Variabel Acak Diskrit dan Distribusinya

Tujuan Menentukan probabilitas dari fungsi-fungsi probabilitas massa dan kebalikannya. Menentukan probabilitas dari fungsi distribusi kumulatif dan fungsi distribusi kumulatif dari fungsi probabilitas massa, dan kebalikannya. Menghitung rat-rata dan varians dari variable-variable acak diskrit. Mengerti asumsi-asumsi dari masing-masing distribusi probabilitas diskrit. Memilih distribusi probabilitas diskrit untuk menghitung probabilitas yang sesuai pada aplikasi khusus. Menghitung probabilitas, menentukan rata-rata dan varians untuk tiap-tiap distribusi probabilitas diskrit.

Contoh Pada proses pembuatan semikonduktor, dua wafer dari satu lot produksi dites. Tiap wafer digolongkan sebagai gagal (fail) atau lulus(pass). Diasumsikan bahwa bahwa probabilitas lulus adalah 0,8 dan wafer-wafer adalah independen. Sebagai contoh, karena independen, probabilitas bahwa wafer pertama lulus dan wafer kedua gagal tes, yang dilambangkan sebagai pf, adalah Variabel acak X didefinisikan sebagai sama dengan jumlah wafer yang lulus. Kolom terakhir menunjukkan nilai X yang merupakan hasil dari eksperimen.

Distribusi Probalitas dan Fungsi Massa Probabilitas Distribusi probabilitas dari sebuah variable acak X adalah sebuah diskripsi dari probabilitas dikaitkan dengan nilai-nilai yang mungkin dari X. Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah bit yang dilewatkan sebuah saluran transmisi digital akan menerima error. Misalkan X adalah sama dengan jumlah bit error dalam empat bit yang dilewatkan. Nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Berdasarkan sebuah model, probabilitas untuk nilai-nilai ini adakan ditentukan. Misalkan bahwa probabilitasnya adalah: Distribusi probabilitas dari X dinyatakan oleh nilai-nilai yang mungkin bersama-sama dengan masing-masing probabilitasnya.

Definisi Untuk sebuah variable acak diskrit X dengan nilai-nilai yang mungkin x1, x2, … , xn, sebuah fungsi probabilitas massa adalah sebuah fungsi sehingga Dari contoh sebelumnya: Dimana jumlah keseluruhannya adalah 1.

Fungsi distribusi kumulatif Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variable acak diskrit X adalah: Fungsi tersebut mempunyai sifat-sifat: Pada contoh sebelumnya, kemungkinan bahwa tiga atau kurang bit akan mengalami error dapat dinyatakan sbb:

Contoh Tentukan fungsi probabilitas massa dari fungsi distribusi kumulatif berikut ini Dari gambar, titik-titik yang mempunyai probabilitas tidak nol adalah -2, 0, and 2. Fungsi probabilitas massa pada tiap titik adalah perubahan dari fungsi distribusi kumulatif pada titik tersebut. Sehingga

Rata-rata dan varians dari sebuah variabel acak diskrit Standar deviasi:

Contoh Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah bit yang dilewatkan sebuah saluran transmisi digital akan menerima error. Misalkan X adalah sama dengan jumlah bit error dalam empat bit yang dilewatkan. Nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Berdasarkan sebuah model, probabilitas untuk nilai-nilai ini adalah: (rata-rata) (varians)

Distribusi binomial Sebuah experimen acak terdiri dari n buah percobaan bernoulli sehingga (1) Percobaan adalah independen (2) Setiap percobaan mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu “sukses” dan “gagal” (3) Probabilitas sebuah sukses dalam setiap percobaan, dilambangkan p, adalah tetap konstan. Variable acak X yg merupakan jumlah percobaan yang sukses, mempunyai variable acak binomial dengan fungsi distribusi massa adalah jumlah total percobaan dengan x buah sukses dan n-x gagal

Contoh distribusi binomial

Contoh Setiap contoh/sampel air mempunyai kemungkinan 10% mengandung pollutant organic. Asumsikan sample air adalah independent terhadap hadirnya polutant. Berapakah probabilitas bahwa 18 buah sampel berikutnya akan terdapat tepat 2 sampel yang mengandung polutant. Misalkan X adalah jumlah sampel yang mengandung polutant pada 18 buah sampel berikutnya yang dianalisa. Sehingga X adalah sebuah variabel binomial dengan p=0,1 dan n= 18. Sehingga Probabilitas bahwa paling tidak 4 sampel mengandung polutant.