Financial Econometric Variance Process: ARCH dan GARCH Process Dipresentaikan oleh : Y. Arief Rijanto, Isi Presentasi diambilkan dari bahan perkuliahan Financial Econometric : DR. Bambang Hermanto, Departemen Manajemen FEUI

Non-linearitas: latar belakang Mandelbrot (1963) menununjukkan bahwa model struktural linier (dan time series) tidak dapat menjelaskan sejumlah karakter penting dari data keuangan seperti: - leptokurtosis - volatility clustering atau volatility pooling - pengaruh leverage Kenyataan di atas disebut sebagai stylized facts pada data keuangan runtun waktu  Bentuk umum model linier (model klasik): yt = 1 + 2x2t + ... + kxkt + ut, Dimana diasumsikan bahwa εt  N(0,2). (1)

Model non-linear: definisi Campbell, Lo and MacKinlay (1997) mendefinisikan suatu proses generating data (DGP) non-linier sebagai sesuatu yang dapat ditulis sebagai: yt = f(ut, ut-1, ut-2, …) dimana ut adalah faktor error yang iid (identic, independent distribution) dan f adalah fungsi non-linear. Mereka juga memberikan definisi yang lebih spesifik yakni: yt = g(ut-1, ut-2, …)+ ut2(ut-1, ut-2, …) dimana g adalah fungsi (dari hanya) faktor error sebelumnya dan 2 adalah variannya. Model dengan non-linear g(•) berarti “non-linear dalam mean”, sedangkan model dengan nonlinear 2(•) berarti “non-linear dalam varian”. (2) (3)

Model non-linear: mean dan variance equation Berdasarkan penjelasan sebelumnya, dalam suatu model terdapat 2 persamaan sekaligus, yakni: Persamaan mean (mean equation/process)  persamaan atas variabel datanya (DGP) Persamaan varian (variance equation/process)  persamaan atas varian dari mean process-nya Variance process dipengaruhi oleh mean process-nya dan sebaliknya. Model yang baik harus optimal baik mean process maupun dalam varian processnya Dalam model regresi klasik dengan asumsi OLS, variannya diasumsikan konstan (no varrying time) – asumsi homoskedastisitas – sehingga tidap perlu dicari persamaan variannya (konstan).

Model non-linear: kebutuhan variance equation Variance equation diperlukan jika terdapat heteroskedastisitas pada residual mean equationnya Perlu dilakukan uji heteroskedastisitas untuk menyakinkan ada-tidaknya heteroskedastisitas pada residual Uji heteroskedastisitas menggunakan uji White (lihat pertemuan sebelum UTS), dimana statistik ujinya dirumuskan: Dimana: v = derajat bebas (jumlah variable penjelas dalam model) R2 = koefisien determinasi dari auxiliary regression n = jumlah observasi

Jenis-jenis model non-linear Paradigma linier adalah sangat berguna. Banyak hubungan yang (nampaknya) non-linear dapat dibuat linear dengan suatu transformasi yang sesuai. Dengan kata lain, banyak hubungan dalam keuangan yang secara intrinsik adalah non-linear. Ada berbagai jenis model non-linear, diantaranya: - model ARCH / GARCH - model switching (contoh : Markov Switching) - model bilinear - dan lainnya Satu bentuk model non-linear yang telah terbukti sangat berguna dalam keuangan adalah model ARCH (sejak Engle [1982]).

Uji untuk non-linearitas Uji Portmanteau untuk dependensi non-linear telah dikembangkan, diantaranya adalah uji Reset Ramsey. Bentuk uji Reset adalah:   Banyak uji non-linearitas lainnya yang tersedia, misalnya uji BDS dan uji bispectrum. (4)

Heteroskedastisitas Contoh dari bentuk model linier adalah: REVIEW Heteroskedastisitas Contoh dari bentuk model linier adalah: dengan ut  N(0, σu2). Asumsi bahwa varian error adalah konstan dikenal sebagai homoskedastisitas, yakni Var (ut) = σu2. Lalu… Bagaimana jika varian error tidak konstan? Maka yang terjadi: - heteroskedastisitas - berimplikasi bahwa standard error estimasi dapat menjadi salah. Pertanyaan: Apakah varian error cenderung konstan sepanjang waktu? Jawab: umumnya tidak untuk data keuangan (dan ekonomi). (5)

ARCH (Engle, 1982) dan tiga temuan Engle Varian bersyarat (conditional variance) berubah sepanjang waktu, kadang-kadang sangat substansial Terdapat volatility clustering – perubahan besar (kecil) dalam return yang tak terprediksi cenderung diikuti oleh perubahan besar (kecil) juga Distribusi tak bersyarat (unconditional distribution) dari return mempunyai ekor gemuk (‘fat’ tails) yang memberikan probabilitas relatif lebih besar terhadap ‘outliers’ dibandingkan dengan distribusi normal. Engle, Robert F. (1982) “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation,” Econometrica, 50, 987?008.

