Pertemuan ke 21

BAB VIII G R A F

1. Pendahuluan Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik yang disebut simpul (verteks). sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis yang disebut sisi ( edge ).

Masalah jembatan Königsberg Apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula? A B C D

Jawaban yang dikemukakan oleh Euler adalah : Orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap simpul tidak seluruhnya genap. A B C D (3) (5)

Dari C ke B A B C D 3 2 1 4 5 7 6 8

2. Definisi Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V, E ), yang dalam hal ini : V = himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices/ node) = {v1, v2 , ..., vn } dan V  1 E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul = {e1, e2, ... , en } dan E  0

Jika e adalah sisi yang menghubungkan vi dan vj, maka e dapat ditulis e = (vi ,vj ) Jumlah simpul pada graf disebut kardinalitas graf dan dinyatakan dengan n=V, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = E. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi, dinamakan graf trivial.

Gambar 8.3 G1 2 3 4 1 G2 2 3 4 1 e1 e7 e6 e5 e2 e3 e4 G3 2 3 4 1 e1 e7 e6 e5 e2 e3 e4 e8

Sisi Ganda adalah sisi yang menghubungkan dua buah simpul yang sama. Gelang atau Kalang adalah sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

3. Jenis-jenis Graf Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang. a. Graf Sederhana : Graf yang tidak mengandung gelang atau sisi ganda. G1 2 3 4 1

b. Graf tak Sederhana : Graf yang mengandung sisi ganda (graf ganda) dan Graf yang mengandung gelang (graf semu ). G2 2 3 4 1 e1 e7 e6 e5 e2 e3 e4 e8

B. Berdasarkan jumlah simpul. a.Graf Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n,berhingga. b.Graf tak Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n, tidak berhingga banyaknya.

C. Berdasarkan Arah pada sisi a.Graf tak berarah : Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (vi ,vj ) = (vj ,vi )

b. Graf berarah G3 2 3 4 1 Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah(vi ,vj ) dan (vj ,vi ) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Maka (vi ,vj )  (vj ,vi ). Untuk (vi ,vj ), simpul vi dinamakan simpul asal dan vj dinamakan simpul terminal. G3 2 3 4 1

4. Contoh Terapan Graf Graf dipakai di berbagai disiplin ilmu maupun dalam kehidupan sehari-hari. Contoh pada : Rangkaian Listrik. Isomer senyawa kimia karbon. Transaksi konkuren pada basis data terpusat. Pengujian program. Terapan graf di dalam teori otomata. Turnamen Round-Robin.

Turnamen Round-Robin 1 2 6 3 5 4 Gambar 8.10

5. TERMINOLOGI GRAF Gambar 8.11 1 (a) G1 2 3 1 4 1 5 e2 e3 e1 3 3 2 4 ● (a) G1 2 ● ● 3 1 ● 4 1 Gambar 8.11 5 e2 ● e3 e1 3 ● 3 2 4 2 e4 (c) G3 (b) G2 e5

2 3 4 1 1. Bertetangga ( Adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi.  Contoh 8.2 : Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4

2 3 4 1 2. Bersisian( Incident) Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj atau e bersisian dengan simpul vk. Contoh 8.3 : Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, Sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4

3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya. 1 2 3 4 5 G5 ●

4. Graf Kosong (Null graph ) Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong dan ditulis sebagai Nn, yang dalam hal ini n adalah jumlah simpul. 1 2 3 4 5 G6 ● Graf N5 ● ● ● ●

5. Derajat (Degree) Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting ( pendant verteks). Simpul yang mempunyai gelang dihitung mempunyai dua buah sisi.

