Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Ir. Indrawani Sinoem, MS

Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Persamaan Linier Simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.

Persamaan Linier Simultan Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

Augmented Matrix matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: Augmented (A) = [A B]

Contoh 1 : Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?

Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.

Contoh 2 : Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut : Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus. 1 2 3 4

Contoh 2 : 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu : Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

Contoh 2 : Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

Theorema 4.1. Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas. Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn  0. Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Metode Analitik metode grafis aturan Crammer invers matrik

Metode Numerik Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas matrik diubah menjadi augmented matrik :

Metode Eliminasi Gauss ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Operasi Baris Elementer Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Multiply an equation through by an nonzero constant. 2. Interchange two equation. 3. Add a multiple of one equation to another.

Metode Eliminasi Gauss Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut: Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

Contoh : Lakukan operasi baris elementer

Contoh : Penyelesaian :

Echelon Forms This matrix which have following properties is in reduced row-echelon form (Example 1, 2). 1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first nonzero number in the row is a 1. We call this a leader 1. 2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then they are grouped together at the bottom of the matrix. 3. In any two successive rows that do not consist entirely of zeros, the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the leader 1 in the higher row. 4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else. A matrix that has the first three properties is said to be in row-echelon form (Example 1, 2). A matrix in reduced row-echelon form is of necessity in row-echelon form, but not conversely.

Example 1 Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form

Example 2 More on Row-Echelon and Reduced Row-Echelon form All matrices of the following types are in row-echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) : All matrices of the following types are in reduced row-echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :

Contoh Solusi dari Sistem Pers Linier Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon. Solution (a)

Example 3 Solutions of Four Linear Systems (b1) Solution (b) free variables leading variables

Example 3 Solutions of Four Linear Systems (b2) Free variabel kita misalkan dengan t. Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan leading variabelnya. Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

Example 3 Solutions of Four Linear Systems (c1) Solution (c) Pada baris ke-4 semuanya nol sehingga persamaan ini dapat diabaikan

Example 3 Solutions of Four Linear Systems (c2) Solution (c) Selesaikan leading variabel dengan free variabel 3. Free variabel kita misalkan dengan t (sembarang value). Sehingga Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

Example 3 Solutions of Four Linear Systems (d) Solution (d): Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan Linier Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidak mempunyai solusi

Example 3 Solutions of Four Linear Systems (d) Solution (d): the last equation in the corresponding system of equation is Since this equation cannot be satisfied, there is no solution to the system.

Elimination Methods (1/7) We shall give a step-by-step elimination procedure that can be used to reduce any matrix to reduced row-echelon form.

Elimination Methods (2/7) Step1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros. Step2. Interchange the top row with another row, to bring a nonzero entry to top of the column found in Step1. Leftmost nonzero column The 1th and 2th rows in the preceding matrix were interchanged.

Elimination Methods (3/7) Step3. If the entry that is now at the top of the column found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1. Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entires below the leading 1 become zeros. The 1st row of the preceding matrix was multiplied by 1/2. -2 times the 1st row of the preceding matrix was added to the 3rd row.

Elimination Methods (4/7) Step5. Now cover the top row in the matrix and begin again with Step1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form. Leftmost nonzero column in the submatrix The 1st row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1.

Elimination Methods (5/7) Step5 (cont.) -5 times the 1st row of the submatrix was added to the 2nd row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1. The top row in the submatrix was covered, and we returned again Step1. Leftmost nonzero column in the new submatrix The first (and only) row in the new submetrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1. The entire matrix is now in row-echelon form.

Elimination Methods (6/7) Step6. Beginning with las nonzero row and working upward, add suitable multiples of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s. 7/2 times the 3rd row of the preceding matrix was added to the 2nd row. -6 times the 3rd row was added to the 1st row. 5 times the 2nd row was added to the 1st row. The last matrix is in reduced row-echelon form.

Elimination Methods (7/7) Step1~Step5: the above procedure produces a row-echelon form and is called Gaussian elimination. Step1~Step6: the above procedure produces a reduced row-echelon form and is called Gaussian-Jordan elimination. Every matrix has a unique reduced row-echelon form but a row-echelon form of a given matrix is not unique.

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:

Contoh : Lakukan operasi baris elementer Selesaikan persamaan linier simultan: Augmented matrik dari persamaan linier simultan Lakukan operasi baris elementer Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1

Contoh : B2-2B1 B3-3B1 B3-3B1 B2-2B1

Example 3 Using Elementary row Operations(2/4) ½ B2 B3-3B2 ½ B2 B3-3B2

Example 3 Using Elementary row Operations(3/4) -2 B3 B1- B2 -2 B3 B1- B2

Example 3 Using Elementary row Operations(4/4) B2 + 7/2 B3 B1 - 11/2 B3 B2 + 7/2 B3 B1 - 11/2 B3 Solusi x = 1, y=2 dan z=3

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:

Metode Iterasi Gauss-Seidel Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan

Catatan Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Contoh Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 Susun persamaan menjadi: (5,1) (4,3/2) (7/2,7/4)

Contoh (13/4 , 15/8) (25/8 , 31/16) (49/16 , 63/32 ) (97/32 , 127/64)

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut: Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

Hasil Divergen

Hasil Konvergen

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel

Soal Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8 x – y + 2z – w = -1 2x + y - 2z -2w = -2 -x + 2y – 4z + w = 1 3x - 3w = -3

Selesaikan dg Gauss Seidel 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0 -2x1 + x2 + 3x3 = 0 X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1 X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2 X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5

Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier Simultan Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2. Model Sistem Persamaan Linier : Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap: x1 adalah jumlah boneka A x2 adalah jumlah boneka B Perhatikan dari pemakaian bahan : B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36 Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 80 2 x1 + 6 x2 = 36

Contoh 1 : metode eliminasi Gauss-Jordan Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.

Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan Fungsi Pendekatan Polinomial Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus. 1 2 3 4

Contoh 2 : Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu : Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan b = 6,39 c = -36,59 d = 53,04 y = -0,303 x3 + 6,39 x2 – 36,59 x + 53,04