen Jika 20 habis dibagi 2 maka 20 adalah bilangan genap 20 habis dibagi 2 20 adalah bilangan genap

Modus Tolen Didasarkan pada tautologi (q  (p  q))  p Kaidah modus ponen dinyatakan dengan : p  q q  p Contoh : Jika 20 habis dibagi 2 maka 20 adalah bilangan genap 20 adalah bilangan ganjil 20 tidak habis dibagi 2

Silogisme Hipotesis Didasarkan paada tautologi ((p  q)  (q  r))  (p  r) Dituliskan dengan : p  q q  r  p  r

Silogisme Disjungtif Didasarkan pada tautologi ((p V q)  p)  q Dituliskan dengan : p V q  p  q

Simplifikasi Didasarkan pada tautologi (p  q)  p Dituliskan dengan : Contoh : Dian adalah mahasiswa Unair dan mahasiswa ITATS. Karena itu, Dian adalah mahasiswa Unair

Penjumlahan Didasarkan pada tautologi p  (p V q) Dituliskan dengan :

Konjungsi Didasarkan pada tautologi ((p)  (q))  (p  q) Dituliskan dengan : p q  p  q

Argumen Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar, sebaliknya sebuah argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid)

Contoh Argumen Periksa kesahihan argumen berikut : P  q r  p Q r Misal argumen nyatanya sbb : “Jika saya pulang kampung, maka saya tidak bisa ikut ujian susulan. Jika saya tidak lulus ujian, maka saya pulang kampung. Tetapi saya bisa ikut ujian susulan. Oleh karena itu saya lulus ujian”