Gambar 8.11 Contoh 8.6 : 1 d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 G1 2 3 1 2 ● d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 G1 2 ● ● 3 ● 1 2 3 5 4 ● 4 1 Gambar 8.11 e2 e3 d(3) = 4 e1 ● 3 2 e4 G3 d(4) = 1 G2

Definisi 8.7 : Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan din(v) dan dout(v), yang dalam hal ini din(v) = derajat-masuk (in-degree) dout(v)= derajat-keluar (out-degree) dan d(v) = din(v) + dout(v)

Derajat setiap simpul adalah : din(a) = 2 ; dout(a) = 1 Contoh 8.7 : Derajat setiap simpul adalah : din(a) = 2 ; dout(a) = 1 din(b) = 2 ; dout(b) = 3 din(c) = 1 ; dout(c) = 2 din(d) = 2 ; dout(d) = 1 b a c d

Pada graf berarah G =(V,E) selalu berlaku hubungan Misalnya pada contoh 8.7 di atas,

Lemma Jabat Tangan. Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V,E), maka

Contoh 8.8 : 2 3 4 1 Jumlah derajat seluruh simpul pada graf gambar 8.11 (a)

Contoh 8.9 : Diketahui graf dengan 5 buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah : ● 2, 3, 1, 1, 2 2, 3, 3, 4, 4 ● ● ● ●

Contoh 8.9 : (4) (2) (3) Teorema 8.1 ● Teorema 8.1 Untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap

6. Lintasan ( Path) 2 3 4 1 Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi(1,2), (2,4), (4,3) Istilah lain untuk lintasan adalah jalur.

Lintasan Sederhana ( simple path ) Lintasan dimana semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali).

Lintasan Tertutup (closed walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Lintasan Terbuka ( open walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang tidak sama.  Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut.

2 3 4 1 Contoh 8.10 : Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan sederhana, juga lintasan terbuka. Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 adalah juga lintasan sederhana, juga lintasan tertutup. Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka. Panjang Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3

7. Siklus (cycle)/Sirkuit(circuit) Definisi 8.8 : Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. 2 3 4 1 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.

a.Panjang Sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut.  b.Sirkuit Sederhana (simple path) Sirkuit dengan semua sisi yang dilalui hanya satu kali. c.Sirkuit Elementer (elementary path) Sirkuit dengan semua simpul yang dilalui hanya satu kali.

8. Terhubung (connected) Dua buah simpul v1 dan v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. Definisi 8.9 Graf tak berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul v1 ke v2 dalam himpunan V terdapat lintasan dari v1 ke v2 juga v2 ke v1. Jika tidak, maka G disebut graph tak terhubung (disconnected graph).

2 3 4 1 5 6 7 8 Gambar 8.14 graf tak-berarah tidak terhubung

Definisi 8.11 Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak-berarahnya terhubung ( graf tak-berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya ).

Dua simpul, u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. 1 2 3 4 5 Simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).

Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected). 1 2 3 4 5 Simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3.

9. Upagraf ( Subgraph) dan Komplemen Upagraf Definisi 8.13 : Misalkan G= (V, E) adalah sebuah graf. G1=(V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G. Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2=(V2,E2).  1 2 3 5 6 G2 2 3 4 1 5 6 G G1 4 3 1 5 upagraf Komplemen

Jika graf tidak terhubung, maka graf tersebut terdiri atas beberapa komponen terhubung (connected component). 1 2 3 4 7 5 6 ● G2 G1 G3 Gambar 8.17 Graf G yang mempunyai 3 buah komponen, yaitu G1, G2, dan G3

1 2 3 4 5 6 Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (1, 3, 2, 1) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat. 1 2 3 4 5 6 ●

10. Upagraf Merentang (Spanning Subgraph) Upagraf G1=(V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf merentang jika V1=V atau G1 mengandung semua simpul dari G. Bukan Upagraf Merentang G G G1 1 3 5 4 2 1 1 3 2 2 3 G2 4 5 Upagraf Merentang G

11. Cut-Set Cut-Set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen. 1 3 5 4 2 6 1 3 5 4 2 6

12. Graf Berbobot (Weighted Graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga. a b c d e 10 12 8 15 11 9 14

6. Beberapa Graf Sederhana Khusus Graf Lengkap (Complete Graph) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn berderajat n - 1

Contoh 8.15 : ● ● ● ● ● ● K1 K2 K3 K4 K5 K6 Graf lengkap Kn

b. Graf Lingkaran Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n buah simpul, dilambangkan dengan Cn. Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1, v2, …,vn maka sisi-sisinya adalah (v1, v2),…,(vn-1, vn ).

