Kalkulus Vektor Pertemuan 13, 14, 15, & 16 Mata kuliah : K0074 - Kalkulus III Tahun : 2010 Kalkulus Vektor Pertemuan 13, 14, 15, & 16

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu : Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu : menjelaskan pengertian vektor di R2 atau di R3 menjelaskan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, perkalian titik, perkalian silang pada vektor menjelaskan pengertian fungsi vektor (medan vektor) dan fungsi skalar (medan skalar) menentukan limit, kekontunuan dan derivatif dari medan vektor

Outline Materi Kakulus Vektor Vektor di R2 dan R3 Operasi-operasi pada vektor di R2 dan R3 Fungsi bernilai vektor Limit dan kekontinuan Derivatives Gradien divergensi dan Curl

1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik Notasi Vektor Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū atau u (bold). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB Notasi u dibaca “vektor u”

Penyajian Vektor di R2 Vektor dengan titik awal di (o,o) dan titik akhir (a,b) dinyatakan sebagai u = (a,b) Vektor dinyatakan sebagai kombinasi vektor satuan i dan j yaitu u = ai + bj Panjang vektor u ditentukan oleh rumus Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama. Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) maka u = v, jika dan hanya jika a=c dan b=d

Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda Dua vektor sama, a = b a b Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda a b Dua vektor arah sama, besaran beda a b Dua Vektor besar dan arah berbeda

Penjumlahan Vektor v u w = u + v Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

Elemen Identitas Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas terhadap penjumlahan u + 0 = 0 + u = u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. u + (-u) = 0

Pengurangan Vektor Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v) Dalam bentuk pasangan bilangan v u u w = u - v -v

Perkalian Vektor dengan Skalar Jika m skalar (bilangan real) dan u vektor maka perkalian mu adalah suatu vektor dengan panjang |m| kali panjang vektor u dan arahnya searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0. Jika u = (a,b) dan m skalar maka mu = (ma,mb) u 2u

Sifat-Sifat Operasi Vektor Komutatif  u + v = v + u Asosiatif  (u+v)+w = u+(v+w) Ketidaksamaan segitiga ||u+v|| ≤ ||u|| + ||v|| 1u = u 0u = 0, m0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0 (mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0

Vektor Posisi vektor dengan titik awal A dan titik akhir B X Y A B b a OA = a dan OB = b adalah vektor posisi. AB = AO + OB = OB – OA = b – a

Dot Product (Inner Product) Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya. Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1] dan b = [a2,b2], maka : a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o} a•b = 0 jika {γ| γ = 90o} a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

Vektor Ortogonal Teorema Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus Vektor a disebut ortogonal terhadap vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal terhadap vektor a. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2

Contoh Perkalian Dot Product a = [1,0] dan b = [2,4] Hitung sudut antara dua vektor tsb

Penyajian Vektor di R3 Vektor dengan titik awal di (0,0,0) dan titik akhir (a,b,c) dinyatakan sebagai u = (a,b,c) Vektor dinyatakan sebagai kombinasi vektor satuan I, j dan k yaitu u = ai + bj +ck Panjang vektor u ditentukan oleh rumus

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor Perkalian skalar

Vektor Posisi vektor dengan titik awal A dan titik akhir B

Dot Product (Inner Product) Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya. Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1, b1,c1], dan b = [a2, b2,c2], maka :

Bina Nusantara University

Medan Vektor dan Medan Skalar Bila fungsi dengan domain Rn dan range R akan menghasilkan fungsi bernilai riil (skalar) selanjut-nya disebut medan skalar Sedangkan bila domain Rn dan range Rn akan didapatkan fungsi yang dinyatakan dalam notasi vektor disebut Medan vektor. Untuk membedakan dengan fungsi skalar maka digunakan huruf kapital yang dicetak tebal untuk menyatakan fungsi vektor.

Contoh medan vektor:

Misal:

Derivatif Fungsi Vektor (Medan Vektor)

Aturan pendeferensialan yang sudah kita kenal mengkasilkan aturan pendeferensialan untuk fungsi vektor, misalnya:

Derivatif Parsial Pada medan vektor Analogi diatas dapat diperluas pada medan vektor

Demikian juga untuk medan vektor

TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Jika f fungsi dua peubah yang dapat didiferensialkan di p =(a, b) maka disebut vektor gradien dari f di titik (a,b)

Jika f fungsi tiga peubah yang dapat didiferensialkan di p =(a, b,c) maka disebut vektor gradien dari f di titik (a,b,c)

Contoh:

Contoh:

Andaikan f dapat didiferensialkan di (a,b,c), maka turunan berarah di (a,b,c) pada arah vector satuan adalah Contoh:

Contoh: Carilah turunan berarah dari fungsi f(x,y,z)=xy sin z di titik (1,2,p/2) pada arah vektor Jawab:

maka

GRADIEN Jika f fungsi dua peubah (Medan skalar) yang dapat didiferensialkan di p =(a, b) maka disebut vektor gradien dari f di titik (a,b)

Jika f fungsi tiga peubah (medan skalar) yang dapat didiferensialkan di p =(a, b,c) maka disebut vektor gradien dari f di titik (a,b,c)

Contoh:

Contoh:

Divergensi dan Curl dari Medan Vektor Diberikan medan vektor yang terdefinisi dalam domain D dengan f(x,y,z) , g(x,y,z) dan h(x,y,z) yang mempunyai turunan parsial pertama pada D. Didefinisikan suatu Divergensi dari medan vektor sebagai :

Bila hasilkali titik dari vektor operator gradien dengan medan vektor menghasilkan skalar (divergensi) maka hasilkali silang antara operator gradien dan medan vektor menghasilkan suatu vektor, Rotasi (Curl) :

Contoh:

TERIMA KASIH