ILMU KOM PUTER PRODI ILKOMP UGM GP DALIYO Daliyo 1

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Peta Karnaugh yang berkaitan dengan formula F(p,q,r) di gambarkan sebagai berikut : Terdapat 8 konjungan/hasil-kali foundamental yaitu : p.q.r ; p.q.r’ ; p.q’.r ; p.q’.r’ ; p’.q.r ; p’.q.r’ ; p’.q’.r ; p’.q’.r’ r r’ p p p’ p’ q q’ q’ q r‘ p diarsir (4 bjsk) q diarsir (4bjsk) r diarsir (4 bjsk) p’q p q p’q’ p q’ Perhatikan : 1 bjr-skr  3 literal 2 bjr-skr bersanding  2 literal 4 bjr-skr bersanding  1 literal 2

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Daliyo Contoh : E = xyz +xyz’ + x’yz’ +x’y’z F = pqr + pqr’ + pq’r + p’qr + p’q’r G = uvw + uvw’ + u’vw’ +u’v’w’ + u’v’w  x y z z’ y’ x’ Fungsi F(p,q,r) E = xy + yz’ + x’y’z p q p q’ p’ q’ p’ q     u v u v’ u’ v’ u’ v r r’    w w’    F = p.q + r G = uv + u’v’ + u’w’ = uv + u’v’ + v w’ 3

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Daliyo Daliyo Daliyo Bagaiman jika fungsinya ditentukan dalam bentuk tabel kebenaran ? Misalnya : Digambarkan sebagai berikut : p 1 q r F 1 p q r Daliyo Daliyo Fungsi F(p,q,r) Daliyo Jadi fungsinya F = p.q + p’.r Daliyo 4

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 3 variabel Daliyo Daliyo Digambarkan sebagai berikut : p 1 q r F 1 1 p q 1 1 1 1 1 1 1 r Fungsi F(p,q,r) Daliyo Daliyo Daliyo Jadi fungsinya F = q + p’.r Daliyo Daliyo Daliyo 5

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 4 variabel Peta Karnaugh untuk 4 variabel lihat gb. Terdapat 16 bjr- skr yg ma sing-masing berkaitan dengan bndp (hasil-kali foundamental) : p .q .r .s , p .q .r .s’, p .q .r’.s , p .q .r’.s’, p .q’.r .s , p .q’.r .s’, p .q’.r’.s , p .q’.r’.s’, p’.q .r .s , p’.q .r .s’, p’.q .r’.s , p’.q.r’.s’, p’.q’.r .s , p’.q’.r .s’, p’.q’.r’.s , p’.q’.r’.s’ p p p’ p’ q q’ q’ q r s r s’ r’s’ r’s 1 1 0 0 p 1 0 0 1 q r s 1 1 1 0 0 0 0 1 Daliyo 6

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 4 variabel Daliyo p p p’ p’ q q’ q’ q 1 1 0 0 p 1 0 0 1 q r s 1 1 1 0 0 0 0 1 pqrs pq’rs p’q’rs r s r s’ r’s’ r’s pqrs’ p’q’r’s’ p’qr’s Bagaimana dengan cara diatas ? Kerjakan sendiri !!!!! pr’ q’rs’ p’q Daliyo 7

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Kasus 4 variabel Contoh (Fungsi : F(p,q,r,s)) Daliyo Daliyo Daliyo Diberikan : (1) E = pqr’s’ + pqr’s + pq’rs + pq’rs’ + p’q’rs + p’q’rs’ + p’qr’s’ (1) Fungsi F(p,q,r) ?? p p p’ p’ q q’ q’ q r s r s’ r’s’ r’s  E = q’r + pqr’ + qr’s’ p p p’ p’ q q’ q’ q r s r s’ r’s’ r’s Diberikan peta Karnaugh, bagaimana fungsinya ??? 8

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Kasus 4 variabel Contoh (Tabel-Kebenaran) F(p,q,r,s) = p q’r s + p’q’r s’ + q r’s’ + p’r’s + p’q s q 1 r s F(p,q,r,s) p 1 1 0 0 p 1 0 0 1 q 1 1 1 0 0 0 0 1 r s  Daliyo Daliyo Daliyo 9