Contoh 8.16 : ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Graf lingkaran Cn

C. Graf Teratur ( Reguler Graphs) Graf teratur adalah graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r.

Graf teratur derajat 0, 1 dan 2 Contoh 8.17 : ● ● ● ● ● ● (i) derajat 0 (ii) derajat 1 (iii) derajat 2 Graf teratur derajat 0, 1 dan 2

Contoh 8.18 : ● (i) n=4, r=3 ● ● (ii) n=6, r=3 (iii) n=8, r=3 Graf teratur berderajat 3

Berapa jumlah maksimum dan minimum simpul pada Contoh 8.19 : Berapa jumlah maksimum dan minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ≥ 3 ? Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e=nr/2. Jadi n= 2e/r = (2)(12)/r = 24/r Untuk r=3  n=24/3 = 8 r=4  n=24/4 = 6 r=6  n=24/6 = 4  tidak mungkin membentuk graf sederhana r=8  n=24/8 = 3  tidak mungkin membentuk graf sederhana r=12  n=24/12 = 2  tidak mungkin membentuk graf sederhana r=24  n=24/24 = 1  tidak mungkin membentuk graf sederhana Jadi jumlah simpul paling sedikit 6 buah dan paling banyak 8 buah

● ● n=8, r=3 n=6, r=4 ● ● ● ● ● ● ●

d. Graf Bipartit Graf bipartit adalah : Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2. ● ● ● ● ● v1 v2

Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di V2 , maka G(V1, V2) disebut sebagai graf bipartit lengkap (complete bipartite graph), dilambangkan dengan Km,n v1 ● K2,3 v2 Contoh 8.21 : ● ● K3,3 K2,4

(a) Persoalan utilitas H1 H2 H3 ● ● W G E (b) Jar. Komputer LAN

7. REPRESENTASI GRAF Untuk pemrosesan graf dengan program komputer, graf harus direpresentasikan ke dalam memori. Terdapat beberapa representasi yang mungkin untuk graf,misalnya matriks ketetanggaan, matriks bersisian, dan senarai ketetanggaan.

Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n  1 dan berukuran n x n, bila matriks tersebut dinamakan A = [ aij ], maka : aij = 1, jika simpul i dan j bertetangga aij = 0, jika simpul i dan j tidak bertetangga.

Karena matriks ketetanggaan hanya berisi nol dan satu, maka matriks tersebut dinamakan matriks nol-satu (zero-one). Angka 0 juga bisa menyatakan nilai false dan angka 1 menyatakan nilai true.

Contoh 8.23 : 3 2 4 1 ● 1 2 3 5 4 2 3 4 1 1 2 3 4 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 0 1 1 0 1 2 3 4 5 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 0 0 3 1 1 0 1 0 4 0 0 1 0 0 5 0 0 0 0 0 1 2 3 4 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 3 1 0 0 0 4 0 1 1 0 (c) (a) (b) Gambar 8.30

Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tidak berarah selalu simetri. Sedangkan untuk graf berarah matriks ketetanggaannya belum tentu simetri tetapi akan simetri jika berupa graf berarah lengkap. Selain itu diagonal utamanya selalu nol, karena tidak ada sisi gelang.

Contoh 8.24 : 1 1 2 3 4 1 0 1 2 0 2 1 0 1 1 3 2 1 1 2 4 0 1 2 0 e4 e1 e3 e2 2 e8 e6 3 e5 e7 4

Matriks ketetanggaan nol-satu tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda. Untuk mengatasinya, gelang pada simpul vi dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i, j) di matriks ketetanggaannya. Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah elemen matriksnya dapat diakses langsung melalui indeks.

