Dinamika Sistem Partikel BAB. 10 Dinamika Sistem Partikel 4/13/2017

Benda, disebut sebagai sistem (kesatuan, kelom-pok) partikel. Wujud benda, dapat berupa zat padat dan zat alir (fluida). Fluida dapat berupa zat cair atau gas. Wujud benda berupa padat maupun fluida, diten-tukan oleh perilaku interaksi partikel antar zat di dalam sistem zat tersebut. Pembicaraan dinamika sistem partikel diasumsi-kan dengan massa partikel tetap. 4/13/2017

Gerak Pusat Massa Misal terdapat partikel massa m1 ; m2 ; ……. mn dan berposisi pada ; r1; r2 ; ………rn dan seluruh partikel merupakan kesatuan. Posisi sistem pusat massa didefinisikan sebagai; 4/13/2017

4/13/2017 4

Contoh. Sistem terdiri dari tiga partikel sama dan memi-liki massa satu satuan massa dengan posisi dan kecepatan sebagai berikut. r1 = i + j , v1 = 2 j r2 = j + k , v2 = j r3 = k , v3 = i + j + k Carilah posisi kecepatan dan p linier sistem massa tersebut ! Penyelesaian. m1 = m2 = m3 = 1 satuan 4/13/2017

Posisi pusat massa, v pusat massa, p pusat massa, 4/13/2017

Partikel Bebas. Partikel bebas, partikel yang tidak memiliki inter-aksi dengan partikel lain. Sistem partikel bebas (sistem partikel tertutup), memiliki p tetap (hukum Newton I). Pusat massa sistem tertutup bergerak dengan v tetap dalam sistem inersial. Pusat massa partikel sistem tertutup relatif diam pada kerangka acuan inersial pusat massa (vc = 0). Pernyataan vc = 0, disebut kerangka acuan C atau kerangka acuan pusat massa. 4/13/2017

Momentum sistem partikel dalam kerangka acu-an C momentumnya selalu nol (P =  pi = 0). Kerangka acuan C, disebut kerangka acuan mo-mentum nol (karena vc relatif diam pada pusat massa). Kerangka acuan C penting pada beberapa perco-baan yang dilakukan di dalam laboratorium [ke-rangka acuan L (laboratorium) dapat dipermudah analisisnya dalam kerangka acuan C]. 4/13/2017

P = Σ pi + Σ pj = tetap atau P = Ps + Ps! = tetap Sistem S terbuka (artinya parti-kel penghuni S dapat berinter-aksi dengan partikel lain di se-keliling S). Sistem lain S!, secara bersama-sama S membentuk sistem tertutup (sistem S + S!, sistem tertutup). Partikel anggota S, tidak hanya berinteraksi dengan partikel sesama anggota, tetapi juga dengan partikel di luar S (yaitu S!). Momentum partikel S (disebut pi) dan S! (disebut pj) sehingga partikel sistem S + S! momentum total. P = Σ pi + Σ pj = tetap atau P = Ps + Ps! = tetap 4/13/2017

Ps = - Ps! atau  pi = -  pj Perubahan p yang dialami oleh partikel S akan diikuti oleh partikel dari S! dengan nilai sama besar tetapi berlawanan tanda sehingga jika di-jumlahkan besarnya nol. Ps = - Ps! atau  pi = -  pj Interaksi partikel isi S dan S! menggambarkan per tukaran p. Bila pertukaran p tersebut berjalan dalam waktu dt yang mendekati nilai nol sehingga berlaku: 4/13/2017

Perubahan p tiap satuan waktu sistem S Perubahan p tiap satuan waktu sistem S! disebut F luar yang didesakkan pada sistem S, Fℓ (gaya luar) merupakan perubahan p tiap satuan waktu sistem S sebagai hasil interaksi dengan S!. F dalam yang ada pada S (merupakan interaksi partikel penyusun S) tidak menghasilkan per ubah-an p total (sebagai akibat prinsip kekekalan p). 4/13/2017

Kecepatan pusat massa sistem S menjadi, Gaya luar (Fℓ) dari sistem S!, maka Fℓ = - Fℓ! (me-rupakan hukum aksi-reaksi, antara sistem S de-ngan S!). Kecepatan pusat massa sistem S menjadi, Gerak pusat massa sistem partikel sama dengan tingkah laku benda jika dikenai gaya luar yang ber-titik tangkap pada pusat massanya. 4/13/2017

