BAB V ALGORITMA DAN BILANGAN BULAT A. ALGORITMA Sebuah masalah dipecahkan dengan mendekskripsikan langkah-langkah penyelesaiannya. Urutan penyelesaian masalah ini dinamakan Algoritma. Definisi Algoritma : Algoritma adalah urutan langkah-langkah logis penyelesaian masalah yang disusun secara sistematis. waniwatining

Contoh : Jika kita akan menuliskan algoritma untuk mencari elemen terbesar (maksimum) dari sebuah himpunan yang beranggotakan n buah bilangan bulat. Bilangan-bilangan bulat tersebut dinyatakan sebagai a1, a2, a3,…an. Elemen terbesar akan disimpan di dalam peubah (variabel) yang bernama maks. waniwatining

Algoritma cari Elemen terbesar : Asumsikan a1 sebagai elemen terbesar sementara. Simpan a1 ke dalam maks. Bandingkan maks dengan elemen a2, jika a2 > maks, maka nilai maks deganti dengan a2 Ulangi langkah ke 2 untuk elemen-elemen berikutnya (a3, a4, a5,…an) Berhenti jika tidak ada lagi elemen yang dibandingkan . Dalam hal ini maks berisi nilai elemen terbesar. waniwatining

B. BILANGAN BULAT. Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal. SIFAT PEMBAGIAN PADA BILANGAN BULAT. Misalkan a dan b adalah 2 buah bilangan bulat dengan syarat a  0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac waniwatining

Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b” ditulis juga Dengan kata lain, jika b dibagi dengan a, maka hasil pembagiannya berupa bilangan bulat. Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b” ditulis juga “b kelipatan a” waniwatining

TEOREMA EUCLIDEAN Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q(quotient) dan r(remainder) sedemikian sehingga : m = nq + r dengan 0  r <n waniwatining

Contoh : 1987 = 97 . 20 + 47 24 = 3. 8 + 0 -22 = 3 (-8) + 2 Sisa pembagian tidak boleh negatif, jadi contoh ke 3 tidak dapat ditulis : -22 = 3 (-7) – 1 karena r = -1 tidak memenuhi syarat 0  r <n waniwatining

2. PEMBAGI BERSAMA TERBESAR Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga da dan db. Dalam hal ini dinyatakan PBB (a,b) = d waniwatining

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat. Sifat-sifat dari pembagi bersama terbesar dinyatakan dengan teorema-teorema berikut : Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat. Jika c adalah PBB dari a dan b, maka c (a + b ) b. Jika c adalah PBB dari a dan b, maka c (a - b ) c. Jika c a , maka c ab waniwatining

Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga : m = nq + r , 0  r <n maka PBB (m,n) = PBB (n,r) Contoh : waniwatining

3. ALGORITMA EUCLIDEAN Jika n = 0, maka m adalah PBB (m,n); stop. Tetapi jika n  0 lanjutkan ke langkah 2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. Ganti nilai m dengan n dan nilai n dengan r, lalu ulang kembali ke langkah 1. waniwatining

4. ARITMETIKA MODULO Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca a modulo m) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Dengan kata lain : a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m waniwatining

Kongruen Jika dua buah bilangan bulat a dan b, mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan bulat positif m, maka a dan b kongruen dalam modulo m, dan dilambangkan sebagai : a  b (mod m) Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis : a / b (mod m) waniwatining

Contoh : 38 mod 5 = 3 , dan 13 mod 5 = 3 , maka :  13 ( mod 5) Definisi dari kongruen : Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0 maka a  b (mod m) jika m habis membagi a - b waniwatining

Kekongruenan a  b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan a = b + km yang dalam hal ini sembarang k adalah bilangan bulat. Sifat-sifat pengerjaan hitung pada aritmetika modulo, khususnya perkalian dan penjumlahan, dinyatakan dalam teorema-teorema berikut : waniwatining

Misalkan m adalah bilangan bulat positif. 1. Jika a  b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat, maka : (i) (a + c)  (b + c)(mod m) (ii) ac  bc (mod m) (iii) ap  bp(mod m) untuk suatu bilangan bulat tak negatif p waniwatining

Jika a  b (mod m) dan c  d (mod m) , maka : (i) (a+c)  (b+d) (mod m) (ii) a c  bd (mod m) Contoh : 17 + 5 = 2 + 5 (mod 3)  22 = 7 (mod 3) 17 . 5 = 5 . 2 (mod 3)  85 = 10 (mod 3) 17 + 10 = 2 + 4 (mod 3)  27 = 6 (mod 3) 17 . 10 = 2 . 4 (mod 3)  170 = 8 (mod 3) waniwatining

Balikan Modulo ( Modulo Invers) Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka dapat ditemukan balikan (invers) dari a modulo m. Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat a sedemikian sehingga aa  1 (mod m) Contoh : Tentukan balikan dari 4 (mod 9), 17 (mod 7), dan 18 (mod 10). waniwatining

