Aplikasi Optimisasi Fungsi Pertemuan 19 Matakuliah : J0174/Matematika I Tahun : 2008 Aplikasi Optimisasi Fungsi Pertemuan 19

Biaya Minimum, Penerimaan Maksimum, dan Laba Maksimum Biaya minimum, Penerimaan Maksimum dan Keuntungan maksimum sebuah perusahaan dapat dihitung dengan pendekatan matematik melalui hitung kalkulus. Biaya minimum, Penerimaan maksimum dan Keuntungan maksimum merupakan sebuah keadaan stasioner atau titik kritis. Nilai kritis didapat apabila persamaan turunan pertama dari fungsi biaya, fungsi penerimaan dan fungsi keuntungan sama dengan nol. Bina Nusantara

Biaya Minimum Fungsi Biaya yang sering dicari titik minimumnya adalah fungsi Biaya total, fungsi Biaya marginal dan fungsi Biaya rata-rata marginal Bina Nusantara

Biaya Total d TC / d Q = 0 Fungsi Biaya Total : TC = f(Q) Maka TC minimum bila d TC / d Q = 0 Bina Nusantara

MC minimum bila dMC/dQ = 0 Marginal cost MC = dTC/dQ MC minimum bila dMC/dQ = 0 Bina Nusantara

Biaya Rata-rata Minimum Biaya Rata-rata AC AC = TC/Q AC minimum bila dAC/dQ = 0 Bina Nusantara

Optimisasi (1) dp /dQ = dR/dQ - dC/dQ = MR - MC Maksimisasi Keuntungan Dalam masalah optimisasi ada fungsi obyektif yang harus dibuat. Misal perusahaan ingin mendapat keuntungan maksimum yaitu maksimalisasi perbedaan antara penerimaan dengan biaya. R dan C masing-masing merupakan fungsi dari variabel yang sama yaitu Q. Laba (p) = R - C , karena R = f(Q) dan C = f(Q) maka p = f (Q). Optimum dicapai apabila turunan pertama sama dengan nol. p = R - C maka dp /dQ = dR/dQ - dC/dQ = MR - MC Optimum dp /dQ = 0 maka MR - MC = 0 jadi MR = MC Bina Nusantara

Optimisasi (2) Dari suatu perusahaan diketahui bahwa fungsi permintaan P = 1000 - 2Q dan fungsi biaya C = Q3 - 59 Q2 + 1315 Q +2000 Hitung kuantitas yang memberikan keuntungan maksimum. ( P dan C dalam Rupiah dan Q dalam Unit) Jawab R = P . Q = (1000 - 2Q)Q = 1000Q - 2 Q2 dari R diturunkan fungsi MR = R’ = 1000 - 4Q. Sedangkan fungsi biaya C = Q3 - 59 Q2 + 1315 Q +2000 dari fungsi biaya diturunkan fungsi biaya marjinal. MC = C’ = 3 Q2 + 118Q + 1315 Laba p optimum apabila MR = MC 1000 - 4Q = 3 Q2 + 118Q + 1315 - 3 Q2 + 114Q - 315 = 0 Q2 - 38Q + 105 = 0 Bina Nusantara

Optimisasi (3) (Q - 35) (Q - 3) = 0 Q1 = 35 Q2 = 3 Untuk Q = 35 jika disubstitusikan pada fungsi laba p = 1000Q - 2 Q2 - (Q3 - 59 Q2 + 1315 Q +2000 ) maka p = - Q3 +57 Q2 - 315 Q -2000 =- (35)3 +57 (35)2 - 315 (35) -2000 =13 925 sedangkan jika Q = 3 maka p = -(3)3 +57 (3)2 - 315 (3) -2000 = -2441 Perusahaan mendapatkan laba maksimum apabila produk diproduksi 35 unit dengan keuntungan sebanyak Rp 13 925 Bina Nusantara