Contoh. Benda massa M dijatuhkan, pada saat ketinggian 2000 m pada saat memiliki v = 60 m s-1 dan pecah menjadi dua bagian sama besar. Sesaat setelah ledakan salah satu bagian ber-v 80 m s-1 ke bawah. Carilah posisi pusat massa sistem 10 detik setelah ledakan ! 60 m s-1 2000 m Penyelesaian. 80 m s-1 Asumsi setelah terjadi ledakan gaya luar tidak berubah (pusat massa benda terus bergerak setelah ledakan). 4/13/2017

Setelah ledakan pusat massa benda setinggi, h = ho + vot + ½ g t2 Diisikan besaran yang (diketahui), h = (2000 m) - 60 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2 = 910 m Cara lain, Dihitung langsung posisi pusat tiap massa bagian, setelah 10 detik ledakan. M vo = m1 v1 + m2 v2 , (m1 = m2 =½ M). 2 vo = v1 + v2 , 2 (- 60 m s-1) = (- 80 m s-1) + v2  v2 = - 40 m s-1. 4/13/2017

Kedua bagian benda, bergerak secara bersm. Bagian pertama, setelah 10 detik h1 = ho + v1 t + ½ g t2 h1 = (2000 m) - 80 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2 = 710 m Bagian kedua, setelah 10 detik h2 = ho + v2 t + ½ g t2 h2 = (2000 m) - 40 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2 = 1110 m Pusat massa dihitung lewat formula, 4/13/2017

Hasil kedua perhitungan sama. 4/13/2017

Contoh. Dua buah massa m dan M, (m < M) dihubungkan dengan tali dilewatkan piringan. Piringan dapat berputar pada sumbunya. Hitunglah a pusat massa sistem tersebut ? Segala sesuatu yang berhubungan dengan piringan dan tali diabaikan. Penyelesaian Misal M bergerak turun (m naik) akan mengguna-kan percepatan yang sama yaitu, 4/13/2017

(karena percepatan M turun dan m naik dengan ni- lai sama). Cara lain. Karena a1 = - a2 = a (arah berlawanan) 4/13/2017

Hubungan (Fℓ) dengan Gaya Penyusun Sistem Sistem tertutup, terdiri dari dua partikel m1 dan m2. m1 m2 F2 F1 F12 F21 F12 merupakan gaya yang dimi-liki partikel m1 karena berinter-aksi dengan partikel m2. F21 merupakan gaya yang dimi-liki partikel m2 karena berinter-aksi dengan partikel m1. F12 = - F21 F1 dan F2 ,resultan gaya luar yang bekerja pada par tikel m1 serta m2. Dalam sistem dua massa, berlaku hukum ke dua Newton dengan formulasi persm, 4/13/2017

F luar memberi warna gerakan sistem partikel (dapat diartikan benda). Resultan F sistem, Perubahan p total sistem tiap satu satuan waktu = jumlah F luar yang bekerja pada partikel m1 dan m2. F luar memberi warna gerakan sistem partikel (dapat diartikan benda). 4/13/2017 Bab 6-20

Massa Reduksi m1 m2 F12 F21 r1 r2 x r12 Dua partikel massa m1 dan m2 saling berinteraksi (tanpa ada aksi gaya luar). Gaya F12 dan F21, merupakan gaya dalam (internal, gaya in-teraksi). F12 & F21 // r12 r12 merupakan garis hubung kedua partikel. Persm gerak relatif sistem partikel terhadap 0, 4/13/2017

v12 kecepatan partikel m1 relatif terhadap partikel m2 a12 percepatan partikel m1 relatif terhadap partikel m2 Jika nilai massa m1  m2 maka massa reduksi,  pendekatan. Bila, m1 = m2 nilai massa reduksi  = ½ m1. 4/13/2017

Contoh. Diamati dua partikel massa m1 dan m2 ber-v, v1 dan v2. Hitung v pusat massa relatif terhadap pengamat dan p tiap partikel relatif terhadap pusat massanya ! Penyelesaian. Kecepatan relatif pusat massa (dua partikel) terha dap pengamat, Kecepatan relatif tiap partikel terhadap pusat massa adalah, 4/13/2017

