Terapan Limit dan Diferensial dalam Ekonomi Dosen: Lies Rosaria, ST, MSi

ELASTISITAS Elastisitas suatu fungsi : y = f(x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan: 𝜂= 𝐸𝑦 𝐸𝑥 = lim ∆𝑥→0 ( ∆𝑦 𝑦 ) ( ∆𝑥 𝑥 ) = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . 𝑥 𝑦 Ini berarti bahwa elastisitas y = f(x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif terhadap x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan kata lain, perubahan elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

a. Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya : 𝜂𝑑= %∆ 𝑄 𝑑 %∆𝑃 = 𝐸 𝑄 𝑑 𝐸𝑃 = lim ∆𝑃→0 ∆ 𝑄 𝑑 𝑄 𝑑 ∆𝑃 𝑃 = 𝑑 𝑄 𝑑 𝑑𝑃 . 𝑃 𝑄 𝑑 Dimana 𝑑 𝑄 𝑑 𝑑𝑃 tak lain adalah Q'd atau f'(P)

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat : elastis apabila 𝜂𝑑 >1, elastis–uniter jika 𝜂𝑑 =1, inelastis bila 𝜂𝑑 <1. Barang yang permintaanya elastis mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.

d = d Q d dP . P Q d = –6P . P 25−3 P 2 = -6 (5) 5 25−3 (5) 2 Contoh 1: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 25 – 3 P2 . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5. Jawab: Qd = 25 – 3 P2 Q’d = d Q d dP = –6P d = d Q d dP . P Q d = –6P . P 25−3 P 2 = -6 (5) 5 25−3 (5) 2 = 3 (elastis) d = 3 berarti bahwa apabila: dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen.

b. Elastisitas Penawaran Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya : 𝜂𝑠= %∆ 𝑄 𝑠 %∆𝑃 = 𝐸 𝑄 𝑠 𝐸𝑃 = lim ∆𝑃→0 ∆ 𝑄 𝑠 𝑄 𝑠 ∆𝑃 𝑃 = 𝑑 𝑄 𝑠 𝑑𝑃 . 𝑃 𝑄 𝑠 Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastis apabila 𝜂 𝑠 > 1, elastis – uniter jika 𝜂 𝑠 =1 dan inelastis bila 𝜂 𝑠 <1. Barang yang penawarannya inelastis mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.

Contoh 2: Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = -200 + 7 P2. Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ? Jawab: Qs = -200 + 7P2 Q’s = d Q s dP =14P 𝜂𝑠 = d Q s dP . P Q s = 14P . P −200+7P2 Untuk P = 10  𝜂𝑠 = 14(10) . 10 −200+7 10 2 = 2,8 Untuk P = 15  𝜂𝑠 = 14(15) . 15 −200+7 15 2 = 2,3 𝜂 𝑠 =2,8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8% Dan 𝜂 𝑠 =2,3 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 15, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%

c. Elastisitas Produksi Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan x melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x), maka efisiensi produksinya: 𝜂p= %∆𝑃 %∆𝑥 = 𝐸𝑃 𝐸𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑃 𝑃 ∆𝑥 𝑥 = 𝑑𝑃 𝑑𝑥 . 𝑥 𝑃 Dimana dP dx adalah produk marjinal dari x [P' atau f' (x)].

Contoh 3 : Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 x2 – x3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit. Jawab: P = 6 x2 – x3 P’ = dP dx = 12x – 3x2 𝜂p= dP dx . x P = (12x – 3x2) . x 6x2−x3 untuk x = 3  𝜂p = (12(3) – 3(3)2) . 3 6(3)2−33 = 1 untuk x = 7  𝜂p = (12(7) – 3(7)2) . 7 6(7)2−73 = 9 𝜂 𝑝 =1 berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 % Dan 𝜂 𝑝 =9 berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %

