OFC-11: Pengertian Random Number

SIMULASI PSEUDO RANDOM Ciri2-nya 1.Simulasi dengan mempergunakan bilangan random disesuaikan dengan fungsi generator Probabilitas 2. Proses pseudo random menghasilkan bilangan random yang berada dalam distribusi peluang tertentu untuk dapat mendekati nilai dunia nyata yang berdasar fungsi distribusi peluang statistik tertentu. 3. Distribusi Probabilitas Komulatif mempunyai dua bentuk yaitu bentuk diskrit dan kontinu.

Phases in Simulation Study Problem formulation Model Formulation Data collection Data analysis Program Generation Model valid Fine model Experimental Design Analysis Simulation Results

Contoh Program Generation ; diagram alir simulasi loading - unloading di pelabuhan laut Kapal tiba Kapal tiba Kapal Tunggu dilaut ada Tidak ada Kapal Tarik Tarik ke darmaga Tunggu didarmaga Tidak ada Bongkar muatan ada Tarik ke laut lepas Kapal Tarik Kapal pergi

Penjelasan gambar diatas 1. Kapal akan tunggu dilaut bila kapal tarik tidak ada karena lagi dipakai. 2. Kapal akan tunggu didarmaga bila kapal tarik lagi dipakai. 3.Bila hendak mengetahui efektifitas dari kapal tarik, ada tiga waktu yang harus di-ketahui a. Lama waktu kapal tarik menarik kedermaga b. Waktu bongkar muatan kapal c. Waktu tarik dari darmaga kelaut. Simulasi dikembangkan untuk mengetahui 1. waktu rata2-nya, bila kapal tarik jumlahnya terbatas. 2. Tidak diketahui kapal kapal-tarik siap utk menarik kapal yang datang. 3. Waktu bongkar muatan tergantung kapasitas kapal yang datang.

DATA YANG BERKAITAN DENGAN SIMULASI 1. Koleksi data; data yang dikumpulkan adalah data dasar untuk membangun program simulasi, dan berkaitan dengan variabel random dalam simulasi. 2.Analisis data; Tentukan fungsi generator untuk membentuk distribusi probabilitasnya secara komulatif. 3. Buat histogram komulatif

DISTRIBUSI PROBABILITAS PSEUDO RANDOM Distribusi probabilitas adalah nilai-nilai probabilitas dipergunakan untuk mewakili semua nilai yang dapat terjadi dari suatu variabel random X. Variabel random X adalah sesuatu yang nilainya ditentukan oleh perobahan dari proses yang berada diluar kontrol kita. Jumlah probabilitas dari semua kemungkinan kejadian harus sama dengan satu. Simbol probabilitas dinyatakan sebagai P(x=X) atau P(X) yaitu bilangan random dengan nilai dari 0 sampai dengan 1. Variabel random diskrit adalah semua nilai random dalam tabel dengan harga diskrit . Variabel random kontinyu adalah semua nilai pecahan yang dapat terjadi, tidak semuanya dalam tabel, dengan harga dinyatakan dengan fungsi kontinyu.

TEORI PROBABILITAS; Teori probabilitas selalu berhubungan dengan suatu kejadian khusus yang disebut kejadian random (random events). Random events yaitu kejadian dimana outcome (keluaran) terjadi karena adanya kesempatan/chance, atau keluaran dugaan/ probability of the outcome. Konsep dasar suatu probability of the outcome dapat dicari sebagai prosentasi waktu kapan kejadian outcome tersebut terjadi. (Outcome tergantung pada waktu).Misal tos mata uang dimana pada sebagian waktu (50% waktu tos) akan terbuka sisi salah satu muka dari mata uang tersebut. Dua konsep yang berpengaruh terhadap teori probabilitas adalah; Obyektif ; dimana probabilitas dihubungkan terhadap long run frequencies of occurance.(Pada waktu yang lama maka tos mata uang akan menghasilkan kemungkinan 50% untuk setiap sisis muka mata uang. Subyektif; dijaga suatu tingkat kepercayaan (Degree of belief).