Derajat tiap simpul i dapat dihitung dari matriks ketetanggaan. Untuk graf tak-berarah, Sedang untuk graf berarah,

Contoh 8.23 : Tinjau matriks ketetanggaan pada gambar 8.30. Derajat simpul 2 pada gambar 8.30(a) adalah 1+0+1+1=3 Derajat simpul 4 pada gambar 8.30(a) adalah 0+1+1+0=2 2 3 4 1 1 2 3 4 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 0 1 1 0

3 2 4 1 1 2 3 4 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 3 1 0 0 0 4 0 1 1 0 (c) Derajat-masuk (in) simpul 2 pada gambar 8.30(c) adalah 1+0+0+1=2 Derajat-keluar (out) simpul 2 pada 1+0+1+1=3

a e b c d Contoh 8.25 : 10 12 8 15 11 9 14 a b c d e a ~ 12 ~ ~ 10

b. Matriks Bersisian (incidency matriks) Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E), adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks n x m, baris menunjukan simpul, sedangkan kolom menunjukan sisi.

Bila matriks tersebut dinamakan A = [aij], aij = 1, jika simpul i bersisian dengan sisi j aij = 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j. Matriks bersisian dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang.

Gambar 8.33 Contoh 8.26 : ● e1 e2 e3 e4 e5 e6 2 1 3 4 1 1 1 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 0 3 0 0 1 1 1 0 4 0 0 0 0 1 1 Gambar 8.33

c. Senarai Ketetanggaan (adjacency list) Senarai ketetanggaan meng-enumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf.

Contoh 8.27 : 3 2 4 1 ● 1 2 3 5 4 2 3 4 1 Senarai ketetanggaan: Senarai ketetanggaan: Senarai ketetanggaan: 1: 2, 3 2: 1, 3, 4 3: 1, 2, 4 4: 2, 3 1: 2, 3 2: 1, 3 3: 1, 2, 4 4: 3 5: - 1: 2 2: 1, 3, 4 3: 1 4: 2, 3 (c) (a) (b)

8. GRAF ISOMORFIK (ISOMORPHIC GRAPH) Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya yang berbeda. a b c d v w 3 1 2 4 ● ● G2 G3 G1 x y

a b c d G1 isomorfik dengan G2 . Simpul 1, 2, 3, dan 4 di G1 berkoresponden dengan simpul a, b, c, dan d di G2 . Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4), dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (a,b), (b,c), (c,d), (a,d), (a,c), dan (b,d). Semua simpul di G1 dan G2 berderajat 3 a b c d 3 1 2 4 G2 G1

Dua buah graf pada gambar 8.36 dibawah ini juga isomorfik. Simpul a, b, c, d, dan e di G1 masing-masing berkoresponden dengan simpul x, y, w, v, dan z di G2 . Masing-masing simpul berderajat 3, 2, 3, 3, dan 1 x y w v z a b c d e ● (a) G1 (b) G2 Graf (a) dan graf (b) isomorfik

Contoh 8.28 : ● ● x a ● ● ● ● ● ● ● y b ● ● (i) (ii) Gambar 8.38

Definisi dua buah graf isomorfik dapat memenuhi ketiga syarat berikut : a.Mempunyai jumlah simpul yang sama. b.Mempunyai jumlah sisi yang sama. c. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu. Tetapi ketiga syarat tersebut belum menjamin jika dua buah graf isomorfik, karena terdapat graf yang memenuhi ketiga syarat tersebut tetapi tidak isomorfik.

