10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

10.10 Prinsip sarang merpati (Pigeonhole Principle) Teorema 10.1 Jika n + 1 objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek

Contoh 10.18 Dari 27 orang mahasiswa, terdapat paling sedikit dua orang mahasiswa yang memiliki nama yang dimulai dengan huruf yang sama. Contoh 10.19 Misal terdapat sejumlah bola merah, hijau dan putih. Berapakah jumlah bola minimal yang harus diambil agar didapat sepasang bola berwarna sama? Penyelesaian: Warna bola identik dengan jumlah kotak atau sarang merpati (n = 3). Agar dapat dipastikan dapat mengambil bola berwarna sama, maka harus diambil minimal n + 1 atau 3 + 1 = 4

Teorema 10.2 Prisinsip sarang merpati yang dirampatkan Jika M objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi minimal M/n objek

Contoh 10.20 Di antara 60 orang mahasiswa terdapat paling sedikit 65/12 = 6 orang yang lahir pada bulan yang sama. Contoh 10.21 Misal terdapat sejumlah bola merah, hijau dan putih. Berapakah jumlah bola minimal yang harus diambil agar didapat 3 pasang bola yang setiap pasangnya berwarna sama? Penyelesaian: Jumlah bola yang diambil 3 pasang, berarti 6 bola. n = jumlah warna = 3 M/3 = 6  Agar didapat 3 pasang bola, maka harus harus diambil minimal 16 bola.

10.11 Peluang diskrit (Discrete Probability) Himpunan semua kemungkinan hasil percobaan dinamakan ruang contoh (sample space), sedangkan hasil percobaan di dalam ruang contoh disebut titik contoh (sample point). Hasil-hasil percobaan bersifat saling terpisah (mutually exclusive). Sebagai contoh, jika sebuah dadu dilempar, maka yang akan muncul hanya salah satu dari 6 kemungkinan muka dadu.

Biasanya ruang contoh dilambangkan dengan S, dan titik contohnya dilambangkan dengan x1 , x2 , … , Ruang contoh S adalah himpunan titik-titik contoh. S = {x1 , x2 , … , xi , …} Ruang contoh yang jumlah anggotanya terbatas disebut ruang contoh diskrit (discrete sample space). Peluang terjadinya sebuah titik contoh dinamakan peluang diskrit dan dilambangkan dengan p(xi)

Definisi 10.1 Misal xi adalah sebuah titik contoh di dalam ruang S. Peluang bagi xi adalah ukuran kemungkinan terjadinya atau munculnya xi diantara titik-titik contoh yang lain di dalam S. Peluang diskrit mempunyai sifat sebagai berikut: 0  p(xi)  1, yaitu nilai peluang adalah bilangan tidak negatif atau selalu lebih kecil atau sama dengan satu. 2. , yaitu jumlah peluang semua titik contoh di dalam ruang contoh S adalah 1.

Contoh 10.21 Pada pelemparan sebuah dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peluang munculnya setiap titik contoh adalah 1/6. Kejadian (Event) Kejadian, disimbolkan dengan E, adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Misal sebuah dadu dilempar, maka kejdian munculnya angka ganjil adalah E = {1, 3, 5}, kejadian munculnya angka 1 adalah E = {1}. Kejadian yang hanya mengandung satu titik contoh, seperti E = {1}, disebut kejadian sederhana (simple event), Sedangkan kejadian yang mengandung lebih dari satu titik contoh disebut kejadian majemuk (compound event).

Pada pelemparan sebuah dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Definisi 10.2 Peluang kejadian E di dalam ruang contoh S adalah p(E) = |E|/|S|. Peluang kejadian E juga dapat diartikan sebagai jumlah peluang semua titik contoh di dalam E. Jadi, dapat ditulis bahwa : Contoh 10.21 Pada pelemparan sebuah dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian munculnya angka ganjil adalah E = {1, 3, 5} |S| = 6 dan |E| = 3. Peluang munculnya angka ganjil adalah p(E) = |E|/|S| = 3/6 = 1/2.

Contoh 10.22 Dua buah dadu dilemparkan. Berapakah peluang munculnya angka-angka dadu yang jumlahnya 8? Penyelesaian: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} |S| = 36 Kejadian munculnya angka-angka dadu yang jumlahnya 8 adalah: E = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} |E| = 5 p(E) = |E|/|S| = 5/36.

Teorema 10.1 Jika E adalah kejadian pada ruang contoh S , maka peluang kejadian E, yaitu komplemen dari kejadian E, terjadi adalah: Contoh 10.23 Dari 8 bit (1 byte) yang dibangkitkan secara acak, berapa peluang bahwa byte tersebut tidak dimulai dengan ’11’? Penyelesaian Misal E adalah kejadian byte dimulai dengan ‘11’. Sedangkan E adalah kejadian byte tidak dimulai dengan ‘11’.

Jumlah byte yang dimulai dengan ’11’ adalah |E| = 26 = 64 buah byte. Peluang kejadian byte tidak dimulai dengan ‘11’ adalah

Contoh 10.24 Dari 8 bit (1 byte) yang dibangkitkan secara acak, berapa peluang bahwa byte tersebut mengandung sedikitnya satu buah bit ‘0’ Penyelesaian Misal E adalah kejadian bahwa byte mengandung sedikitnya sebuah ‘0’. Sedangkan E adalah kejadian bahwa byte tidak mengandung ‘0’. Jadi |E| = 1

S e l e s a i