4/13/2017

Kedua kecepatan, nampak berlawanan sebagai aki bat pengamatan pada kerangka acuan C, (pc = 0) (jumlah momentum sistem tidak berubah). 4/13/2017

Momentum Sudut Sistem (L) Momentum sudut (L) partikel re-latif terhadap suatu titik tertentu, dinyatakan sebagai L = r × mv atau L = r × p dan momen gaya  = dL/dt. m1 m2 F12 F21 r1 r2 x r12 F1 F2 Momen sistem dua partikel ber-laku, 1 = dL1/dt dan 2 = dL2/dt. 1 = r1 x (F1 + F12) dan 2 = r2 x (F2 + F21) 4/13/2017

Hukum kedua Newton untuk masing-masing partikel, Partikel pertama, m1 a1 = F1 + F12 Partikel kedua, m2 a2 = F2 + F21 Karena bergerak, tiap partikel suatu saat ber-v, v1 dan v2. Dalam waktu dt kedua partikel berpindah sejauh dr1 dan dr2 sehingga diperoleh, 4/13/2017

Partikel pertama, m1 a1 . dr1 = F1 . dr1 + F12 . dr1 Partikel kedua, m2 a2 . dr2 = F2 . dr2 + F21 . dr2 m1 a1 . dr1 + m2 a2 . dr2 = F1 . dr1 + F2 . dr2 + F12 . (dr1 - dr2) m1 v1 dv1 + m2 v2 dv2 = F1 . dr1 + F2 . dr2 + F12 . dr12 Dalam waktu to  t, partikel berpindah dari A  B. 4/13/2017

Disusun Persamaan, ΔEk = Ek – Eko = Wℓ + Wd Ek = kerja yang dilakukan oleh sistem karena adanya gaya yang bekerja padanya (baik gaya luar maupun dalam). 4/13/2017

Contoh. 4/13/2017

Hukum Kekekalan Energi Sistem Jika hukum interaksi dua partikel memiliki gaya bersifat konservatif, sehingga memunculkan kon sep energi potensial (Ep) yang tergantung pada posisi koordinat massa partikel m1 dan m2 ber-laku, Ep12 nilai Ep saat t dan (Ep12)o nilai saat to dise-but Ep dalam suatu sistem nilainya tergantung pada jarak r12 . Ek – Eko = Wℓ + (Ep12)o - (Ep12) 4/13/2017

(Ek + Ep) = Wℓ + (Ek + Ep12)o Persm tersebut merupakan pernyataan hukum kekekalan energi, sebagai akibat adanya prinsip kekekalan momentum serta asumsi konserva-tisasi gaya. Besaran Ek + Ep12 = U, disebut "proper energi" sehingga diperoleh, U – Uo = Wℓ. Perubahan proper energi (U) = kerja yang dilaku kan oleh sistem karena adanya gaya luar. Bila di dalam sistem tidak ada gaya luar (partikel bebas atau sistem disekap), Wℓ = 0 U - Uo = 0 atau U = Uo. 4/13/2017

Epd = Epij = Ep12 + Ep13 + ……+ Ep1n + Ep2n + Epnm Jika dalam sistem yang terlindungi, Ek bertambah maka Ep berkurang atau sebaliknya (karena jum-lahnya harus tetap). Bila sistem terdiri lebih dari dua partikel, Ep diper-oleh dari tiap pasangan partikel, U = Ek + Epd = ½ m v2 + Epij Epd = Epij = Ep12 + Ep13 + ……+ Ep1n + Ep2n + Epnm Bila dalam sistem bekerja gaya luar bersifat konser vatif berarti Wℓ = (Epℓ)o - (Epℓ). 4/13/2017

Energi total sistem, E = U + (Epℓ) = Ek + Epd + Epℓ Besaran (Epℓ)o - (Epℓ ), Ep yang berhubungan de-ngan gaya luar dari keadaan awal dan akhir sistem. (U + Epℓ) = (U + Epℓ )o Energi total sistem, E = U + (Epℓ) = Ek + Epd + Epℓ 4/13/2017