Di (a) terdapat 2 simpul anting-anting (berderajat 1) yang bertetangga dengan simpul x, sedang di (b) hanya terdapat 1 buah simpul anting-anting yang bertetangga dengan y w (1) ● u (1) ● x (3) y (3) (a) v (1) (b) Gambar 8.39

a(2) p(3) e t d h(3) f s w(3) u q b g v c(2) r(2) Gambar 8.40 Contoh 8.29 : a(2) p(3) ● ● ● ● e t d ● ● h(3) f s w(3) u q ● ● b ● ● ● ● g v ● ● ● ● c(2) r(2) (a) Gambar 8.40

Gambar 8.40 a (2) b (3) q (3) p t e f u (2) d (3) s c (3) r ● ● ● ● ●

x y w v z a b c d e Untuk memperlihatkan bahwa 2 buah graf isomorfik, kita dapat menunjukkan bahwa matriks ketetanggaannya kedua graf itu sama. x y w v z a b c d e ● a b c d e a 0 1 1 1 0 b 1 0 1 0 0 c 1 1 0 1 0 d 1 0 1 0 1 e 0 0 0 1 0 x y w v z x 0 1 1 1 0 y 1 0 1 0 0 w 1 1 0 1 0 v 1 0 1 0 1 z 0 0 0 1 0 AG1= AG2=

Contoh 8.30 : 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 ● ● ● ● 1 4 1 2 2 3 4 ● ● ● ● 3 G1 G2

9. Graf Planar dan Graf Bidang Graf Planar adalah graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong. Jika terdapat sisi yang saling memotong maka disebut graf tak-planar. ● K4 adalah graf planar

Suatu graf mungkin saja planar, walaupun digambarkan dengan sisi saling memotong, karena graf tersebut sebenarnya bisa digambarkan dengan sisi tidak saling memotong.

Contoh 8.31 : ● ● K4 adalah graf planar ● ● K5 bukan graf planar

Contoh 8.32 : Gambar 8.44 H1 H2 H3 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● W E G (b) bukan graf planar

Gambar 8.45 Contoh 8.33 : a b ● b ● (a) ● ● ● ● (b) ● a adalah graf planar

Graf Bidang Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph) Gambar 8.46 ● ● (a) graf planar (b) graf bidang (c)

R6 Gambar 8.47 Sisi—sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face) ● R3 R4 R6 R2 R1 R5 ● Gambar 8.47 Graf planar yang terdiri atas 6 wilayah

Rumus Euler : rumus Euler sebagai berikut : Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang. Jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus Euler sebagai berikut : n – e + f = 2 atau f = e – n + 2 dimana : e = jumlah sisi n = jumlah simpul

Contoh 8.34 : R6 1 2 3 4 5 6 7 e8 e6 e5 e9 e3 e2 e4 e1 e11 e7 e10 R2 ● ● Pada gambar diatas, e = 11 n = 7 maka f = 11–7+2 = 6

Corollary 8.1 : Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini v ≥ 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler e ≤ 3v-6. Contoh 8.36 : (a) K4 Pada graf K4 , n = v = 4 e = 6 memenuhi e ≤ 3v-6 6 ≤ 3(4)-6 Dengan kata lain, K4 adalah graf planar

Contoh 8.37 : (b) K5 Pada graf K5 , n = v = 5 e = 10 K5 tidak memenuhi ketidaksamaan Euler e ≤ 3v-6 Sebab 10 ≥ 3(5)-6  10 ≥ 9 Hal ini menunjukkan bahwa, K5 tidak planar

Corollary 8.2 : Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini v ≥ 3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler e ≤ 2v-4. Contoh 8.38 : Graf K3,3 tidak memenuhi ketidaksamaan e ≤ 2v-4, karena e = 9 n = 6 e ≤ 2v-4 9 ≤ 2(6)-4 = 8 (salah) Yang berarti K3,3 bukan graf planar.

Gambar 8.48 (a) K4 graf planar ● ● ● ● ● ● (b) K5 bukan graf planar (c) K3,3

Teorema Kuratowski Teorema ini memungkinkan untuk menentukan dengan tegas keplanaran suatu graf. Dua graf Kuratowski : 1. Graf lengkap yang mempunyai lima buah simpul (K5), adalah graf tidak planar. 2. Graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 sisi (K3,3) adalah graf tidak planar.