Kekongruenan Linear Kekongruenan linear adalah kongruen yang berbentuk : ax  b (mod m) Dengan m adalah bilangan bulat positif, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah peubah. Bentuk kongruen linear berarti menentukan nilai-nilai x, yang memenuhi kokongruenan tersebut. ax  b (mod m) dapat ditulis dalam hubungan ax = b + km yang dapat disusun menjadi : waniwatining

5. BILANGAN PRIMA Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. Definisi : Bilangan bulat positif p (p>1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p Bilangan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. waniwatining

Teorema Fundamental Aritmetik Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Misal : 9 = 3 x 3 ( 2 buah faktor prima) 100 = 2 x 2 x 5 x 5 (4 buah faktor prima) 13 = 13 X 1 ( 2 buah faktor prima) waniwatining

Faktor Prima dari n selalu lebih kecil atau sama dengan n Misalkan a adalah faktor prima dari n, dengan 1 < a < n, maka a habis membagi n dengan hasil bagi b sedemikian sehingga n = ab. Nilai a dan b haruslah  n agar : ab >n . n = n Contoh: Tunjukan apakah 171 dan 199 merupakan bilanngan prima atau komposit ? waniwatining

6. KRIPTOGRAFI Aritmetika modulo dan bilangan prima mempunyai banyak aplikasi dalam ilmu komputer, salah satu aplikasinya yang terpenting adalah kriptografi. Kriptografi adalah ilmu sekaligus seni untuk menjaga kerahasiaan pesan ( data atau informasi) dengan cara menyamarkan menjadi bentuk yang tidak mempunyai makna. waniwatining

Plainteks, Chiperteks, Enkripsi dan Dekripsi. Plainteks : pesan yang dirahasiakan, artinya teks jelas yang dapat dimengerti. Chiperteks : pesan hasil penyamaran, artinya teks tersandi. Enkripsi : Proses penyamaran dari plainteks ke chiperteks. Dekripsi : Proses pembalikan dari chiperteks ke plainteks. waniwatining

Kriptografer, Kriptanalis, dan Kriptologi Kriptografer: orang yang menggunakan enkripsi untuk merahasiakan pesan dan mendeskripsikannya kembali. Kriptanalis : orang yang mempelajari metode enkripsi dan chiperteks dengan tujuan menemukan plainteksnya. Kriptologi : studi mengenai kriptografi dan kriptanalis. waniwatining

Notasi Matematis Jika chiperteks dilambangkan dengan C dan plainteks dilambangkan dengan P, maka fungsi enkripsi E memetakan P ke C, E (P) = C Pada proses kebalikannya, fungsi deskripsi D memetakan C ke P, D (C) = P Karena proses enkripsi kemudian dekripsi mengembalikan pesan ke pesan asal, maka kesamaan berikut harus benar , D ( E (P) ) = P waniwatining

Algoritma Kriptografi ( Chiper) Algoritma Kriptografi (chiper) adalah fungsi matematika yang digunakan untuk enkripsi dan dekripsi. Kekuatan suatu algoritma Kriptografi diukur dari banyaknya kerja yang dibutuhkan untuk memecahkan data chiperteks menjadi plainteks. Kriptografi modern tidak lagi mendasarkan kekuatan pada algoritmanya. Jadi algoritma tidak dirahasiakan. Kekuatan kriptografinya terletak pada kunci, yang berupa deretan karakter atau bilangan bulat yang dijaga kerahasiaannya. waniwatining

Kedua fungsi ini memenuhi : DK2 (EK1 ( P )) = P Secara matematis, pada sistem kriptografi yang menggunakan kunci K, maka fungsi enkripsi dan dekripsi menjadi : EK1 ( P ) = C dan DK2 ( C ) = P Kedua fungsi ini memenuhi : DK2 (EK1 ( P )) = P Jika K1 = K2, maka algoritma kriptografinya disebut algoritma simetri ( kunci pribadi) Jika K1  K2 , maka algoritmanya disebut algoritma nirsimetri ( kunci publik ) waniwatining

Algoritma RSA (Rivest – Shamir – Adleman) Algoritma RSA mendasarkan proses enkripsi dan dekripsinya pada konsep bilangan prima dan aritmetika modulo. Kunci enkripsi dan dekripsi merupakan bilangan bulat. Kunci enkripsi tidak dirahasiakan, tetapi kunci dekripsi bersifat rahasia. Untuk menemukan kunci dekripsi harus memfaktorkan suatu bilangan non prima menjadi faktor primanya. waniwatining

Secara ringkas, algoritma RSA adalah sebagai berikut : Pilih dua buah bilangan prima sembarang, a dan b, jaga kerahasiaan a dan b. Hitung n = a x b. Nilai n tidak dirahasiakan. Hitung m = (a – 1) x (b – 1). Setelah nilai m diketahui, a dan b dapat dihapus. Pilih sebuah bilangan bulat e untuk kunci publik, dimana e relatif prima terhadap m. Bangkitkan kunci dekripsi, d dengan kekongruenan ed  1 (mod m) Proses dekripsi dilakukan dengan menggunakan persamaan pi = cid mod n, yang dalam hal ini d adalah kunci dekripsi. waniwatining