LANGUAGES

ABJAD, KATA DAN BAHASA Himpunan berhingga (finite) tak kosong dari simbol-simbol dinamakan sebuah abjad (alphabet). Sebuah barisan berhingga simbol-simbol dari suatu abjad dinamakan sebuah kata (word) yang terbentuk berdasarkan abjad. Suatu kumpulan dari kata-kata dinamakan sebuah bahasa (language).

Abjad terdiri dari 26 simbol. Abjad berupa kumpulan dari semua kata Inggris resmi atau kumpulan dari semua simbol Pascal resmi (pengenal Pascal resmi, kata-kata kunci dan kata-kata, karakter-karakter khusus dan sebagainya). Jika  merupakan abjad apa saja, maka dapat dikatakan  untuk menotasikan bahwa  adalah sebuah simbol di dalam  Maka, jika  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Dapat juga ditulis 0. Karena sebuah abjad adalah sebuah himpunan tak kosong maka kita dapatkan :jika 1 dan 2 juga merupakan abjad. Sehingga bila 12, 1-2, 12 merupakan himpunan tak kosong juga merupakan abjad.

Jika abjad Bahasa Inggris biasa, kata dapat berupa PROGRAM, DIGIT, MOON dll. Tapi kata juga dapat berupa BXTEEMRE,JIPQOPY dll. Untai(string) adalah sebagai pengganti kata. Jika Bahasa adalah kumpulan dari kata (untai), Maka kumpulan {1, 12, 123, 1234, 12345, 123456} adalah sebuah bahasa. Kita juga bisa mempunyai bahasa yang terdiri dari untai bahasa kosong ( empty language). Perhatikan bahwa hal ini tidak sama seperti bahasa yang terdiri dari untai kosong {}. Bahasa kosong dinotasikan dengan cara sama seperti kita menotasikan himpunan kosong.

Misalkan bahwa  adalah suatu abjad dan bahwa w adalah sebuah untai berdasarkan . Jika L adalah sebuah bahasa yang terdiri dari beberapa untai berdasarkan  dan jika w adalah sebuah untai di dalam L, maka : wL Sehingga 121 {1, 12, 121, 1212, 12121}. Bahasa yang terdiri dari semua untai berdasarkan abjad  dinamakan bahasa universal (universal language) dari  dan dinotasikan dengan *. Contoh : = {1}, maka *= {, 1, 11, 111, 1111, …}. Catatan : untuk abjad apapun, * bersifat tak berhingga. (abjad-abjadnya tak kosong).

OPERASI PADA UNTAI Jika w sebuah untai berdasarkan abjad, panjang (length) dari w adalah banyaknya simbol di dalam untai itu. Contoh : abjad  = {1, 2}, jika w = 121, Maka w=3 Perhatikan bahwa , untai kosong tidak mempunyai simbol, berarti : = 0 Jika w dan z adalah untai-untai perangkaian (concatenation) w dengan z adalah untai : wz= w+ z Perangkaian  dengan suatu kata w tidak mengubah w, dengan kata lain  sebagai Identitas terhadap operasi perkalian ini.

Eksponensial untuk KATA berdasarkan ABJAD Misalkan w merupakan sebuah kata;untuk nN, didefinisikan : , jika n = 0 wwn-1, jika n>0 Sehingga, berdasarkan  ={1, 2}, jika w =122, kita dapatkan : w0 =  w1=122 w2=122122 w2=122122122 wn

Dikatakan bahwa x adalah sebuah awalan dari w jika, untuk suatu untai y, kita dapatkan w=xy. Contoh : Jika w untai 121, maka untai x=12 adalah awalan w dan y=1. Anggaplah y= , maka untuk w=xy kita dapatkan w=x, Sehingga kata apapun dipandang sebagai sebuah awalan dari dirinya sendiri.

Pembalikan (reversal)/ Transpose Jika wR merupakan cermin dari w mk dikatakan sebagai reversal. w, jika w =  yRa, jika w = ay untuk adan y* Contoh : Misal x = “able”. Maka, menurut definisi untuk xR didapat : xR = (able)R = (ble)Ra = (le)Rba = (e)Rlba = ()Relba =  elba =elba wR

Operasi-operasi pada Bahasa Language concatenation dari A dan B

Irisan, gabungan dan Selisih

REKURSIF

Himpunan mempunyai banyak sekali elemen-elemen yang membangunnya. Untuk mendefinisikan elemen-elemen dari himpunan bisa didefinisikan dengan memakai definisi rekursif (juga bisa disebut definisi induktif). Rekursif ini untuk menghasilkan anggota-anggota dari himpunan, satu persatu dimulai dengan beberapa subset (himpunan bagian) dari himpunan tersebut.

Fungsi rekursif Definisi: Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif dan memberikan senuah nilai yang terdefinisi pada fungsi rekursif.

Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Extremal Clause Jika suatu objek tidak dapat ditunjukkan menjadi anggota dari huimpunan dengan menggunakan basisi dan induktif dengan angka yang terhingga, maka objek bukanlah anggota dari himpunan tersebut.