Teorema Kuratowski (a) K5 (b) K3,3

Teorema 8.2 : Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika ia mengandung upagraf yang isomorfik dengan K5 atau K3,3 atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya. ● (a) ● G1 G Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf, G1 yang sama dengan K3,3

● a ● d g G d a ● a d G1 ● ● g g K3,3 Graf G tidak planar karena upagrafnya, G1 isomorfik dengan K3,3

● ● G1 G a d ● ● ● ● a a ● ● ● d d ● G1 G K3,3

Homeomorfik Dua graf G1 dan G2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf dapat diperoleh dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul berderajat 2. Gambar 8.50 Menambahkan x dan y ● ● ● G2 v y ● x ● G1 Membuang v G3

Gambar 8.51 G G1 K5 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Graf G tidak planar karena upagrafnya, G1 homeomorfik dengan K5

Contoh 8.39 : Gambar 8.52 Graf Petersen, G G1 upagraf dari G (a) Graf Petersen, G (b) G1 (c) G2 Graf Petersen, G G1 upagraf dari G G2 homeomorfik dengan G1 G2 isomorfik dengan K3,3 (d) K3,3

Pertemuan ke 23

10. GRAF DUAL (dual graph) Misalkan kita mempunyai sebuah graf planar G yang direpresentasikan sebagai graf bidang. Kita dapat membuat suatu graf bidang G* yang secara geometri merupakan dual dari graf tersebut dengan cara : Pada setiap wilayah atau muka (face) f di G, buatlah sebuah simpul v* yang merupakan simpul untuk G*. 2. Untuk setiap sisi e di G, tariklah sisi e* yang memotong sisi e tersebut. Graf G* yang terbentuk dengan cara penggambaran demikian disebut graf dual (dual geometri) dari graf G.

Sebuah graf mempunyai dual hanya jika graf tersebut planar. V1* e* V2* Gambar 8.53 Pembentukan graf dual G* dari graf G

V1* e* V2*

c 7 4 e5 e6 1 e7 e7 d 5 e5 e6 e1 6 e1 b e3 a e4 e3 e4 3 2 ● ● e2 e2 Gambar 8.54 (b) (a) Graf isomorfik

d c b a 2 4 7 1 a b c d e*7 e*6 e*5 e*4 e*3 e*2 e*1 e6 e5 e3 e4 e2 e1 Dual dari gambar 8.54 (a) e6 e5 e3 e4 e2 e1 e7 ● 5 6 3 (a)

d e*6 e*5 e*6 e*7 e*7 b e*5 e*3 e*4 e*3 e*4 e*2 e*2 c a Gambar 8.55 Dual dari gambar 8.54 (a) Dual dari gambar 8.54 (b) d e*6 e*5 e*6 e*7 e*7 b e*5 e*3 e*4 e*3 e*4 e*2 e*2 c a Gambar 8.55 e*1 e*1 tidak isomorfik

11.Lintasan dan Sirkuit Euler Definisi : Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan tersebut kembali ke simpul asal, membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup ini dinamakan sirkuit Euler. Jadi, sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.

Graf yang mempunyai sirkuit Euler dinamakan graf Euler. Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi Euler.

Contoh 8.40 : Lintasan Euler gbr (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1 1 3 4 2 (a) 1 2 3 4 7 6 5 (b) Sirkuit Euler gbr (b) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1

Lintasan Euler gbr (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1

Sirkuit Euler gbr (b) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1 1 2 3 4 7 6 1 2 3 4 7 6 5 (b)

Teorema 8.3 Euler Graf terhubung tak berarah G adalah: Graf Euler jika dan hanya jika setiap simpul di dalam graf tersebut berderajat genap. Graf semi Euler jika dan hanya jika di dalam graf tersebut terdapat tepat dua simpul berderajat ganjil. Graf terhubung berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama.