Lanjutan Probabilitas; Menghitung harga probabilitas; P(x) = 1/ n! , Misal; untuk mata uang koin P(x) = 1 / 2! = 0.50, yaitu pada tos mata uamg tersebut dilakukan dalam jumlah yang banyak akan terbukti bahwa masing masing akan bergantian sis muka yang keluar sebanyak 50%.(Buktikan). Contoh; Misalkan koin di-tos sebanyak 1000 kali, maka ekspektasi dari sisi muka yang akan keluar adalah masing masing 500 kali. Bila fair games dilakukan maka antara bandar dan penjudi akan sama sama menang. Probabilitas dari bulan januari di daerah puncak bertemperatur 25 o C adalah 1/10, artinya Telah diselidiki oleh biro statistik bahwa selama 10 tahun tiap bulan januari ada 1 bulan yang bertemperatur 25oC, atau berdasar perubahan klimatologi maka setiap januari dalam perioda 10 tahunan akan ada 1 bulan dimana di Puncak bertemperatur 25oC. Penggunaan probabilitas untuk mengukur Expected value Expected value (w) = w1 p1 + w2p2 + ............... Untuk koin dimana p1 + p2 = 1 , bila p1 untuk kemenangan (positif) dan w = w1 0.5 + w2 ( - 0.5) = 0 p2 untuk kekalahan (negatif) maka Bila untuk tos koin diatas w1 = Rp 200, sedangkan w2 = Rp.100, maka w = 200 (0.5) - 100 (0.5) = Rp.50.- Artinya setiap main akan ada rata rata kemenangan sebesar Rp/50,- 25oC

DISTRIBUSI PROBABILITAS; Distribusi probabilitas selalu berhubungan dengan suatu kejadian khusus yang disebut kejadian random (random events). Random events yaitu kejadian dimana outcome (keluaran) terjadi karena adanya kesempatan/chance, atau keluaran dugaan/ probability of the outcome. Konsep dasar suatu probability of the outcome dapat dicari sebagai prosentasi waktu kapan kejadian outcome tersebut terjadi. (Outcome tergantung pada waktu).Misal tos mata uang dimana pada sebagian waktu (50% waktu tos) akan terbuka sisi salah satu muka dari mata uang tersebut. Dua konsep yang berpengaruh terhadap teori probabilitas adalah; Obyektif ; dimana probabilitas dihubungkan terhadap long run frequencies of occurance.(Pada waktu yang lama maka tos mata uang akan menghasilkan kemungkinan 50% untuk setiap sisis muka mata uang. Subyektif; dijaga suatu tingkat kepercayaan (Degree of belief).

Lanjutan Probabilitas; Menghitung harga probabilitas; P(x) = 1/ n! , Misal; untuk mata uang koin P(x) = 1 / 2! = 0.50, yaitu pada tos mata uamg tersebut dilakukan dalam jumlah yang banyak akan terbukti bahwa masing masing akan bergantian sis muka yang keluar sebanyak 50%.(Buktikan). Contoh; Misalkan koin di-tos sebanyak 1000 kali, maka ekspektasi dari sisi muka yang akan keluar adalah masing masing 500 kali. Bila fair games dilakukan maka antara bandar dan penjudi akan sama sama menang. Probabilitas dari bulan januari di daerah puncak bertemperatur 25 o C adalah 1/10, artinya Telah diselidiki oleh biro statistik bahwa selama 10 tahun tiap bulan januari ada 1 bulan yang bertemperatur 25oC, atau berdasar perubahan klimatologi maka setiap januari dalam perioda 10 tahunan akan ada 1 bulan dimana di Puncak bertemperatur 25oC. 25oC

Penggunaan probabilitas untuk mengukur Expected value Expected value (w) = w1 p1 + w2p2 + ............... Untuk koin dimana p1 + p2 = 1 , bila p1 untuk kemenangan (positif) dan w = w1 0.5 + w2 ( - 0.5) = 0 p2 untuk kekalahan (negatif) maka Bila untuk tos koin diatas w1 = Rp 200, sedangkan w2 = Rp.100, maka w = 200 (0.5) - 100 (0.5) = Rp.50.- Artinya setiap main akan ada rata rata kemenangan sebesar Rp/50,-

PERBANDINGAN SIMULASI DENGAN OPTIMASI (?) Model Simulasi Input: Nilai parameter dan keputusan Proses: Simulator Output: Ukuran efektivitas Model Optimasi Input; Parameter Proses: Model optimasi matematika Output: Variabel keputusan yang optimal dan nilai optimal ukuran efektivitas

Analisis Peluang Dalam Kasus Pseudo Random 1. Teori Peluang Peluang adalah suatu probabilitas (ukuran kecenderungan atas munculnya/terjadinya suartu peristiwa/kejadian/event. 2. Nilai probabilitas antara 0 dan 1 3. Komponen peluang; Event, Ruang sample,dan sample.