BIAYA MARJINAL (MARGINAL COST) Dalam suatu fungsi biaya C = f(Q) dimana C merupakan biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, biaya marjinal (MC) yang merupakan biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk didapatkan dari: MC = C’ = dC dQ Contoh 4: Diketahui biaya total : C = f(Q) = Q3 – 3Q2 + 4 Q +4 Berapa biaya marjinalnya apabila ketika Q = 10 unit barang. Jawab: MC = C’ = 𝑑𝐶 𝑑𝑄 = 3Q2 -6Q + 4 Q = 10  MC = 3(10)2 -6(10) + 4 = 244

PENERIMAAN MARJINAL (MARGINAL REVENUE) Dalam suatu fungsi penerimaan R = f(Q) dimana R merupakan penerimaan total dan Q melambangkan jumlah produk, biaya marjinal (MR) yang merupakan penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan dengan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi/dijual, didapatkan dari: MR = R’ = dR dQ Karena fungsi penerimaan total yang non-linear pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat (parabolik), fungsi marjinalnya akan berbentuk fungsi linear. Kurva penerimaan marjinal (MR) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva penerimaan total (R) berada di posisi puncaknya.

Penerimaan maksimum terjadi ketika MR = 0 MR = 16 – 4Q = 0 4Q = 16 Contoh 5: Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q. Berapa penerimaan maksimum yang dapat dicapai. P = 16 – 2Q Penerimaan Total: R = P.Q = f(Q) = 16Q – 2Q2 Penerimaan marjinal: MR = R’ = 16 – 4Q Penerimaan maksimum terjadi ketika MR = 0 MR = 16 – 4Q = 0 4Q = 16 Q = 4 Maka, P = 16 – 2(4) = 8 Besarnya penerimaan total maks: R = 16(4) – 2(4)2 = 32 16 32 8 4 P = 16 – 2Q MR = 16 – 4Q R = 16Q – 2Q2 P,R,MR Q

UTILITAS MARJINAL (MARGINAL UTILITY) Dalam suatu fungsi utilitas U = f(Q) dimana U merupakan utilitas total dan Q melambangkan jumlah produk, utilitas marjinal (MU) yang merupakan utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan dengan bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsinya, didapatkan dari: MU = U’ = dU dQ Karena fungsi utilitas total yang non-linear pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat (parabolik), fungsi marjinalnya akan berbentuk fungsi linear. Kurva utilitas marjinal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada di posisi puncaknya.

Besarnya utlitas maks pada: MU = 0 90 – 10Q = 0 Contoh 6: Andaikan fungsi utilitas ditunjukkan dengan U = 90Q – 5Q2 Berapa utilitas maksimum yang dapat dicapai. 405 90 9 18 MR = 90 – 10Q U = 90Q - 5Q2 U,MU Q U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q Besarnya utlitas maks pada: MU = 0 90 – 10Q = 0 Q = 90/10 = 9 unit barang. Umaks = 90(9) – 5(9)2 = 810 – 405 = 405

PRODUK MARJINAL (MARGINAL PRODUCT) Dalam suatu fungsi produksi P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x melambangkan jumlah faktor produksi (input), produk marjinal (MP) yang merupakan produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan, didapatkan dari: MP = P’ = dP dx Karena fungsi utilitas total yang non-linear pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat. Kurva produksi marjinal (MP) selalu mencapai nilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat saat kurva produk taptal (P) berada pada posisi titik beloknya; kedudukan ini mencerminkan hukum law of diminishing return atau berkurangnya tambahan hasil (keluaran). Produk total mencapai nilai maksimum, ketika Marjinal produk sama dengan nol.

Besarnya produksi maks pada: MP = 0 18x – 3x2 = 0 x(18 – 3x) = 0 Contoh 7: Andaikan fungsi produksi ditunjukkan dengan P = 9x2 – x3 Berapa produksi maksimum yang dapat dicapai. P = f(x) = 9x2 – x3 MP = P’ = 18x – 3x2 Besarnya produksi maks pada: MP = 0 18x – 3x2 = 0 x(18 – 3x) = 0 X1 = 0 atau 18 – 3x = 0 3x = 18 x2 = 18/3 = 6 Maka, produksi maksimum terjadi pada saat x = 6 Pmaks = 9(6)2 – (6)3 = 324 – 216 = 108 MP maksimum di P’’ = 0 P’’ = 18 – 6x = 0  x = 3 P,MP P = f(x) 108 54 27 MP = g(x) Q 3 6