Graf terhubung berarah G : memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat keluar satu lebih besar dari derajat masuk, dan yang kedua memiliki derajat masuk satu lebih besar dari derajat keluar. 1 2 4 3 (a)

Dengan menggunakan teorema Euler jelaslah masalah Jembatan Konigsberg tidak memiliki sirkuit Euler karena semua simpul berderajat ganjil. A B C D (3) (5) C A D B

Graf yang mempunyai sirkuit Euler harus memenuhi : Graf tersebut harus terhubung. Semua simpul pada graf berderajat genap. f e d c b g a b a c d Graf yang mempunyai lintasan Euler harus memenuhi : Graf tersebut harus terhubung. Graf memiliki tepat 2 buah simpul berderajat ganjil.

Graf berarah yang mempunyai sirkuit Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a) (b) Graf berarah yang mempunyai lintasan Euler (d, a, b, d, c, b) (c) Graf berarah yang tidak memiliki lintasan dan sirkuit Euler (a) f e d c b g a b a c d (b) b a c d (c)

Graf bulan sabit (Mohammed’s scimitars) ● ● ● ● ● ● ●

Graf bulan sabit (Mohammed’s scimitars) 8 1 9 3 6 11 5 4 7 2 10 ● ● ● ● ● ● ● Graf berarah yang mempunyai sirkuit Euler (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 3, 7, 11, 6, 4, 10, 8, 1)

Contoh 8.41 : Gambar dibawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana saja?

Contoh 8.41 : 1 5 2 6 3 4 Graf tersebut terdapat lintasan Euler karena memiliki 2 buah simpul (1 dan 6) berderajat ganjil.

Pertemuan ke 24

12. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan kembali ke simpul asal membentuk sirkuit maka dinamakan sirkuit Hamilton, atau Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui 2 kali.

Graf Hamilton dan Graf semi Hamilton Graf yang memiliki sirkuit Hamilton. Graf semi Hamilton : Graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton.

Graf yang memiliki lintasan Hamilton (3,2,1,4) Graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1,2,3,4,1) Graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton 1 2 1 2 3 4 1 2 4 3 4 3 (b) (c) (a)

dodecahedron

dodecahedron Yaitu benda yang disusun oleh 12 buah pentagonal dan disini ada 20 buah titik sudut. 5 4 3 2 1 6 7 9 8 10 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Dan tiap titik sudut diberi nama ibukota negara. Permainan yang dapat dilakukan adalah membentuk perjalanan keliling dunia, yang mengunjungi setiap ibukota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal.

5 4 3 2 1 6 7 9 8 10 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Gambar 8.61

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Teorema-teorema Hamilton Teorema 8.6 (teorema Dirac): Syarat cukup supaya graf sederhana G dengan n  3 buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 untuk setiap simpul di G. Teorema 8.8 : Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

Teorema 8.9 : Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul n  3, terdapat (n-1)!/2 buah sirkuit Hamilton. Teorema 8.10 : Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul n 3,terdapat (n-1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang bersisian). Jika n genap n 4,maka di dalam G terdapat (n-2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

13. Aplikasi Graf Di bawah ini diberikan beberapa aplikasi yang berkaitan dengan lintasan / sirkuit di dalam graf. Lintasan Terpendek (Shortest Path) Persoalan Pedagang Keliling. Persoalan Tukang Pos China. Pewarnaan Graf.

Lintasan Terpendek (Shortest Path) Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot Contoh terapan pencarian lintasan terpendek : Menentukan jarak terpendek atau waktu tersingkat dari kota A ke kota B. Menentukan jalur komunikasi terpendek antara 2 buah terminal komputer. Lintasan terpendek akan menghemat waktu pengiriman pesan dan biaya komunikasi

Sebagai ilustrasi, tinjau graf berarah pada gambar 8.64. Lintasan terpendek dari simpul 1 ke semua simpul lain diberikan pada tabel (diurut dari lintasan terpendek pertama, kedua, ketiga dst) Simpul asal Simpul tujuan Lintasan terpendek jarak 1 2 3 4 5 6