ARCH: aplikasi empiris Area utama aplikasinya adalah ekonometrika keuangan: Awalnya: pemodelan varian bersyarat inflasi Kejutan (shocks) mempengaruhi varian dari return saham indeks (stock market) → premi risiko pasar Peningkatan varian atas kelebihan return (excess returns) pada obligasi → premi risiko ↑ Volatilitas pasar mendorong volatilitas return saham individu → return saham individu

ARCH: konsep dasar Varian bersyarat tidak konstan sepanjang waktu Varian bersyarat mungkin mempengaruhi rata-rata bersyarat (conditional mean) Suatu model regresi untuk rata-rata seharusnya memasukkan beberapa fungsi dari varian bersyaratnya.

Mengapa varian bersyarat tidak konstan sepanjang waktu? Banyak shock kecil yang terjadi pada industri tertentu Kejadian besar: Shock harga minyak, Crash pasar saham pada Oct. 1987, Pergantian pemerintahan (politik) dan sosial budaya semuanya potensial mempengaruhi volatilitas return.

Bagaimana hal tersebut dapat dimodelkan agar dapat merespon time-varying shocks? Engle menjawab: proses ARCH AR(1): Jika varian bersyarat dari et konstan, maka

Bagaimana hal tersebut dapat dimodelkan agar dapat merespon time-varying shocks? Nilai varian satu periode ke depan (prediksi) adalah tidak bervariasi terhadap nilai sebelumnya dari et atau e2t Heteroskedastisitas tergantung pada nilai yt sebelumnya. Longgarkan asumsi di atas! Nilai besar (positif atau negatif) yt-1 mengarah pada varian yang besar dari yt, namun di sini tidak ada informasi mengenai satu periode ini. Varian bersyarat dari yt:

Generalisasi 1: ARCH(1) → ARCH(q) Masalah: Banyak koefisien yang harus diestimasi Kendala non-negatif Varian tidak dapat menjadi negatif sehingga estimasi pada semua ai harus menjadi positif untuk menyakinkan secara pasti bahwa varian positif untuk semua error

Generalisasi 2: model regresi Rata-rata (mean): fungsi regresi Varian bersyarat dari yt Spesifikasi ARCH untuk gangguan regresi (disturbance) Dimana ut adalah white noise dengan Var(ut)=1 ARCH(1) ARCH(q)

Shock besar pada t-1 (yakni et-1), mengarah pada varian bersyarat yang besar dalam t (yakni σt2). Ketika shock pada t akan besar, yt akan naik hingga yt+1. Pengaruh pada yt+1 tergantung pada Ф1. yt+s akan dipengaruhi, namun pengaruhnya akan menghilang ketika s→∞.

ARCH(q) Syarat:

Estimasi: ARCH(1) adalah hite noise dengan Var(ut)=1

Metode MLE (Maximum Likelihood Estimation) Langkah 1: bentuk estimasi b dengan OLS, abaikan ARCH Langkah 2: nilai st dapat dihitung dari Langkah 3: st2 digunakan untuk mengevaluasi log likelihood – yang mana dapat dimaksimalkan dengan menggunakan metode hill-climbing atau algoritma BHHH (dikembangkan oleh Berndt, E., B. Hall, R. Hall, and J. Hausman, [1974]).