ANALISIS KEUNTUNGAN MAKSIMUM Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum, atau menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan diferensial. Karena baik peneriman total (R) maupun biaya total (C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan/terjual (Q). Maka fungsi keuntungan didapat:  = R – C atau  = r(Q) – c(Q) = f(Q) Maka  akan mencapai nilai maksimum jika: ’ = f’(Q) =0. ’ = r’(Q) – c’(Q) = 0 MR – MC =0 atau MR = MC Secara grafik, kesamaan MR = MC atau kedudukan ’=0 ditunjukkan dengan kurva perpotongan penerimaan marjinal (MR) dengan kurva biaya marjinal (MC).

 Optimum apabila ’=0 atau MR = MC Hal ini sekaligus mencerminkan jarak terlebar antara kurva penerimaan total (R) dengan kurva biaya total (C). Akan tetapi syarat MR = MC atau ’=0 belum cukup untuk mengisyaratkan keuntungan maksimum, sebab jarak terlebar yang dicerminkannya mungkin merupakan selisih positif (R – C) yang berarti keuntungan atau (C – R) yang berarti kerugian. Untuk itu, perlu dilakukan uji derivatif dari kedua fungsi .  = R – C = f(Q)  Optimum apabila ’=0 atau MR = MC Jika ’’ < 0  keuntungan maksimum Jika ’’ > 0  kerugian maksimum

Contoh 8: Diketahui R = r(Q) = -2Q2 + 1000Q C = c(Q) = Q3 – 59Q2 +1315Q +2000. Hitung besarnya keuntungan maksimum. Jawab:  Optimum ketika ’=0 maka :  = -2Q2 + 1000Q - (Q3 - 59Q2 +1315Q +2000)  = - Q3 + 57Q2 - 315Q – 2000 ’ = f’(Q) = -3Q2 + 114Q - 315 = 0 -Q2 + 38Q - 105 = 0  (-Q + 3)(Q – 35) = 0 diperoleh Q1 = 3 atau Q2 = 35 Untuk Q = 3  ’’ = -6Q – 114 = 6(3) – 114 = 96 > 0 Untuk Q = 35  ’’ = 6Q – 114 = 6(35) – 114 = -96 < 0 Karena ’’ < 0 ketika Q = 35, maka keuntungan maksimum:  = - (35)3 + 57(35)2 – 315(35) – 2000 = 13,925

Hubungan biaya marjinal dengan biaya rata-rata Dalam ekonomi mikro, terdapat hubungan teoritis antara biaya marjinal (MC) dan biaya rata-rata (AC), yakni : AC minimum ketika MC = AC atau C’ = C/Q Contoh 9: Andaikan C = Q3 -6Q2 +15 Q. Buktikan bahwa AC minumum sama dengan MC. Jawab: MC = 3Q2 -12Q + 15 AC = Q3 −6Q2 +15 Q Q = Q2 -6Q +15 Syarat AC minimum, (AC)’ = 0 atau 2Q -6 = 0  Q = 3 Pada saat Q = 3: MC = 3(3)2 -12(3) + 15 = 6 AC = (3)2 -6(3) +15 = 6 MC = AC min .... Terbukti!!!

3 6 15 C Q MC AC

Hubungan produk marjinal dengan produk rata-rata Hubungan produk marjinal (MP) dengan produk rata-rata (AP) adalah: AP maksimum ketika MP = AP atau P’ = P/x Contoh 9: Andaikan P = 9x2 – X3 Buktikan bahwa AP maksimum sama dengan MP. Jawab: MP = 18x – 3x2 AP = 9x2 – x3 x = 9x – x2 Syarat AP maksimum, (AP)’ = 0 atau 9 – 2x = 0  x = 4,5 Pada saat x = 4,5: MP = 18(4,5) – 3(4,5)2= 20,25 AP = 9(4,5) – (4,5)2= 20,25 MP = AP maks .... Terbukti!!!

20,25 4,5 P x MP AP 6 9 27 3