DINAMIKA TRANSLASI Dari fenomena alam didapatkan bahwa apabila pada suatu benda dikenai sejumlah gaya yang resultantenya tidak sama dengan nol, maka benda tersebut akan bergerak dengan suatu percepatan; gejala ini ditemukan oleh Newton sehingga disebut dengan Hukum ke II Newton. Ditinjau benda yang massanya m dikenai oleh gaya sebesar F, ternyata terdapat hubungan yang erat antara massa, gaya dan percepatan yang ditimbulkannya, yaitu : “Percepatan benda berbanding lurus dengan resultante gaya-gaya bekerja terhadapnya dan mempunyai arah yang sama dengan arah resultanteseluruh gaya tersebut.” Perbandingan antara gaya dengan percepatan merupakan bilangan tetap. Bilangan tetap tersebut disebut massa m. Jadi F / a = m atau F = m . a . . . . . . . ( 3. 1 ) Hubungan ini desebut perumusan dari hukum ke II Newton. Karena gaya dan percepatan merupakan besaran-besaran vektor, maka gaya dapat diuraikan menurut arah komponen-komponennya F x = m . d vx /dt F = m . A = m . d v/ dt dan F y = m . dvy / dt Fz = m . dvz / dt

HUKUM GRAVITASI Semua benda dialam ini tarik menarik sesamanya dengan suatu gaya yang besarnya berbanding terbalik dengan kwadrat jaraknya. Hukum ini dikenal dengan hukum gravitasi umum dari Newton (thn. 1686), dan dirumuskan dalam bentuk : Fg = G . m . m’ / r2 . . . . . . . . . . . . . . ( 3. 2 ) dimana : Fg = gaya gravitasi m dan m’ = massa r = jarak antara m dan m’ dan G = tetapan gravitasi Tetapan gravitasi dapat dicari dengan menggunakan neraca Canvendish yang besarnya adalah G = 6.67 . 10-11 N m2 / kg m2 Untuk benda-benda dipermukaan bumi rumus diatas dapat ditulis : Fg = G . m . mE / r2 dimana m = massa benda mE = massa bumi r = jarak benda dari pusat bumi g = G . mE / r2 = percepatan gravitasi . . . . . . . . . . . . ( 3. 3 ) maka Fg = m . g . Jika R = jari-jari bumi dan go percepatan gravitasi pada permukaan bumi, maka go = G . mE / R2 , karena G = g . r2 / mE sehingga g = R2 / r2 . go , untuk titik-titik yang tidak terlalu tinggi dari permukaan bumi, yang tingginya h , dimana h « R dengan cara pendekatan pers.diatas dituliskan g = ( 1 – 2 h / R ) go sehingga g = go = jari-jari bumi

PUSAT BERAT DAN PUSAT MASSA Berat benda didefinisikan sebagai gaya tarik bumi terhadap benda tersebut. Gaya tarik ini bekerja pada setiap unsur yang membentuk benda. Resultante gaya terhadap unsur ini sama dengan berat dari seluruh benda tersebut. Titik tangkap dari resultante gaya-gaya tersebut dinamakan titik berat benda. Ditinjau suatu benda dua dimensi berada dipermukaan bumi dibagi menjadi unsur-unsur yang sangat kecil, tiap unsur benda ini dikenai gaya berat fi, maka berat benda : W = Σ fi Untuk menentukan titik berat benda, dibuat salib sumbu x vs y yang saling tegak lurus dengan koordinat masing-masing (xi , yi ) dimana I = 1, 2, 3 dst, maka momen gaya fi terhadap titik 0 adalah : Тi = fi . xi Jumlah momen ini harus sama dengan momen dari gaya W terhadap titik pusat 0 , jadi bila koordinat titik beratnya dimisalkan ( xc , yc ) , maka : W . Xc = f1 x1 + f2 x2 + f3 x3 + . . . . . . . . . . = Σ fi xi atau W . Xc = Σ fi xi ∕ Σ fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( 3. 4a )