4/13/2017

Tumbukan Gaya-gaya yang bekerja pada proses tumbukan adalah pasangan gaya aksi-reaksi Dua partikel bergerak saling mendekati satu de-ngan yang lain (melakukan interaksi sehingga ge-rak mereka berubah, artinya mereka telah melaku-kan pertukaran momentum dan energi). Dengan melakukan pertukaran energi dan mo-mentum artinya kedua partikel tersebut telah melakukan tumbukan. Pengertian tumbukan tidak perlu bersinggungan secara fisik (bila telah berinteraksi, artinya telah melakukan tumbukan). 4/13/2017

Dalam tumbukan berlaku hukum ketiga Newton. Dua partikel bergerak dengan kecepatan tetap sebelum dan sesudah bertumbukan. Selama tumbukan mereka di bawah pengaruh gaya aksi-reaksi satu dengan lainnya. Dalam tumbukan berlaku hukum ketiga Newton. Momentum total partikel sebelum dan sesudah tumbukan tetap (dapat terjadi besar momentum sudut tetap). v1, kecepatan partikel satu, sebelum tumbukan dan v1! sesudah tumbukan. 4/13/2017

v2, kecepatan partikel dua, sebelum tumbukan dan v2! sesudah tumbukan. Bila gaya-gayanya konservatif Ek tetap (Ep sebe- lum dan sesudah tumbukan sama). Gaya-gaya yang berperan selama dalam tumbuk- an adalah gaya dalam (momentum dan energi-nya kekal). Energi total, 4/13/2017

Bila p dan E dibagikan dihasilkan bentuk, Perbandingan antara kecepatan relatif sesudah tum bukan dengan sebelum tumbukan disebut koefisien restitusi atau koefisien tumbukan (e). 4/13/2017

Klasifikasi tumbukan 4/13/2017

Macam-macam tumbukan m2 F21 F12 m1 tumbukan kontak langsung F F12 p He4 hamburan t F12 F21 F 4/13/2017

Tumbukan lenting sempurna (e = 1). Tumbukan yang dipenuhi oleh hukum kekekalan momentum dan energi disebut tumbukan elastik sempurna. v1 v2 - v1 - v2 sebelum tumbukan sesudah tumbukan Tumbukan dengan energi sesudah dan sebelum tumbukan tetap (Ek = Ek! – Ek = 0), tumbukan tersebut terpenuhi oleh nilai (e = 1). 4/13/2017

Tumbukan tidak lenting sama sekali, (e = 0) Tumbukan tidak lenting sama sekali (jika kedua partikel bergabung lalu bergerak bersama-sama, dipenuhi v1! = v2! = v). v1 v2 m1 m2 Sebelum tumbukan v m1 + m2 Setelah tumbukan Kecepatan gabungan dua benda (v) setelah tum-bukan nilainya (hukum kekekalan momentum), 4/13/2017

Tumbukan lenting sebagian, (0< e < 1) Antara dua tumbukan (lenting dan tidak lenting sama sekali), dinamakan tumbukan lenting seba gian (tumbukan non elastik) dipenuhi oleh nilai e, (0  e  1). 4/13/2017

Contoh. Benda massa 1 kg bergerak dengan kecepatan, v1 = 3 i – 2 j. Benda kedua massa 2 kg bergerak dengan kecepatan, v2 = 4 j – 6 k. Kedua benda bertumbukan dengan tidak lenting sama sekali. Tentukan kecepatan benda setelah tumbukan ! Penyelesaian. ,besar kecepatan setelah tumbukan √21 m s-1. 4/13/2017

Contoh. Benda massa 4 kg bergerak dengan kecepatan 4 m s-1 ditumbuk oleh benda lain massa 2 kg dari belakang dengan kecepatan 9 m s-1 sehingga kecepatannya menjadi 6 m s-1. Pertanyaan a. berapa besar koefisien tumbukannya ? b. berapa besar perubahan Ek sistem? Penyelesaian. p1 + p2 = p1! + p2! (4 kg)(4 m s-1) + (2 kg)(9 m s-1) = (4 kg)(6 m s-1) + (2 kg)(v2!) v2! = 5 m s-1 4/13/2017

Tanda negatif, artinya kehilangan (berkurang, ada yang hilang) energi setelah tumbukan. 4/13/2017

