1.2. Logika Predikat Pada pembahasan pasal sebelumnya kita telah membahas logika proposisional yang terdiri dari proposisi tunggal (disebut juga atom atau primif) dan proposisi majemuk. Kelemahan utama dari logika proposisional adalah tidak boleh mengandung peubah. Hal ini berkaitan dengan definisi dari proposisi, yaitu hanya mempunyai nilai benar atau salah; tidak keduanya. Berarti pada logika proposisional tidak boleh mengandung peubah.

Misalnya pernyataan 2x + 1 = 3 dengan daerah asal bilangan ril. Padahal dalam banyak hal pernyataan- pernyataan dalam matematika dan/atau ilmu komputer dinyatakan dalam bentuk rumus-rumus. Kelemahan lain dari logika proposisional adalah dari segi effisiensi, karena tidak menjelaskan tentang Banyaknya kuantitas yang terlibat dalam pembahasan. Jika kita ingin menyatakan keseluruhan dari 1000 orang mahasiswa STMIK “”, maka kita harus menulis satu persatu proposisi dari masing-masing mahasiswa tersebut, misal :

Adi adalah mahasiswa STMIK “” Benny adalah mahasiswa STMIK “” Chairul adalah mahasiswa STMIK “” ⋮ Zainal adalah mahasiswa STMIK “” Kelemahan lain dari logika proposisional adalah pada saat kita harus menarik kesimpulan (inferensi) suatu argumen, maka kesimpulannya harus terkait dengan hipotesis atau premis.

Perhatikan pq p ∴ q Modus Ponens pq q ∴ p Modus Tollens pq qr ∴ pr Silogisme Hipotesis

Perhatikan argumen berikut. Semua makhluk hidup pasti mati Kucing adalah makhluk hidup ∴Kucing pasti mati Adalah hal yang masuk akal jika kita menarik kesimpulan, Kucing pasti mati. Akan tetapi menurut aturan inferensi pada logika proposisional, Kesimpulan harus mempunyai kaitan dengan premis/premis-premisnya.

p : Semua makhluk hidup pasti mati q : Kucing adalah makhluk hidup Untuk lebih jelas kita akan menggunakan simbol proposisi pada argumen diatas. p : Semua makhluk hidup pasti mati q : Kucing adalah makhluk hidup r : Kucing pasti mati Jadi, p q r Karena proposisi r tidak ada hubungannya dengan proposisi p dan q, maka r bukan kesimpulan dari argumen. Karena beberapa kelemahan logika proposisi, maka kita perlu untuk mempelajari logika predikat.

1.2.1. Predikat dan Fungsi Proposisional Jika P(x) adalah pernyataan yang mengandung x dan D sebuah himpunan, maka P disebut sebagai predikat dan P(x) adalah fungsi proposisional dalam D jika untuk setiap x dalam D, P(x) merupakan proposisi. Contoh 1.38 Berikut adalah contoh-contoh fungsi proposisional: x2 + x – 6 = 0, daerah asal adalah himpunan bilangan asli. Ditulis: Untuk setiap x > 0, P(x) : f(x) = 0 b) x + y = 4, daerah asal adalah himpunan bilangan ril. Ditulis : Untuk setiap x dan y (ril) Q(x, y) : f(x) = 4

1.2.2. Kuantor Telah dijelaskan pada pasal sebelumnya, bahwa logika prosisional tidak menjelaskan tentang banyaknya kuantitas yang terlibat dalam pembahasan. Untuk menyatakan kuantitas yang terlibat dalam pembahasan maka kita gunakan simbol kuantor, yaitu  dan . Simbol  disebut kuantor universal dan simbol  adalah kuantor eksistensial. Kuantor universal () menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat dari kalimat yang menyatakannya. Sedangkan kuantor eksistensial () menunjukkan bahwa sebagian (setidak-tidaknya satu objek) dalam semestanya memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.

Misal terdapat kalimat berkuantor (xD), p(x). Nilai kebenaran kalimat tersebut adalah benar jika dan hanya jika nilai p(x) benar untuk setiap x dalam semesta D dan bernilai salah apabila setidak-tidaknya ada satu x dalam semesta D yang menyebabkan p(x) salah. Nilai x yang menyebabkan p(x) bernilai salah disebut contoh penyangkal (counter example). Umumnya peubah x pada p(x) disebut peubah bebas. Sedangkan peubah x pada (xD), p(x) disebut peubah tak bebas.

Kalimat berkuantor (xD), p(x) mempunyai nilai benar jika dan hanya jika setidak-tidaknya ada satu x dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar dan bernilai salah apabila semua x dalam semestanya bernilai salah. Dengan adanya kuantor maka p(x) dapat bernilai benar saja atau salah saja; tidak keduanya. Untuk p(x) yang memenuhi sifat proposisi disebut fungsi proposional.

Contoh 1.39 Misal terdapat proposisi p: Makhluk hidup akan mati. Jika makhluk hidup kita ganti dengan x, maka pernyataan asal dapat ditulis menjadi p(x), x akan mati. Karena kita mengetahui bahwa semua makhluk hidup akan mati, maka pernyataan diatas dapat ditulis menjadi, xD, p(x), dengan D adalah makhluk hidup.