Simpul asal Simpul tujuan Lintasan terpendek jarak 1 3 1,3 10 4 1,3,4 25 2 1,3,4,2 45 5 1,5 6 tidak ada - 3 1 4 2 5 6 20 10 45 50 40 15 30 35

Simpul asal Simpul tujuan Lintasan terpendek jarak 1 3 1,3 10 4 1,3,4 25 2 1,3,4,2 45 5 1,5 6 tidak ada - 3 1 4 2 5 6 20 10 45 50 40 15 30 35 45 3 20 50 10 40 15 30 35 1 4 2 5 6 3 20 10 15

Penerapan Algoritma Dijkstra pada Jaringan Komputer Jaringan komputer terdiri dari sejumlah komputer yang terhubung satu sama lain melalui saluran komunikasi (misalnya kabel, serat optik, gelombang mikro, gelombang radio). kbps: kilobit per second Yang dimaksud dengan perutean (routing) adalah menentukan lintasan yang dilalui oleh paket dari komputer pengirim (asal) ke komputer penerima (tujuan)

Gambar 8.66 Yang dilihat kbps yang terbesar Router 2 Router 4 (560 km, 56 kbps) (450 km, 30 kbps) (1040 km, 10 kbps) (1225 km, 35 kbps) Router 1 Router 6 (890 km, 10 kbps) (340 km, 20 kbps) (2275 km, 25 kbps) (1210 km, 11 kbps) Router 3 Router 5 (350 km, 5 kbps) Yang dilihat kbps yang terbesar

Gambar 8.68 Router 2 Router 4 Router 1 Router 6 Router 3 Router 5 asal tujuan via 2 1 4 - 3 5 6 Gambar 8.68 asal tujuan via 4 1 2 3 6 - 5 Router 2 Router 4 Router 1 Router 6 asal tujuan via 1 - 2 4 3 5 6 asal tujuan via 6 1 4 2 3 5 - Router 3 Router 5 asal tujuan via 3 1 6 2 - 4 5 asal tujuan via 5 1 2 3 4 - 6

Persoalan Pedagang Keliling (Travelling Salesperson Problem – TSP) Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali ke kota asal keberangkatan. 9 a b c d 5 10 8 15 12

S1 = (a, b, c, d, a) = 12+8+15+10 = 45 S2 = (a, b, d, c, a) = 12+9+15+5 = 41 S3 = (a, c, b, d, a) = 5+8+9+10 = 32 a b c d 10 8 15 12 9 a b c d 5 15 12 9 a b c d 5 10 8 Gambar 8.70

Persoalan tukang pos Cina Mei Gan berasal dari China 1962 mengemukakan persoalan tukang pos Cina Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan 1 2 3 4 7 6 Persoalan tukang pos cina tidak lain menentukan sirkuit Euler

Pewarnaan Graf Definisi 8.20 : Pewarnaan adalah memberi warna pada simpul-simpul di dalam graf sedemikian sehingga setiap dua simpul bertetanggaan mempunyai warna yang berbeda. Gambar 8.73

Contoh 8.44 Mahasiswa Mata Kuliah A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8

Gambar 8.74 D C E B A D C E B A

Algoritma Pewarnaan Graf Algoritma Welch-Powell Urutkan simpul-simpul dari G dalam derajat yang menurun. Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama yang mempunyai derajat tertinggi) dan simpul-simpul lain yang tidak bertetangga dengan simpul pertama. Mulai lagi dengan simpul derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut yang belum diwarna dan ulangi proses pewarnaan simpul dengan menggunakan warna kedua. Ulangi penambahan warna-warna sampai semua telah diwarna.

Algoritma Pewarnaan Graf Contoh 8.45 : 6 5 4 3 2 1 Simpul 1 3 6 4 2 5 Derajat Warna a b c

Cobalah buat pewarnaan graf dibawah ini! 6 5 4 3 2 1

●