Contoh. Bola baja massa m dilemparkan pada pelat baja bermassa M dengan sudut . Bola baja mental (bergerak membalik) dengan sudut θ. Buktikan tan θ = ½ (e – 1) tan  ! Penyelesaian.  θ m v x y Bola baja sumbu x berlaku m v cos  = m v!bx atau v cos  = v!bx. Pelat baja sumbu x berlaku M vpx = M v!px = 0. Bola dan pelat sumbu y berlaku m v sin  + M vpy = m v!by + M v!py sehingga v sin  = v!by + v!py. 4/13/2017

Koefisien restitusi, 4/13/2017

Memberlakukan hukum kekekalan momentum Dalam peristiwa tumbukan alur penyajian kon-sep (penyelesaian) dapat dilihat dalam bagan di bawah ini. Bagan. Tumbukan Memberlakukan hukum kekekalan momentum Tidak memasukkan hukum kekekalan Ek. Memasukkan hukum kekekalan Ek. 4/13/2017

Tidak memasukan hukum kekekalan Ek. Memasukan Hukum kekekalan Ek. Lanjutan. Tidak memasukan hukum kekekalan Ek. Memasukan Hukum kekekalan Ek. Tumbukan tidak lenting Tumbukan lenting sempurna Kedua benda bergabung Kedua benda tetap terpisah e = 1 Δv = - Δv! Tumbukan tidak lenting sama sekali Tumbukan lenting sebagian 0 < e < 1 v1! = v2! = v  e = 0 4/13/2017

Soal. Sebuah peluru bermassa 20 gram ditembakkan pada bandul balistik bermassa 1980 gram sehing-ga akhirnya peluru bersarang dalam bandul. Jika sesaat setelah tumbukan kecepatan bandul dan peluru adalah 2 m s-1, tentukan kecepatan peluru sebelum menumbuk bandul. Penyelesaian ? 4/13/2017

Contoh. 4/13/2017

4/13/2017

4/13/2017

4/13/2017

4/13/2017

4/13/2017

Torsi – Momen gaya Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan 4/13/2017

Torsi – Momen gaya Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam. Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m) 4/13/2017 Bab 6-60

Hukum Kekekalan Momentum Sudut dimana dan Jika torsi resultan = nol, maka Hukum kekekalan momentum sudut 4/13/2017 Bab 6-61

Momentum Sudut: Defenisi & Penurunan Gerak linear sistem partikel berlaku, Bagaimana dengan Gerak Rotasi ? p = mv Momentum kekal jika Untuk Rotasi, analog gaya F adalah Torsi analog momentum p adalah momentum sudut 4/13/2017 Bab 6-62

Sistem Partikel Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka mo-mentum sudut total: Perubahan momentum sudut sistem hanya disebab-kan oleh torsi gaya luar saja. 4/13/2017 Bab 6-63

(karena ri dan vi tegak lurus) Perhatikan sistem partikel benda tegar yang bero-tasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momen-tum sudut adalah jumlah masing2 momentum su-dut partikel: (karena ri dan vi tegak lurus) Arah L sejajar sumbu z v1 Gunakan vi =  ri , diperoleh m2 j r2 r1 m1 i v2  r3 m3 v3 analog dengan p = mv ! 4/13/2017 Bab 6-64

Vektor Momentum Sudut Definisi: Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan ke-cepatan sudut terhadap sumbu rotasi terse-but. Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi): 4/13/2017

Momen Inersia Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, mo-men inersianya diberikan dalam bentuk integral dm x y z Dimana Elemen Volume dimana r dr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan. 4/13/2017

Momen Inersia Untuk lempengan benda di bawah ini, momen inersia dalam bentuk integral Asumsi rapat massa ρ konstan Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb: 4/13/2017 Bab 6-67

Massa dari lempengan tersebut Lanjutan. Hasilnya adalah Massa dari lempengan tersebut Momen Inersia benda 4/13/2017 Bab 6-68

Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi: Teorema sumbu sejajar Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terha-dap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat diten-tukan dengan menggunakan: Teorema sumbu sejajar, Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi: 4/13/2017 Bab 6-69

Lanjutan. dimana Bila ,maka sehingga Hukum kekekalan Ek Rotasi 4/13/2017

Gerak menggelinding pada bidang miring Gunakan: torsi = I  acom = -  R Maka: MR2 g sin θ = - I  acom Ip = Icom + MR2 4/13/2017 Bab 6-71

Contoh. 4/13/2017