Uji “pengaruh ARCH”: uji heteroskedastisitas (uji White) 1. Pertama, lakukan regresi linier dari bentuk persamaan 10 dan 11 (hanya untuk mean equation) sebagai berikut: yt = 1 + 2x2t + ... + kxkt + ut kemudian simpanlah residulnya, . 2. Kemudian kuadratkan residualnya, dan regresikan mereka pada lag q-nya untuk menguji ARCH(q), yakni meregresikan: dimana vt adalah iid. Dan kemudian hitunglah R2 dari regresi ini. 3. Statistik uji didefinisikan sebagai TR2 (dimana T adalah jumlah observasi) – dikenal dengan uji LM-White, dan didistribusikan sebagai 2(q). (12)

Uji “pengaruh ARCH”: uji heteroskedastisitas (uji White) 4. Hipotesa nol dan alternatifnya: H0 : 1 = 0 dan 2 = 0 dan 3 = 0 dan ... dan q = 0 H1 : 1  0 atau 2  0 atau 3  0 atau ... atau q  0. 5. Jika nilai stastistik uji lebih besar daripada nilai kritis dari distribusi 2, maka tolak hipotesa nol (H0). Catatan: bahwa uji ARCH juga kadang-kadang diterapkan secara langsung terhadap ahsil residual dari tahap pertama di atas.

Masalah-masalah terkait dengan model ARCH(q) Bagaimana kita menentukan q? Nilai q yang dibutuhkan mungkin sangat besar Kendala non-negatif mungkin terlanggar. Ketika kita mengestimasi model ARCH, kita memerlukan kondisi i >0  i=1,2,...,q (karena varian tidak boleh negatif) Pengembangan model ARCH(q) yang berusaha mengatasi masalah-masalah ini mengarah pada model GARCH.

Model Generalised ARCH (GARCH) Dikenalkan oleh Bollerslev (1986), dimana dia menjadikan varian bersyarat (conditional variance) dependen terhadap nilai lag sebelumnya. Sehingga sekarang persamaan variannya menjadi: Persamaan 13 di atas merupakan model GARCH(1,1), yang mana mirip dengan model ARMA(1,1) untuk persamaan varian. Kita juga dapat menulisnya: Dengan mensubtistusikan persamaan 14 ke persamaan 13 diperoleh: (13) (14)

Model Generalised ARCH (GARCH) Dengan cara yang sama kita substitusikan persamaan t-22 (seperti persamaan 14) ke dalam persamaan 13, diperoleh:   Untuk perlakuan substitusi sampai jumlah tak terbatas diperoleh hasil: Sehingga model GARCH(1,1) dapat ditulis sebagai model ARCH dengan order tak terbatas. Kemudian kita dapat mengembangkan model GARCH(1,1) ke bentuk umum GARCH(p,q):

Varian tak bersyarat (unconditional variance) di bawah spesifikasi GARCH Varian tak bersyarat dari ut diperoleh dengan: dimana: α1 + β < 1 Jika diperoleh hasil bahwa α1 + β ≥ 1, maka menunjukkan “non-stationaritas” dalam varian Sedangkan jika α1 + β = 1, maka disebut intergrated GARCH Untuk non-stationaritas dalam varian, prediksi varian bersyarat tidak akan konvergen pada nilai tak bersyaratnya (unconditional value) ketika horison waktu meningkat.

GARCH(p,q) Rangkuman: Catatan: dalam hal ini ut = εt Varian tak bersyarat (unconditional variance) adalah non-negatif dan terbatas (finite):

Model Generalised ARCH (GARCH) Namun secara umum, model GARCH(1,1) sudah cukup untuk menangkap volatility clustering dalam data.   Mengapa model GARCH lebih baik daripada model ARCH? Jawab: - lebih parsimonious – menghindari overfitting - cenderung kurang melanggar kendala non-negatif.

Estimasi model ARCH / GARCH Karena model tidak lagi berbentuk linear biasa, maka kita tidak dapat menggunakan pendekatan OLS. Alternatifnya, kita akan menggunakan pendekatan MLE. MLE akan berusaha menemukan nilai parameter yang paling cenderung terjadi untuk data aktual yang diberikan. Secara lebih spesifik lagi, kita akan membentuk fungsi log-likelihood dan memaksimalkannya.

Apa kegunaan model ARCH - GARCH? ARCH - GARCH dapat memodelkan pengaruh volatility clustering ketika varian bersyarat adalah autoregressive. Model seperti ini dapat digunakan untuk memprediksi volatilitas. Kita menunjukkan bahwa: Var (yt  yt-1, yt-2, ...) = Var (ut  ut-1, ut-2, ...) Sehingga dengan memodelkan t2 akan memberikan kepada kita model dan prediksi untuk yt.

Prediksi dari model GARCH Prediktor linier terbaik menggunakan It: Menggunakan aturan berantai (chain-rule) prediksi dan kenyataan bahwa:

Prediksi dari model GARCH Iterasi di atas memberikan untuk k > 2 Catt: ketika Keterangan: • Standard errors dapat dihitung menggunakan metode simulasi.

