KONVOLUSI DAN TRANSFORMASI FOURIER Pertemuan ke-4

Konvolusi Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra: Operasi konvolusi (spatial filter/ discret convolution filter) Transformasi Fourier Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut: Tanda * menyatakan operator konvolusi, dan peubah (variable) a adalah peubah bantu (dummy variable)

Cont. Konvolusi merupakan proses penting pada analisis domain frekwensi karena f(x)*g(x) dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan transformasi Fourier (Fourier transform pair). Teori konvolusi: f(x)*g(x)  F(u)G(u) f(x)g(x)  F(u)*G(u)

Konvolusi pada Domain Diskrit Bila A adalah periode dalam diskritisasi f(x) dan B adalah periode dalam diskritisasi g(x), maka hasil konvolusi akan mempunyai periode M dimana M=A+B Periode f(x) dan g(x) masing-masing dibesarkan menjadi M dengan menyisipkan 0 f(x)=f(x) bila 0 ≤ x ≤ A-1 dan f(x)=0 bila A ≤ x ≤ M-1 g(x)=g(x) bila 0 ≤ x ≤ B-1 dan f(x)=0 bila B ≤ x ≤ M-1 Konvolusi diskrit dilakukan melalui proses flip dan shift terhadap fungsi g(x).

Cont. g(x) disebut kernel konvolusi atau kernel penapis (filter).  Kernel g(x) merupakan suatu jendela yang dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukan f(x), yang dalam hal ini, jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan keluaran h(x).

Pendekatan Shift Kernel Operator Maka f(x)*g(x)= 0x-1 + 0x4 + 1x-1 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -1 0x0 + 0x-1 + 1x4 + 2X-1 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 +0x0 = 2 0x0 + 0x0 + 1x-1 + 2x4 + 3x-1 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x-1 + 3x4 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 6 0x0 +0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x-1 + 4x4 + 0x-1 + 0x0 + 0x0 = 13 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x-1 + 0x4 + 0x-1 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x-1 + 0x4 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x-1 = 0 F(x)*g(x) = [-1 2 4 6 13 -4 0 0 0]

Pendekatan Rumus Konvolusi Kita lihat kembali rumusan konvolusi: f(0)=0; f(1)=0; f(2)=1; f(3)=2; f(4)=3; f(5)=4; f(6)=0; ...; f(8)=0 g(6)=0; ...; g(1)=0; g(0)=-1; g(-1)=4; g(-2)=-1 f(0)*g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(-1) + f(2)g(-2) + dst = -1 f(1)*g(1) = f(0)g(1) + f(1)g(0) + f(2)g(-1) + dst = 2 f(2)*g(2) = f(0)g(2) + f(1)g(1) + f(2)g(0) + dst = 4 Dst Hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya!

Proses Konvolusi pada Citra 2-D • Bentuk Kontinue dan Diskrit: 8

Ilustrasi konvolusi 9

Contoh : citra f(x,y) berukuran 5 X 3 5 dengan kernel atau mask 3 X • f(x,y) * g(x,y) • Operasinya : Tempatkan kernel pada sudut kiri atas kemudian pada posisi (0,0) dari kernel hitung nilai piksel Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai piksel pada posisi (0,0) kernel, begitu seterusnya hingga geser satu piksel ke bawah, lalu mulai lagi melakukan konvolusi dari sisi kiri citra. 10

Dengan cara dikovolusi yang sama, setiap baris piksel • Dengan cara dikovolusi yang sama, setiap baris piksel 11

Hasil konvolusi : • Jika nilai piksel (-), nilai tsb dijadikan level maka dilakukan clipping 0, jika nilai > nilai max gray • Untuk masalah piksel pinggir, solusi untuk masalah ini adalah : – Piksel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusi Duplikasi elemen citra, elemen kolom ke-1 disalin ke kolom M+1, begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan. Elemen yang ditandai dengan (?) diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan. – • Konvolusi piksel pinggir tidak memperlihatkan efek yang kasat mata. 12

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (1) • Blurring merupakan efek pemerataan (integrasi), sedangkan deblurring / sharpening / outlining merupakan efek differensiasi Proses blurring dapat diperoleh dengan mengaplikasikan low pass filter dan sebaliknya, proses sharpening dapat diperoleh dengan mengaplikasikan high pass filter Filtering akan dipelajari pada proses peningkatan mutu citra (image enhancement) • • 13

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2) • Contoh efek blurring (bayangkan piksel citra 2-dimensi) bila terjadi pada point response function ideal response (averaging) deconvolution function (filtering) 14

• Filter/ mask/ kernel gaussian 15

TRANSFORMASI CITRA Mengapa perlu transformasi ? • – Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z • Analisa konvensional : pembagian secara manual • Analisa transformasi : melakukan transformasi – log(y) = log(x) – log(z) – look-up table  pengurangan  look-up table teknik – • Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya 16

Transformasi Citra • Contoh : – jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier – Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet • Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu • Transformasi bisa dibagi menjadi 2 : – Transformasi piksel/transformasi geometris – Transformasi ruang/domain/space 17