Ringkasan Distribusi Peluang Distribusi exponensial; Rata rata = ß= 1/ λ Variansi = ß 2 Distribusi Normal Rata rata = µ Variansi = σ2 Distribusi bernoulli; Rata rata = P Variansi = P(1-P) 3. Distribusi binomial; Rata rata = nP Variansi + nP(1-P) 4. Distribusi Poisson; Rata rata = λ Variansi = λ 5. Distribusi Uniform; Rata rata = (B+A)/2 Variansi = (B-A)2 / x

D.P diskrit contohnya adalah D.P. Poisson. Variabel X = jumlah kejadian pada interval waktu tertentu. (Mis. 1 hari terjual mobil 2 mobil,dst). Bila rata2 banyaknya kejadian perinterval waktu = λ. Jadi P(X)= λx e -λ / x! contoh; jumlah mobil terjual setiap harinya akan mengikuti distribusi Prob. Poisson.

HUBUNGAN X vs P(X) Disini hubungan D.P nya adalah Kontinyu dan berdistribusi Normal, dimana nilai P(X) dinyatakan untuk mewakili nilai variabel random X. P(X) f{P(X)} 0.20 0.15 0.10 0.05 X a1 a2 a3 a4 m b4 b3 b2 b1 f{P(X)}= 1/(2πσ2)1/2 e -(x-µ)2/2σ2

Pembangkitan Bilangan Acak Random Number Generator Definisi; Suatu algoritma yang digunakan untuk menghasilkan uruta-urutan angka angka random baik secara hitungan manual maupun komputasi elektronik (komputer) Bilangan acak disesuaikan dengan besar probabilitas yaitu antara 0 s/d 1.0 dan berdistribusi seragam. Syarat Pembangkitan Bilangan acak; Bersifat random Tidak ber-ulang (Degenerative) Perioda ulang biasanya munculnya sangat panjang

Metoda Pembangkitan Bilangan Acak Manual Sederhana; dengan lempar koin, ambil bola pingpong dalam keranjang secara acak, lempar dadu, putaran roullete. Tabel bilangan acak. Berupa daftar angka acak yang sudah diakui kebenaran acak-nya Menggunakan Komputer.; Menggunakan algoritma komputer yang diprogram Jenis bilangan acak Murni; acak langsung dipergunakan contoh peristiwa simulasi Monte Carlo penjualan sepatu . Tidak Murni (Pseudo random); dihasilkan acak dengan rumusan matematik, atau bilangan acak diperoleh berdasar hitungan distribusi statistik tertentu, Misal Poisson, Eksponensial, dsb.

Jenis Bilangan Acak Midsquare Method Prosedur; Tentukan Seed; angka random awal dari 4 digit angka random Kuadratkan Ambil empat digit yang ditengah Kembali ke langkah 2 Ulang sebanyak bilangan acak yang di-inginkan Contoh: Seed= 7812, (7812)2 , 51581124, (5811)2

Bentuk Tabulasi Midsquare method Zi U Bilangan acak terpilih Zi2 7182 - 51581124 5811 0.5811 33767721 7677 0.7677 58936329 9363 0.9363

Random Number Generator Linear Conguential Generator (LCG) Rumus; Zi = (a Zi-1 + c ) mpd m Dimana a = multiplier, c = increment, Zo = Seed Zi = Sisa hasil bagi random number , m = angka modul; Syarat konstanta; harga a > √m atau ; m/100 < a < m - √m Harga c harus ganjil, tidak merupakan kelipatan dari angka m Modul m harus bilangan yang tdak dapat dibagi (Bilangan prima) Harga Seed harus angka integer ganjil dan besar. Ui = Zi /m

Random Number Generator Multiplicative Congruential Generator (MCG) Rumus: Zi = (a Zi-1) mod m Mixed Congruential Generator (Linier Congruential Random Number Generator); Rumus; Zn = an Zo + (an – 1)/(a – 1). C (mod m)