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Penandaan Minterm dan Maxterm dp Fungsi Daliyo Dalam fungsi cetetan/switching fungsi didefinisikan dgn tabel kebe narannya atau suatu daftar drpd nilai fungsi untuk semua kombinasi yg mungkin daripada masukkannya. Pada tabel kebenaran disamping ini se tiap baris diberi nomor sesuai dengan kombinasi daripada masukkannya; mis. p=0, q=1, dan r=1 maka diinterpre tasikan dng 011]2 = 3]10 , maka didapat penandaan fungsi sebagi berikut : F(p,q,r) =  m(0,4,5,7) m – berarti minterm 0,4,5,7 – baris fungsi bernilai 1 m(0) = p’q’r’ ; m(4) = pq’r’ ; m(5) = pq’r ; m(7) = pqr f(p,q,r) = p’q’r’ + pq’r’ + pq’r + pqr (BNDP) p 1 q r F No Br 2 3 4 5 6 7 10

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Penandaan Minterm dan Maxterm dp Fungsi Daliyo Dalam fungsi cetetan/switching fungsi didefinisikan dgn tabel kebe narannya atau suatu daftar drpd nilai fungsi untuk semua kombinasi yg mungkin daripada masukkannya. Pada tabel kebenaran disamping ini se tiap baris diberi nomor sesuai dengan kombinasi daripada masukkannya; mis. p=0, q=1, dan r=1 maka diinterpre tasikan dng 011]2 = 3]10 , maka didapat penandaan fungsi sebagi berikut : F(p,q,r) = Π M(1,2,3,6) M – berarti Maxterm 1,2,3,6 – baris fungsi bernilai 0 M(1) = p+q+r’ ; M(2) = p+q’+r ; M(3) = p+q’+r’ ; M(6) = p’+q’+r F(p,q,r) = (p+q+r’).(p+q’+r).(p+q’+r’).(p’+q’+r) (BNKP) p 1 q r F No Br 2 3 4 5 6 7 11

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Sumari, kita kaitkan setiap minterm dengan kombinasi masukan di mana ia menghasilkan 1 dan setiap maxterm dng kombinasi masukan yang menghasilkan 0. p 1 q r Minterm p’q’r’ = m0 p’q’r = m1 p’q r’ = m2 p’q r = m3 p q’r’ = m4 p q’r = m5 p q r’ = m6 p q r = m7 No Br 2 3 4 5 6 7 Maxterm p + q + r = M0 p + q + r’= M0 p + q’+ r = M0 p + q’+ r’= M0 p’+ q + r = M0 p’+ q + r’= M0 p’+ q’+ r = M0 p’+ q’+ r’= M0 12

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Daliyo Minterm p’q’r’s’= m0 p’q’r’s = m1 p’q’r s’= m2 p’q’r s = m3 p’q r’s’= m4 p’q r’s = m5 p’q r s’= m6 p’q r s = m7 p q’r’s’= m8 p q’r’s = m9 p q’r s’= m10 p q’r s = m11 p q r’s’= m12 p q r’s = m13 p q r s’= m14 p q r s = m15 q 1 r s p No Brs 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Maxterm p + q + r + s = M0 p + q + r + s’ = M1 p + q + r ‘+ s = M2 p + q + r ‘+ s’ = M3 p + q’ + r + s = M4 p + q’ + r + s’ = M5 p + q’ + r ‘+ s = M6 p + q’ + r ‘+ s’ = M7 p’ + q + r + s = M8 p’ + q + r + s’ = M9 p’ + q + r ‘+ s = M10 p’ + q + r ‘+ s’ = M11 p’ + q’ + r + s = M12 p’ + q’ + r + s‘ = M13 p’ + q’ + r’ + s = M14 p’ + q’ + r’ + s’ = M15 13

