RUANG PERKALIAN DALAM

DEFINISI Sebuah perkalian dalam (inner product) pada sebuah ruang vektor V adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real <u,v> dengan setiap pasang vektor u dan v di dalam V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v, dan w di dalam V dan untuk semua skalar k. <u,v> = <v,u> (aksioma simetri) <u + v, w> = <u,w> + <v,w> (aksioma aditivitas) <ku,v> = k <u,v> (aksioma homogenitas) <v,v> ≥ 0 dan <v,v> = 0 jika dan hanya jika v = 0 (aksioma positivitas) Sebuah ruang vektor dengan sebuah perkalian dalam dinamakan sebuah ruang perkalian dalam (inner product space).

PANJANG DAN SUDUT DI DALAM RUANG PERKALIAN DALAM

DEFINISI ORTOGONAL Di dalam sebuah ruang perkalian dalam, dua vektor u dan v dinamakan ortogonal jika <u,v> = 0. Selanjutnya, jika u ortogonal kepada setiap vektor di dalam sebuah himpunan W, maka kita mengatakan bahwa u ortogonal kepada W.

BASIS ORTONORMAL Definisi : Sebuah himpunan dari vektor-vektor di dalam sebuah ruang perkalian dalam dinamakan sebuah himpunan ortogonal (orthogonal set) jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda di dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal di dalam mana setiap vektor mempunyai norm 1 dinamakan ortonormal (orthonormal).

TEOREMA Jika S = {v1, v2,…,vn} adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang perkalian dalam V dan u adalah sebarang vektor di dalam V, maka u = <u,v1>v1 + <u,v2>v2 + … + <u,vn>vn

TEOREMA Misalkan V adalah sebuah perkalian dalam dan {v1, v2, …,vr} adalah sebuah himpunan ortonormal dari vektor-vektor di dalam V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh v1, v2, …, vr, maka tiap- tiap vektor u di dalam V dapat dinyatakan di dalam bentuk u = w1 + w2 dimana w1 berada di dalam W dan w2 ortogonal kepada W dengan memisalkan w1 = <u,v1>v1 + <u,v2>v2 +…+ <u,vr>vr dan w2 =u - <u,v1>v1 - <u,v2>v2 - … - <u,vr>vr

PROSES GRAM-SCHMIDT Teorema. Tiap-tiap ruang perkalian dalam berdimensi berhingga yang tak nol mempunyai sebuah basis ortonormal. Berdasarkan teorema 21, maka dapat dibuat pembentukan langkah demi langkah untuk mengubah sebuah basis sebarang ke dalam sebuah basis ortonormal dinamakan proses Gram-Schmidt.

Langkah 2. Untuk membangun sebuah vektor v2 yang normnya 1 yang ortogonal kepada v1, kita menghitung komponen dari u2 yang ortogonal kepada ruang W1 yang direntang oleh v1 dan kemudian normalisasikanlah komponen u2 tersebut; yakni,

Langkah 3. Untuk membangun sebuah vektor v3 yang normanya 1 yang ortogonal kepada kedua-dua v1 dan v2, maka kita menghitung komponen dari u3 yang ortogonal kepada ruang W2 yang direntang oleh v1 dan v2 dan menormalisasikannya, yakni :

Dengan meneruskannya dengan cara ini, maka kita akan mendapatkan sebuah himpunan ortonormal dari vektor-vektor, {v1, v2,…,vn}. Karena V berdimensi n dan karena tiap-tiap himpunan ortonormal bebas linier, maka himpunan {v1, v2,…,vn} akan merupakan sebuah basis ortonormal untuk V.

KOORDINAT Jika S = {v1, v2,…,vn} adalah sebuah basis untuk sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga, dan v = c1 v1 + c2v2 +…+ cnvn adalah pernyataan untuk v dalam basis S, maka skalar c1, c2,…,cn dinamakan koordinat v relatif kepada basis S. Vektor koordinat dari v relatif kepada S dinyatakan oleh (v)s dan merupakan vektor di dalam Rn yang didefinisikan oleh (v)s = (c1, c2,..,cn)

PEMECAHAN SOAL PERUBAHAN BASIS Jika kita mengubah basis untuk sebuah ruang vektor V dari suatu basis B = {u1, u2,..,un} yang lama kepada suatu basis B’ = {u1’, u2’,…,un’} yang baru maka matriks koordinat [v]B yang lama dari sebuah vektor v dihubungkan kepada matriks koordinat [v]B’ yang baru oleh persamaan [v]B = P[v]B’ dimana kolom-kolom dari P adalah matriks- matriks koordinat dari vektor basis yang baru relatif kepada basis yang lama, yakni vektor kolom dari P adalah [u1’]B, [u2’]B,…,[un’]B

Secara simbolik, maka matriks P dapat dituliskan sebagai PB’→B = [[u1’]B | [u2’]B |… |[un’]B ] Matriks tersebut dinamakan matriks transisi dari B’ ke B. Secara sama, dapat diperoleh matriks transisi dari B ke B’, yaitu : PB→B’ = [[u1]B’ | [u2]B’ |… |[un]B’ ]

teorema Jika P adalah matriks transisi dari sebuah basis B’ ke sebuah basis B untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, maka : P dapat dibalik. P-1 adalah matriks transisi dari B ke B’ Jadi, jika P adalah matriks transisi dari sebuah basis B’ ke sebuah basis B, maka untuk setiap vektor v kedua hubungan berikut ini berlaku : [v]B = P[v]B’ [v]B’ = P-1[v]B