Linier Congruential Random Number Generator Persyaratan Persyaratan; N integer > 0, C = Bilangan prima Bila C bilangan prima terhadap n berarti pembagi umum yang terbesar dari c dan m adalah 1. .a= 1 (mod q) untuk setiap faktor prima q dari m berarti a – q (a/q) = 1, bila k = (a/q) maka a = 1 + q k, dimana q adalah faktor prima dari m .a = 1 (mod 4) bila 4 adalah faktor dari m berarti a = 1 + 4k, bila m/4 = integer (bila m dibagi 4, hasilnya bulat)

Cara Pemilihan mod m Definisi; m angka integer terbesar hasil dari perkalian awal yang sebagai pembagi dengan angka integer lain. Contoh: Zo = 7, a = 5 c = 3 Berdasar metoda Multiplicative Congruential Generator) ; Zi = (a Zi-1) mod m Z1 = (5x7+3) mod m, m = angka integer Angka m dihasilkan dari 38 dibagi 2 angka prima nya adalah 16. Z1 = 6, Z2 = (5x6+3) mod 16 , Z2 = 33 mod 16 =1 , Z3 = (5x1+3) mod 16 , z3 = 8 mod 16 = 8, Z4 = (5x8+3) mod 16 = 43 mood 16 = 11 Bilangan random ; U1 = 6/16, U2 = 1/16, U3=8/16, U4= 11/16

Validasi Bilangan Acak Pengujian dimaksudkan untuk melihat distribusinya, urutan ke-acakan-nya. Metoda pengujian ; Uji empiris; dilakukan dengan uji statistik; Chi-Square test; Uji keseragaman Run test; Ujui keacakan UJi teoritis; dilakukan uji parameter pembangkit untuk pembangkitan secara menyeluruh. Spectral test Lattice test

Frekuensi Bilangan acak Chi Square test Dibangkitkan 100 bilangan acak yang akan dikelompokkan dalam 10 kelompok kelas probabilitas. Kelas Frekuensi Bilangan acak Fo Frekuensi harapan Fe (Fo-Fe)2/Fe Chi-sqre. 0.0 – 0.09 0.1 – 0.19 0.2 – 0.29 0.3 – 0.39 0.4 – 0.49 0.5 – 0.59 0.6 – 0.69 0.7 – 0.79 0.8 – 0.89 0.9 – 1.00 9 12 10 11 8 7 0.1 0.4 0.0 0.9 100 2.4

Chi Square test Pengujian: Nilai Chi-square tabel = 16.919 Ho = data/acak terdistribusi seragam H1 = Tidak terdistribusi seragam Selang kepercayaan α = 0.05 (5%) Nilai Chi-square tabel = 16.919 Chi-square hitung = 2.4 artinya < nilai tabel Kesimpulan terima Ho

Run Test Urutan ke-acak-an diuji Cara uji; Bilangan acak dalam urutannya bila harganya naik beri satu tanda +, sdebaliknya tanda -, seterusnya sampai seluruh bilangan acak. Contoh; 40 bilangan acak sbb; 0.43;0.32;0.48;0.23;0.90;0.72;0.94;0.11;0.14;0.67;0.61;0.25;0.45;0.56;0.87;0.54;0.01;0.64;0.65;0.32;0.03;0.93;0.08;0.58;0.41;0.32;0.03;0.18;0.90;0.74;0.32;0.75;0.42;0.71;0.66;;0.03;0.44;0.99;0.40;0.55. Total run x = 26 (26 tanda + dan -) Nilai harapan total run; μ = (2n – 1)/3 = ((2x40)-1)/3 = 26.33 Variansi jumlah run; σ2 = (16n – 29)/90 = ((16x40)-29)/90= 6.79 Standar deviasi σ = 2.61 Pengujian dengan distribusi normal; Ho : μ = 26.33, H1 = bukan μ Z = (a – μ)/ σ = (26 – 26.33)/ 2.61 = - 0.13 Batas selang-kepercayaan -1.96 s/d 1.96., berartyi harga Z ada didalamnya Terima Ho

KESIMPULAN Keuntungan simulasi adalah; Kerugian: (?) Model simulasi sebagai fasilitas untuk menangani masalah ketidak pastian Dapat dilakukan ber-ulang kali, dengan me-robah nilai variabel Angka acak dapat di-uji statistik Hasil hanya merupakan kemungkinan yang dapat terjadi. Kerugian: (?) Model Simulasi mempergunakan suatu desain sistem dari kejadian yang sebenarnya dengan memasukkan sejumlah variabel kedalam variabel. Optimasi simulasi tergantung dari banyaknya dan interaksi variabel.