Untuk koordinat y , dengan jalan yang sama, dengan mengambil momennya terhadap titik o maka diperoleh : W . Yc = f1 y1 + f2 y2 + f3 y3 + . . . . . . . . . . . . . . . = Σ fi yi Yc = Σ fi yi / Σ fi . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3. 4b ) x Gb. 3. 1 y . ( xc , yc ) .( xi , yi )

Untuk benda tiga dimensi dapat dibuktikan bahwa : Xc = Σ fi xi / Σ fi ; Yc = Σ fi yi / Σ fi ; Zc = Σ fi zi / Σ fi . . . . . . . . . . . ( 3. 5 ) Jika tiap-tiap elemen benda massanya m1 , m2 , m3 . . . . .dst, maka fi = mi g ; sehingga persamaan diatas menjadi : Xc = Σ mi xi / Σ mi ; Yc = Σ mi yi / Σ mi dan Zc = Σ mi zi / Σ mi . . . . . . . . . . .(3. 6 ) titik yang koordinatnya Xc , Yc , Zc dari persamaan diatas disebut titik massa u pusat massa, pada kenyataannya pusat massa berimpit dengan pusat berat.dm Apabila bentuk bendanya dpat dinyatakan dalam bentuk fungsi matematika, maka persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk integral, jadi : Xc = ∫ x dm / ∫ dm ; Yc = ∫ y dm / ∫ dm ; Zc = ∫ zc dm / ∫ dm . . . . . . . ( 3. 7 )

IMPULS DAN MOMENTUM Bila suatu benda bergerak dikenai gaya luar F maka benda tersebut akan mengalami perubahan kecepatan. Dari hukum ke II Newton dapat dituliskan : F = m . a = m . dv/dt atau F dt = m dv Jika gaya F bekerja dari saat t1 hingga saat t2 , dimana kecepatan pada saat tersebut v1 dan v2 , maka persamaan diatas menjadi : ∫ F dt = ∫ m dv atau ∫ F dt = m . v2 − m . v1 . .. . . . . . . . ( 3. 8 ) Bila perkalian massa dengan kecepatannya disebut momentum P = m . V . . . . . . ( 3. 9 ) dan ∫ F . dt = I disebut impuls gaya , maka I = P2 − P1 jadi impuls = perubahan momentum t2 v2 t2 t1 v1 t1 t2 t1

Dari persamaan (3. 8 ) jika terhadap suatu benda tidak bekerja gaya luar ( F = 0 ) , maka momentumnya tetap. Keadaan ini dikenal sebagai azas kekekalan momentum dan merupakan hukum yang penting dalam mekanika. ( m1 . v1 = m2 . v2 ). Karena impuls dan momentum merupa-kan besaran-besaran vektor , maka besaran tersebut dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya. Ix = P2 x − P1x atau ∫ Fx dt = m . v2 x − m . v1x Iy = P2y − P1y atau ∫ Fy dt = m . v2y − m . v1y Iz = P2z − P1z atau ∫ Fz dt = m . v2z − m . v1z Contoh penggunaan hukum kekekalan momentum adalah pada peristiwa tumbukan. Macam-macam tumbukan : 1. Tumbukan elastis sempurna 2. Tumbukan elastis tak sempurna dan 3. Tumbukan tak elastis t2 t1 t2 t1 t2 t1 t2

A B A B A B Tumbukan Elastis Sempurna adalah tumbukan yang terjadi apabila energi kinetik total sebelum dan sesudah tumbukan tidak berubah (tetap). Tumbukan Elastis Tidak Sempurna adalah tumbukan yang terjadi apabila energi kinetik total sebelum dan sesudah tumbukan tidak sama (berubah). Tumbukan Tidak Elastis adalah tumbukan yang terjadi apabila energi kinetik total sebelum dan sesudah tumbukan tidak sama dan sesudah tumbukan benda menempel terus. Misalkan benda A dan benda B pada bidang datar bertumbukan lurus, ( Gb. 3. 2 ) VA 1 VB 1 V VA 2 VB 2 FA FB A B A B A B a b c Gb. 3. 2

