3.2.4 Fungsi komposisi Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai, (f o g)(x) = f(g(x)) (3.25)

Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai, (g o f)(x) = g(f(x)) (3.26) Contoh 3.27 Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) Penyelesaian : (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 = x2 + 8x + 16 b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4

3.2.5 Fungsi satu ke satu Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh lebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua), sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu.

Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan 2.2.6 Fungsi invers Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga, i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku : f(x) = y  g(y) = x 2.27 Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis, g = f -1 atau x = f -1 (x) 2.28

Contoh 2.27 Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2 Penyelesaian y = x3 + 2  x3 = y – 2  x = ( y–2 )1/3 f -1(y) = (y – 2)1/3 f -1(x) = (x – 2)1/3 2.2.7 Fungsi transenden 2.2.7.1 Fungsi eksponen Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x) = ax disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat ax dapat dijelaskan sebagai berikut :

i) ax > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari ax adalah semua bilangan positif. ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1 iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari ax v) Jik aterdapat x < z, maka (3.29) ax < az untuk a > 1 ax > az untuk 0 < a <1 Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik ax akan menanjak pada arah kanan (Gambar 3.15a). Sedangkan bila a < 1, grafiknya akan menurun kearah sebelah kanan (Gambar 3.15b).

 1 O x y (a) (b) Gambar 3.15 Fungsi eksponen ex Fungsi yang mempunyai bentuk ex disebut fungsi eksponen natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional yang besarnya adalah 2,7182818…

Persamaan eksponensial Misal a > 0 dan a  1 Jika (3.30) ax = az untuk x = z ax  az untuk x  z Contoh 3.28 Jika 27 = 3 , tentukan nilai x x x2 – 4 27 = 3  (33) = 3  3 = 3 x x2 – 4 3x 3x = x2 – 4  x2 – 3x – 4 = 0  (x – 4)(x +1) Didapat x1 = 4 , x2 = –1

Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9) Contoh 3.29 Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9) Penyelesaian : f(x) = ax  9 = a2  32 = a2 Jadi a = 3 3.2.7.2 Fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a1. Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a ditulis, loga y adalah bilangan unik x sedemikian, sehingga ax = y Jadi loga y = x  y = ax 3.31

dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y sama dengan a pangkat x”. Jika harga y pada pers. 3.31 sama dengan satu, maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi, loga 1 = 0 (3.32) loga a = 1 (3.33) Contoh 3.30 Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi bentuk logaritma ! 103 b) 6251/4 Penyelesaian a) y = 103  log10 y = 3 b) y = 6251/4  log625 y = 1/4

Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a  1 fungsi Contoh 3.31 Hitung a) log2 32 b) log16 1/4 Penyelesaan a) y = log2 32  2y = 32 = 25 . Jadi y = 5 b) y = log16 ¼  16y =1/4 = 4–1  24y = 2– 2 Jadi 4y = –2  y = –1/2 Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a  1 fungsi logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, f(x) = loga x untuk x > 0 Jika kita tulis logx a = loga x , maka dari persamaan 3.31 didapat, a = x , untuk x > 0 (3.34) loga x

Jika kita tulis persamaan ax = ax, maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis menjadi, loga ax = x , untuk setiap bilangan x (3.35) Hukum-hukum logaritma a) logb PQ = logb P + logb Q b) logb = logb P – logb Q P Q c) logb Pn = n logb P d) logb = logb P

Logaritma natural Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma natural ditulis sebagai, loge x = ln x (3.36)