Transformasi Piksel dan Ruang • Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll. Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll) Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi Ada beberapa transformasi ruang yaitu : • • • – Transformasi Transformasi ortogonal) Fourier (basis: cos-sin) Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang – DCT (basis: cos) 18

19

Transformasi Fourier (FT) • Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus. • Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan fungsi sinus berikut dari fungsi- f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 … 20

Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi sinus • Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa fungsi berbentuk fungsi kotak. yang dihasilkan sudah – function kotak(n) t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t); for i = 3 : 2: n kot = kot + (sin(i*t))/i; end plot(kot) 21

(a) (b) (c) Gambar (d) a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99 22

FT - Motivasi • Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah: – Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ? Atau dengan kata lain – Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ? Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung • • nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung f(x), menggunakan rumus: 23

∫− ∞ Rumus FT – 1 D f (x) exp[−2 jπux]dx ∑x =0 ∑x =0 F (u) = f (x) = • Rumus FT kontinu 1 dimensi f (x) exp[−2 jπux]dx ∞ F (u) = ∫− ∞ ∞ f (x) = F (u) exp[2 jπux]du Euler's formula: exp[−2 jπux] = cos2πux − j sin 2πux • Rumus FT diskret 1 dimensi f ( x) exp[−2 jπux / N ] 1 N −1 F (u) = ∑x =0 N 1 f ( x) = ∑x =0 N −1 F (u) exp[2 jπux / N ] N 24

Contoh FT 1 D Contoh berikut diambil dari Polikar (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html) Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb: x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) Sinyal ini memiliki empat komponen 5,10,20,50 frekuensi yaitu 25

Contoh sinyal 1 Dimensi x(t) cos(2*pi*5*t) + Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus x(t)= cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) (Sumber: Polikar) 26

FT dari sinyal tersebut frekuensi yang dominan Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi- frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilai pada maksimum F(u) angka 5,10, 20, berada 50) 27

Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92) 1 1 ∑ N −1 N −1 F(u) = f (x) exp[−2 jπux / N] = ∑ f (x)(cos(2πux / N) − j sin(2πux / N))] N x=0 N x=0 contoh: f (0) = 2, f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 4 1 N −1 F(0) = ∑ f (x)(cos(2π 0x / N) − j sin(2π 0x / N))] N x=0 = 1 [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)] = 3.25 4 1 ∑3 F(1) = f (x)(cos(2πx / 4) − j sin(2πx / 4))] 4 x=0 = 1 [2(1− 0) + 3(0 − j) + 4(−1− 0) + 4(0 + j) 4 = 1 (2 − 3 j − 4 + 4 j) = 1 (−2 + j) = −0.5 + 0.25 j 4 F(2) = − 1 [1] = −0.25 4 F(3) = − 1 [2 + j] = −0.5 − 0.25 j 28

Contoh Penghitungan FT • Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajiner Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua • bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2 • Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai berikut: • |F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590 |F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590 29

∑∑ Rumus FT – 2 D InversFT : f ( x, y) = ∑∑ F (u, v) exp[2 jπ (ux / M Rumus FT 2 dimensi FT – 2 D • 1 M −1 N −1 ∑∑ FT : F (u, v) = f ( x, y) exp[−2 jπ (ux / M + vy / N )] MN x =0 y =0 M −1 N −1 InversFT : f ( x, y) = ∑∑ F (u, v) exp[2 jπ (ux / M u =0 v =0 M = tinggi citra (jumlah baris) N = lebar citra (jumlah kolom) + vy / N )] 30

Contoh FT 2 Dimensi digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|] Sumber: http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/LinTransforms.html Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|] 31

f (x, y) exp[−2 jπ(u0 x +v0 y) / N] ⇔ F(u −u0 , v −v0 ) Sifat-sifat Separable : FT 2 dimensi • – Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dengan melakukan FT 1 dimensi kemudian dilanjutkan dengan FT terhadap baris Translasi : dilakukan terhadap kolom, 1 dimensi • f (x, y) exp[−2 jπ(u0 x +v0 y) / N] ⇔ F(u −u0 , v −v0 ) f (x − x, y − y) ⇔ F(u, v) exp[−2 jπ(ux0 +vy0 ) / N] 32

Sifat-sifat FT 2 dimensi Periodik • Rotasi • Distributif • – FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N adalah jumlah titik) Rotasi – Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ0. maka (N • F(u,x) juga akan berotasi sebanyak sebaliknya. Distributif – FT dan IFT bersifat distributif tapi tidak terhadap perkalian θ0, demikian pula • terhadap penjumlahan 33

∑ ∑ Sifat-sifat FT 2 dimensi = Penskalaan • • Nilai rata-rata af (x, y) ⇔ aF(u, v) f (ax,by) ⇔ 1 F(u / a, v / b) ab • Nilai rata-rata 1 N −1 N −1 ∑ ∑ x = 0 y = 0 1 f ( x , y ) = f ( x , y ) = F ( 0,0 ) N 2 N 34

Fast Fourier Transform (FFT) • Merupakan algoritma penghitungan yang mengurangi kompleksitas FT biasa dari menjadi N log2N saja N2 • Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret • InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log2N (IFFT) – Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft2(X) untuk invers FT ifft(x) atau 35