∫ FA dt = mA VA2 − mA VA1 dan ∫ FB dt = mB VB2 − mB VB1 Sebelum tumbukan kecepatannya masing-masing VA1 dan VB1 sedangkan setelah tumbukan kecepatannya menjadi VA2 dan VB2 . Pada saat terjadi tumbukan keduanya saling menekan dengan gaya aksi -reaksi sebesar FA dan FB , impuls dan perubahan momentum untuk masing-masing benda selama tumbukan dapat dihitung dari persamaan berikut : ∫ FA dt = mA VA2 − mA VA1 dan ∫ FB dt = mB VB2 − mB VB1 Karena FA = − FB , maka ∫ FA dt = − ∫ FB dt. Jadi : mA VA1 + mB VB1 = mA VA2 + mB VB2 . . . . . . . . . . . . (3. 10 ) Jumlah vektor dari momentum sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama ( hk. Kekekalan momentum ). Pada tumbukan lurus dikenal suatu besaran koeffisien restitusi e , dimana : e = t2 t2 t1 t1 ( VA2 − VB2 ) ( V A1 − VB1 )

Pada tumbuka garis lurus elastis sempurna, maka : ½ mA V2A1 + ½ mB V2B1 = ½ mA V2A2 + ½ mB V2B2 . . . . . . . . . . . (3. 11 ) Dan persamaan (3. 10) dapat ditulis : mA VA1 + mB VB1 = mA VA2 + mB VB2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3. 12) Dari persamaan (3. 11 ) dan ( 3. 12 ) didapat : VA1 + VA2 = VB1 + VB2 VA1 − VB1 = − ( VA2 − VB2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3. 13) Sehingga e = 1 , jadi untuk tumbukan elasatis sempurna e = 1 dapat dibuktikan bahwa untuk tumbukan Tidak elastis e = 0 dan tumbukan elatis tidak sempurna 0 < e < 1 . Contoh lain hukum kekekalan momentum adalah gerakan suatu roket ( gb. 3.3 ). Bahan bakar didalam roket, setelah dibakar gas hasil pembakaran dipancarkan kebelakang roket melalui nozel. Misalkan roket bergerak vertikal keatas , pengaruh gesekan udara dan perubahan percepatan gravitasi sementa ra diabaikan. Gb.3. 3a menunjukkan roket bermassa m dan bergerak dengan kecepatan v.

Gb. 3. 3 b keadaan setelah selang waktu dt , kecepatan ber tambah menjadi v + dv sedangkan massanya berkurang men jadi m − dm , dm = bahan bakar yang dikeluarkan, massa dm bergerak dengan kecepatan v’ lebih kecil v. Bila vr adalah kece- patan relatif roket thd bahan bakar yang dikeluarkan, maka : v = v’ + vr . . . . . . . . . . . . . . ( 3. 14 ) Dari hukum kekekalan momentum, jumlah momentum sebe- lum dan sesudah memancarkan massa dm adalah sama, maka : (m − dm ) ( v + dv ) + v’ dm = m . v . . . . . . (3. 15 ) Dari persamaan (3. 14) dan (3. 15) setelah faktor dm . dv di abaikan didapatkan : m dv = vr dm ; m/vr = dm/dv ; m dan vr positif m/vr positif, karena m berkurang , maka v bertambah, Jadi dm/dv negatif, sehingga ruas kanan bertanda negatif, atau dv = − vr dm/m . . . . .. . . . . . . . . . . . . ... ( 3. 16 ) v + dv m − dm m v dm V’ a b Gb. 3. 3

Jika dari persamaan (3. 16) diketahui massanya mula-mula mo dan persamaan tersebut diintegralkan didapat penyelesaian peresamaan : v = v0 + vr ln ( m o /m ) Sekarang pengaruh gravitasi diperhitungkan. Kalau geseran udara diabaikan, sedang roket bergerak vertikal keatas , maka akan mengalami hambatan g , sehingga dalam waktu t detik kecepatannya berkurang sebesar gt . Jadi untuk roket yang bergerak keatas persamaan gerakannya adalah : v = vo + vr ln (mo / m ) − gt dimana : v = kecepatan roket setelah waktu t vo = kecepatan mula-mula vr = kecepatan relatif roket mo = massa awal roket m = massa roket setelah waktu t ______s___/\____m_____