Pertemuan 2 Aritmatika Vektor

Topik Bahasan Perkalian vektor dengan skalar Perkalian Vektor dengan Vektor: > Dot Product : Model dot product, Sifat dot product

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian Vektor dengan skalar Untuk sembarang vektor a dengan α, maka: panjang αa = | α |.|a| jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0 Untuk vektor a dalam koordinat kartesian jika a = [a1,a2,a3] maka: αa = [αa1, αa2, αa3]

Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan vektor α = skalar a = vektor Vektor x merupakan hasil perkalian antara vektor a dengan skalar α Jika α positif arah x searah dengan a Jika α negatif arah x berlawanan dengan a x = α a α = 3, a x = 3a

aR Arahnya sesuai dengan yang dikehen daki Dalam sistem sumbu Kartesian vektor satuan biasanya dinyatakan sebagai : aX atau I , aY atau j dan az atau k. Z k j Y i X

● Sistem sumbu Kartesian dan komponen vektor Z+ RZ R< x , y , z > k i j RY Y+ RX X+ R< x , y , z > menyatakan koordinat vektor R i ┴ j ┴ k dan IiI = IjI = IkI = 1 i = vektor satuan arah sumbu X+ j = vektor satuan arah sumbu Y+ k = vektor satuan arah sumbu Z+

Perkalian vektor dgn skalar Contoh 1 : Diketahui : Hitunglah : 5u Jawab :

Sifat Perkalian vektor dan skalar αa = aα Komulatif α(ka) = (αk)a Asosiatif α(a+b) = αa + αb Distributif (α+k) a = αa + ka Distributif 1.a = a Elemen netral 0.a = 0 Elemen central (-1) a = -a Elemen invers

Latihan(1) 1. Diketahui : Hitunglah : 2u = u2 -4v = -v4 3u + 3v =(u + v )3 2u– 3v

Latihan(1) 2. Buktikan bahwa sifat perkalian vektor dan skalar adalah benar dengan menggunakan latihan soal no 1

Perkalian Titik (Dot Product)

Visualisasi Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitan Memiliki sudut antara dua vektor yaitu Ø (dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ π

Rumus Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah: u.v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u.v = 0 jika u = 0 dan v = 0

Contoh 2 |b| = 4 |a| = 5 Jika |a| = 5, |b| = 4. sudut antara kedua vektor 60. maka a.b = …. Jawab: a.b = |a||b|cos = 5.4. cos 60 = 20.½ = 10 |b| = 4 60 |a| = 5

Contoh 3 |b| = 6 |a| = 4 Jika |a| = 6, |b| = 4. sudut antara kedua vektor 90. maka a.b = …. Jawab: a.b = |a||b|cos = 6.4. cos 90 = 24.0 = 0 |b| = 6 |a| = 4

a.b =a1b1 + a2b2 + a3b3 Jika a = a1i +a2j + a3k dan b = b1i + b2j +b3k maka Hasil perkalian titik padaVektor dirumuskan dengan a.b =a1b1 + a2b2 + a3b3

Contoh 4 Jika a = 3i + 2j + k dan b = 6i -2j + 3k maka hasil kali vektor b.a = .... Jawab: b.a = b1a1 + b2a2 + b3a3 = 6.3 + (-2).2 + 3.1 = 18 – 4 + 3 = 17

Sifat-sifat Perkalian Titik a.b = b.a k(a .b) = ka.b = kb.a a.a = |a|² a.(b ± c) = a.b ± a.c a.b = 0 jika dan hanya jika a  b

Cara lain menyatakan dot produc a.b dituliskan juga sebagai (a,b) : Inner Product |a| dituliskan pula sebagai

Besaran Sudut vektor Dengan rumus hasil kali titik dua vektor, besaran sudut dapat ditentukan antara dua vektor. Dari a.b = |a||b|cos, dapat diperoleh

Contoh 5 Tentukan besar sudut antara vektor a = 2i + j - 2k dan vektor b = -j + k Jawab:

cos = -½2 Jadi  = 135

Latihan 2 1. Jika a = -3i + 4j + 2k , b = 4i -2j + k dan c = -4j + 2k Carilah a(b – c) a(b + c)

a.(b – c) = a.b – a.c a.b = (-3)4 + 4(-2) + 2.1 = -12 – 8 + 2 = -18 a.c = (-3).0 + 4(-4) + 2.2 = 0 – 16 + 4 = -12 a.b – a.c = -18 – (-12) = -6 Jadi a.(b – c) = -6

a.b + a.c = -18 + (-12) = -30 Jadi a.(b + c) = -30

Kesimpulan Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya. vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis Rumus untuk dot product Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar u.v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u.v = 0 jika u = 0 dan v = 0

Tugas (2) Dua vektor u = dan v = adalah saling tegak lurus, maka carilah nilai x yang memenuhi. 2. Diketahui |a|=2 ;|b|=3, dan b.(a + b) =12. Carilah besar sudut antara vektor a dan b 3. Jika diketahui vektor a = [2,3,0], b=[4,-2,2]. Tentukanlah: panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b,

TUGAS (2) 4. Diketahui titik-titik A(4,3,5), B(2,3,1) dan C(5,2,4). AB wakil dari u dan AC wakil dari v . Carilah kosinus sudut dan besar sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v