Contoh 1.40 Misal terdapat proposisi p : Manusia disiplin. Jika manusia kita ganti dengan x, maka pernyataan asal dapat ditulis menjadi p(x) : x disiplin. Kita telah mengetahui bahwa hanya sebagian manusia yang disiplin, maka pernyataan diatas dapat kita tulis menjadi : xD, p(x), dengan D adalah manusia.

Contoh 1.41 Nyatakan kalimat berkuantor berikut dalam bahasa sehari-hari ! xbilangan ril, x2  0 xbilangan ril, x2  0 mbilangan bulat, m2 = m Penyelesaian : Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tak negatif b) Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tidak sama dengan nol. c) Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri

Contoh 1.42 Misal D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa pernyataan mD, m2 = m bernilai benar. Misal E adalah himpunan bilangan bulat antara 6 dan 10. Buktikan bahwa kalimat mE, m2 = m bernilai salah.

Bukti : a) Untuk m= 1, maka m2 = 1 dan m = 1. Sehingga untuk m=1, m2 = m. (terbukti) b) Untuk m = 7 , m2 = 49 m = 8 , m2 = 64 m = 9 , m2 = 81 Tidak ada bilangan bulat antara 6 dan 10 yang memenuhi m2 = m. Sehingga pernyataan m, m2 = m bernilai salah (terbukti).

1.2.3 Ingkaran Kalimat Berkuantor Misal terdapat pernyataan “Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit”. Pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang salah jika setidak-tidaknya terdapat satu mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit. Perlu diingat bahwa nilai kebenaran yang salah merupakan ingkaran dari nilai kebenaran yang benar. Jadi ingkaran dari “Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit” adalah “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit”.

Jika semesta pembicaraan sudah jelas, bisanya tidak Jika p : Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit dan p(x) : “x lulus ujian Matematika Diskrit”, maka dalam bentuk simbolik pernyataan tersebut dapat kita tulis menjadi xmahasiswa, p(x). Sedangkan “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit” dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi xmahasiswa, p(x). Jika semesta pembicaraan sudah jelas, bisanya tidak dicantumkan lagi pada penulisannya. Jadi xmahasiswa, p(x) sering ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana seperti : x, p(x).

Secara umum ingkaran dari kalimat berkuantor adalah sebagai berikut: x, p(x)  x, p(x) x, p(x)  x, p(x) Contoh 1.47 Tulis ingkaran dari kalimat-kalimat berikut : a) Semua orang sukses rajin bekerja b) Sebagian ahli matematika adalah orang malas c) Ada bilangan ril merupakan bilangan rasional. Penyelesaian:

Misal p(x) : “x rajin bekerja”. Maka kalimat a) dapat kita tulis dalam bentuk simbol : xorang sukses, p(x) atau x, p(x). Ingkaran x, p(x) adalah x, p(x)  x, p(x) b) Misal q(x) : “x adalah orang malas”. Maka kalimat b) dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi : xahli matematika, q(x) atau x, q(x). Ingkaran x, q(x) adalah x, q(x)  x, q(x) . c) Misal r(x) : “x merupakan bilangan rasional”. Kalimat tersebut dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi : xbilangan ril, r(x) atau x, r(x). Ingkaran x, q(x)  x, r(x)

Contoh 1.48 Tulis kalimat-kalimat berikut dengan menggunakan simbol-simbol, kemudian tulis ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat). Untuk setiap x, jika x bilangan ganjil maka x2 + 1 bilangan ganjil juga. b) Ada beberapa x sedemikian sehingga x merupakan bilangan genap dan x merupakan bilangan ganjil.

Ada beberapa bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil, tetapi (x2 + 1) bukan merupakan bilangan ganjil. Penyelesaian a) Misal p(x) : x bilangan ganjil q(x) : x2 + 1 bilangan ganjil x, (p(x)  q(x)) Ingkarannya : x, (p(x)  q(x))

b) Misal r(x) : x bilangan ganjil s(x) : x2 + 1 bilangan ganjil Kalimat semula x, (r(x)  s(x)) Ingkarannya x, (r(x)  s(x)) adalah x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x)) Semua bilangan x bukan merupakan bilangan genap atau bukan merupakan merupakan bilangan ganjil

1.2.4 Kalimat Berkuantor Ganda Kalimat berkuantor ganda adalah kalimat yang menggunakan lebih dari satu kuantor. Secara umum ekiovalensi dari kalimat berkuantor ganda adalah sebagai berikut: x y p(x,y)  y x p(x,y) x y p(x,y)  y x p(x,y) x y p(x,y)  y x p(x,y) Sedangkan ekivalensi dari ingkarannya adalah: x y p(x,y)  x y p(x,y) x y p(x,y)  x y p(x,y)

Contoh 1.49 Nyatakan kalimat berikut ke dalam simbol logika. Setiap bilangan genap sama dengan 2 kali bilangan bukat. Jika setiap dosen bermutu maka semua mahasiswa antusia belajar. Penyelesaian: Misal p(x,y) : x sama dengan 2 kali y x  bilangan genap y bilangan bulat p(x,y) atau disingkat x y p(x,y) b) Misal p(x,y) : Jika x maka y xdosen bermutu ymahasiswa antusias belajar p(x,y), atau dapat disingkat x y p(x,y)