Perluasan dari model dasar GARCH Sejak model GARCH dikembangkan, sejumlah besar perluasan dan variasi telah ditawarkan. Tiga contoh yang paling penting adalah: - model EGARCH, - model GJR-GARCH (TARCH), dan - model GARCH-M. Masalah-masalah dengan model GARCH(p,q) : - kendala non-negatif mungkin masih terlanggar - model GARCH tidak dapat menghitung pengaruh (efek) leverage Solusi yang mungkin: - model exponential GARCH (EGARCH) atau - model GJR-GARCH (TARCH), yang keduanya merupakan model asymmetric GARCH

Perluasan: GARCH-in-Mean (GARCH-M) Dasar: teori keuangan modern menunjukkan bahwa volatilitas mungkin berhubungan dengan risk premia aset Model GARCH-M mengijinkan time-varying volatility berhubungan dengan ekspektasi return Engle, Robert F., David M. Lilien, and Russell P. Robins (1987) “Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure: The ARCH-M Model,” Econometrica 55, 391?07.

Perluasan: GARCH-in-Mean (GARCH-M) Kita berekspektasi bahwa suatu risiko akan dikompensasi dengan return yang lebih tinggi. Sehingga mengapa kita tidak membiarkan return secara parsial ditentukan oleh risikonya?   Engle, Lilien and Robins (1987) menawarkan spesifikasi GARCH-M. Suatu model GARCH-M akan menjadi: Dimana   dapat diintepretasikan sebagai bentuk premi risiko. Sehingga memungkinkan untuk mengkombinasikan semua atau beberapa model tersebut bersamaan untuk mendapatkan model hibrid yang lebih kompleks, misalnya: model ARMA-EGARCH(1,1)-M.

Perluasan: GARCH-in-Mean (GARCH-M) Peningkatan risiko, dengan standar deviasi bersyarat tertentu mendorong pada peningkatan return rata-rata (mean return). Nilai a menunjukkkan peningkatan return yang dibutuhkan untuk mengkompensasi kenaikan risiko. Sehingga nilai a merupakan ukuran risk aversion.

Perluasan: asymmetric GARCH (Pengaruh leverage) Misalkan terdapat shock negatif terhadap return ekuitas suatu perusahaan Hal ini akan meningkatkan leverage perusahaan (nilai ekuitas turun, hutang tidak berubah) Sehingga risiko ekuitas meningkat Shock positif terhadap ekuitas menurunkan leverage dan mempunyai dampak negatif pada risiko. Error negatif mempunyai pengaruh lebih besar daripada error positif.

Perluasan: model TARCH (Threshold ARCH) atau GJR-GARCH Diperkenalkan oleh Glosten, Jaganathan, and Runkle (GJR, 1993) Pengaruh leverage ditunjukkan dengan g > 0 Kendala non-negatifnya adalah a0>0, a1>0, b1>0 dan a1+ g >0 It-1 = 1 jika ut-1 < 0 (berita negatif) = 0 jika lainnya (berita positif) Glosten, L.R., R. Jagannathan, and D. Runkle (1993) “On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Normal Excess Return on Stocks,” Journal of Finance, 48, 1779-801.

Perluasan: contoh model TARCH Tentukan suatu model GJR yang tepat untuk return bulanan S&P: (sehingga diperoleh) Misalkan bahwa varian periode terakhir adalah 0.8 ut-1= 0.5 berimplikasi st2 = 1.645 ut-1=-0.5 berimplikasi st2 = 1.796 pengaruh leverage

Kurva atas dampak suatu berita Plot NIC ini merupakan dampak dari shock (berita) pada varian bersyarat Engle, Robert F. and Victor K. Ng (1993) “Measuring and Testing the Impact of News on Volatility,” Journal of Finance, 48, 1022?082.

Perluasan: Model EGARCH Dikenalkan oleh Nelson (1991). Persamaan varian diberikan sebagai berikut:   Keunggulan model ini: Karena modelnya adalah log(t2), maka meskipun jika parameternya negatif, t2 akan menjadi positif. Kita dapat menghitung pengaruf leverage: jika hubungan antara volatilitas dan returnnya negatif, maka  akan menjadi negatif. Nelson, Daniel B (1991) “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach,” Econometrica, Vol. 59, No. 2, 347-370.

Terima kasih