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Contoh 1). Diberikan G(p,q,r,s) = (p + q’+ r + s’).(p’+q + r + s).(p + q + r’+ s’). (p’+ q + r + s’) sajikan ke dalam bentuk daftar maxterm . Jawab : G(p,q,r,s) = (p+q’+r+s’).(p’+q+r+s).(p+q+r’+s’).(p’+q+r+s’) 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 (5) (8) (3) 9) Didapat : G(p,q,r,s) =  M(3,5,8,9) 14

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Daliyo Contoh 1). Diberikan F(p,q,r,s) = p q r s + p q’r s + p’q r s + p q r s’ + p q’r s’ + p q r’s’ + p’q r s’ + p’q r’s’ sajikan ke dalam bentuk daftar minterm . Jawab : F(p,q,r,s) = pqrs+pq’rs+p’qrs+pqrs’+pq’rs’+pqr’s’+p’qrs’+p’qr’s’ 1111 10 11 0 111 1110 10 10 110 0 0 110 0 100 (15) (11) (7) (14) (10) (12) (6) (4) F(p,q,r,s) =  m(4,6,7,10,11,12,14,15) 15

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo Daliyo Tabel Kebenaran dalam sajian lain 2 variabel p 1 q p+q Tabel Kebenaran OR (+) p 1 q p.q Tabel Kebenaran AND ( . ) 00 01 1 11 10 pq p . q p + q (AND) (OR) p . q 1 0 1 p q (AND) Daliyo p + q 1 0 1 p q (OR) Daliyo 16

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Pendekatan dengan diagram Venn Universal set p’ p q’ q Membangun peta Karnaugh (peta-K) dengan pendekatan diagram Venn Peta-K daripada AND (p.q) Bentuk Venn p’ p OR (p+q) 17

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Daliyo p 1 q r p.q.r Tabel Kebenaran dalam sajian lain 3 variabel 00 01 11 10 1 pq r p.q.r AND 1 r p q p + q + r = p + q + r OR Daliyo Daliyo 18

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku (Peta Karnaugh dng Penomoran) 1 2 3 0 1 p q 00 01 11 10 pq r 6 4 7 5 Dua Variabel Tiga Variabel p q no. 0 0 = 0 1 0 = 2 0 1 = 1 1 1 = 3 p q r no 0 0 0 = 0 0 0 1 = 1 0 1 0 = 2 0 1 1 = 3 1 1 0 = 6 1 1 1 = 7 1 0 0 = 4 1 0 1 = 5 19

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku 1 4 5 00 01 11 10 00 01 pq rs 12 8 13 9 empat Variabel 2 7 3 6 11 10 15 14 0 0 0 0 = 0 0 0 0 1 = 1 0 0 1 1 = 3 0 0 1 0 = 2 0 1 0 0 = 4 0 1 0 1 = 5 0 1 1 1 = 7 0 1 1 0 = 6 1 1 0 0 = 12 1 1 0 1 = 13 1 1 1 1 = 15 1 1 1 0 = 14 1 0 0 0 = 8 1 0 0 1 = 9 1 0 1 1 = 11 1 0 1 0 = 10 p q r s No 20

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku Daliyo 00 01 11 10 qr st 17 20 16 21 00 01 11 10 28 24 29 25 18 23 19 22 31 27 30 26 1 4 5 12 8 13 9 Lima Variabel 2 7 3 6 15 14 p=0 p=1 p q r s t 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 1 = 1 0 1 0 1 0 = 10 p q r s t 1 0 0 0 0 = 16 1 0 0 0 1 = 17 1 1 1 0 1 = 29 21

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku Daliyo 00 01 11 10 rs tu 17 20 16 21 00 01 11 10 28 24 29 25 18 23 19 22 31 27 30 26 1 4 5 12 8 13 9 2 7 3 6 15 14 q=0 q=1 p=0 49 52 48 53 60 56 61 57 50 55 51 54 63 59 62 58 33 36 32 37 44 40 45 41 34 39 35 38 47 43 46 42 p=1 enam Variabel Daliyo 22

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku Alternatif 1 2 3 p’ p q’ q p’q’ p’q pq pq’ r’ r 6 4 7 5 Dua Variabel Tiga Variabel p p’ 23

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku Alternatif p p’q’ p’q pq pq’ 4 12 8 r’s’ r’s 1 5 13 9 r 3 7 15 11 rs rs’ s 2 6 14 10 q empat Variabel 24

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Don’t care Contoh. Jika diketahui tabel kebenaran daripada fungsi f sbb : Dari tabel kebenaran, kita tahu bahwa f(5) = f(6) = f(7) = f(8) = f(8) = f(9) = 1 dan f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0 , sedangkan f(10) = f(11) = f(12) = f(13) = f(14) = f(15) = don’t care , karena tidak didefinisikan pada tabel sehingga didapat peta Karnaugh : 1 s r q p 9 8 7 6 5 4 3 2 No f d 1 1 0 1 1 0 1 0 0 pq rs p qs qr 25

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku Alternatif Daliyo 00 01 11 10 qr st 17 20 16 21 00 01 11 10 28 24 29 25 18 23 19 22 31 27 30 26 1 4 5 12 8 13 9 Lima Variabel 2 7 3 6 15 14 p=0 p=1 26

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Peta-K baku Alternatif Daliyo 17 20 16 21 28 24 29 25 18 23 19 22 31 27 30 26 1 4 5 12 8 13 9 2 7 3 6 15 11 14 10 p’(0) 49 52 48 53 60 56 61 57 50 55 51 54 63 59 62 58 33 36 32 37 44 40 45 41 34 39 35 38 47 43 46 42 p(1) u (1) t(1) r (1) q (1) q’ (0) s (1) s(1) 27

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Contoh Cari peta-K untuk fungsi sbb : f(v,w,x,y,z) =  m(9,20,21,29,30,31) 1 4 5 00 01 11 10 00 01 wx yz 12 8 13 9 2 7 3 6 11 10 15 14 v=0 00 01 11 10 wx yz 17 20 16 21 00 01 11 10 28 24 29 25 18 23 19 22 31 27 30 26 v=1 Daliyo 28

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Cari peta-K untuk fungsi sbb : f(a,b,c,d,e) = ab +c’d +de * = a.b ; + = c’d & = de Didapat : f(a,b,c,d,e) =  m(2, 3, 7,10,11,15,18,19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32 a’ (0) 00 01 11 10 wx yz 17 20 16 21 00 01 11 10 28* 24* 29* 25* 18+ 23& 19+& 22 31*& 27*& 30* 26* a’ (1) bc de 00 01 11 10 d’ 4 12 8 00 01 1 5 13 9 e d 3+& 7& 15& 11+& 11 10 2+ 6 14 10+ 29

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Diberikan : f(a,b,c,d) = (a+b)(cd’+c’d) = acd’+ac’d+bcd’+bc’d =  m(5,6,9,10,13,14) (tunjukan !!!) + . a b c d f a b’ c d’ b c’ d a’ f III I II 3 level a c d’ c’ d b f 2 level 2 level 30

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Set of four on K-map 15 1 11 14 10 c a ac 4 12 5 `3 b bc’ 8 9 b’c’ 31

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] 4 1 12 6 14 d b bd’ 8 ` 2 10 b’d’ 3 9 11 b’d Set of four on K-map 32

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] 12 1 8 13 9 15 11 14 10 d a 4 5 `13 c c’ 6 2 d’ Set of eight on K-map a’ 33

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Sets on a 5-variable map 1 d b e b’ Kelompok 1 = a’c’d’e’ Kelompok 2 = b’c’de’ Kelompok 3 = bde Kelompok 4 = acd’ c a d’ a’ 34

Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh] Sets on a 5-variable map , example Diberikan : f(a,b,c,d,e) =  m(0,1,3,4,5,7,8,9,10,12,13,21,24,25,26,28,29) a a’ b’ b b’ b d’ 1 4 1 12 1 8 1 28 1 24 1 1 5 1 13 1 9 1 e 21 1 29 1 25 1 d 3 1 7 1 10 1 26 1 c c f = cd’e  m(0,1,4,5,8,9,12,13) + a’b’e  m(1,3,5,7) + a’d’  m(5,13,21,29) + bc’e’  m(8,10,24,26) + bd’  m(8,9,12,13,24,25,28,29) 35