4. RELASI

4.1 Relasi Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa relasi adalah hubungan antar himpunan-himpunan. Relasi yang menghubungan 2 buah himpunan disebut relasi biner. Relasi yang menghubungkan n buah himpunan disebut relasi n-ary Misal mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut adalah relasi biner.

Albert Barry Charles Derry Internet Sist. Operasi Algoritma Gambar 4.1 Relasi antara mahasiswa dan matakuliah yang sedang ditempuh Selain menggunakan gambar 4.1, relasi juga dapat ditunjukkan dengan menggunakan tabel, seperti pada Tabel 1.1 berikut.

Tabel 4.1 Mahasiswa Nama Mahasiswa Mata kuliah Albert Internet Sistem Operasi Barry Algoritma Charles Derry Albert Barry Charles Derry Internet Sist. Oprs. Algoritma

Jika kita perhatikan Gambar 4. 1 maupun Tabel 4 Jika kita perhatikan Gambar 4.1 maupun Tabel 4.1, maka dapat diketahui bahwa mahasiswa yang bernama: Albert sedang menempuh mata kuliah Internet, dan Sistem Operasi; Barry menempuh matakuliah Internet, Sitem Operasi, dan Algoritma; Charles menempuh matakuliah Internet, Sistem Operasi, dan Algoritma. Sedangkan Derry menempuh matakuliah Algoritma.

Selain dari Gambar 4.1 dan Tabel 4.1, relasi dapat juga ditunjukkan dalam bentuk matriks berikut. Internet Sistem Operasi Algoritma Gambar 4.2 Matriks relasi antara mahasiswa dan mata kuliah yang sedang ditempuh

Pada matriks diatas, kolom menunjukkan mata kuliah yang tersedia, yaitu Internet, Sistem Operasi, dan Algoritma. Baris pada matriks menunjukkan mahasiswa mulai dari Albert sampai dengan Derry. Kolom menunjukkan matakuliah yang tersedia. Nilai 1 menunjukkan bahwa mata kuliah tersebut sedang ditempuh oleh mahasiswa tertentu. Sebaliknya nilai 0 berarti tidak sedang ditempuh.

Gambar 4.1 dan 4.2 juga dapat disajikan dalam bentuk himpunan, seperti yang ditunjukkan berikut ini. Jika A adalah himpunan mahasiswa pada Gambar 4.1, maka A = {Albert, Barry, Charles, Derry} Jika B adalah himpunan mata kuliah pada Gambar 4.1, maka B = {Internet, Sistem Operasi, Algoritma} Jika R adalah relasi yang menyatakan mahasiswa yang menempuh matakuliah, seperti pada Gambar 4.1, maka: R = {(Albert, Internet), (Albert, Sistem Operasi), (Barry,Internet), (Barry,Sistem Operasi), (Barry, Algoritma), (Charles, Internet), (Charles, Sistem Operasi), (Charles, Algoritma), (Derry, Algoritma)}

Berdasarkan contoh diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa relasi adalah himpunan pasangan terurut (ordered pairs). Elemen pertama pada pasangan terurut, dalam hal ini nama-nama mahasiswa, disebut daerah asal (domain), sedangkan elemen kedua, nama-nama mata kuliah, disebut daerah hasil (range). Relasi antara dua buah himpunan disebut relasi biner. Untuk penyederhanaan, selanjutnya relasi biner disebut relasi saja.

Dalam bentuk notasi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari perkalian kartesian A dan B, ditulis sebagai R  A x B. Hasil dari A x B menghasilkan himpunan pasangan terurut dengan jumlah anggota adalah atau dapat ditulis sebagai A x B = Jika suatu relasi R didefinisikan pada himpunan yang sama, misal A, maka R  A x A

Jika anggota relasi R adalah (a, b), maka kita menuliskan “a R b” yang artinya “a” dihubungkan dengan “b” oleh relasi R. Contoh 4.1 Diketahui A = { 1, 4, 6, 8} dan B = {2, 5, 6, 9} Tulis pasangan terurut (a,b)  R sedemikian, sehingga a < b. Penyelesaian R = {(1,2), (1,5), (1,6), (1,9), (4,5), (4,6), (4,9), (6,9), (8,9)}

4.2 Penyajian Relasi Selain menggunakan cara pemetaan (Gambar 4.1) dan matriks (Gambar 4.2), relasi dapat juga disajikan dengan graf seperti contoh berikut. Misal A = {2, 3, 4, 6, 8, 9}. Gambarkan grafik dari pasangan terurut (a, b) dari relasi R pada A jika dan hanya jika a habis membagi b. Penyelesaian: R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)} Untuk menunjukkan pasangan terurut (a,b), maka dibuat sebuah busur dari a ke b dan dikatakan a adalah simpul asal (initial vertex). Sedangkan b adalah simpul tujuan (terminal vertex)

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)}  9  3  2  6  4  8 Gambar 4.3 Graf Relasi

4.3 Relasi Inversi Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B . Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R-1 , adalah relasi dri himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan sebagai, R-1 = {(b,a)|(a,b) R} Contoh 4.2

Penyelesaian P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15} R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)} R-1 = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)} Contoh 4.3 Tentukan R-1 pada contoh 4.2 dalam bentuk matriks Penyelesaian

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R dalam bentuk matriks, maka M = Jika N adalah matriks yang merepresentasikan R-1 dalam bentuk matriks, maka N = MT N = MT =

Kombinasi relasi dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip operasi himpunan, seperti operasi gabungan, irisan, selisih (difference) dan beda simetrik (symmetric difference).   Contoh 4.4 Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c, d } Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} dan S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} adalah relasi dari A ke B, tentukan: a) R  S d) S – R b) R  S e) R  S c) R – S

Penyelesaian: R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)} b) R  S = {(2,b), (2,c), (3,c)} c) R – S = {(1,a), (1,c), (3,a), (3,d)} d) S – R = {(1,d), (2,a), (3,b)} e) R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (3,a), (3,b), (3,d)}

Selain operasi gabungan dan irisan yang telah dibahas dengan cara-cara diatas, operasi gabungan dan irisan juga dapat dilakukan dengan menggunakan operasi matriks. Misal terdapat relasi R dan S. Dalam bentuk matriks relasi tersebut disimbolkan dengan MR dan MS. Komponen dari matriks MR dan MS adalah 0 dan 1. Jika MR dan MS adalah matriks yang berukuran m x n, maka gabungan R dan S, ditulis MR  MS, adalah matriks M1. Sedangkan irisan R dan S, ditulis MR MS adalah M2. Kedua matriks M1 dan M2 berukuran m x n.

Contoh 4.5 Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c } Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)} dan S = {(1,a), (2,a), (2,b), 2,c), (3,b), ( 3,c)} adalah relasi dari A ke B, tentukan: Matriks yang menyatakan R ∪ S Matriks yang menyatakan R ∩ S

Penyelesaian: Matriks yang menyatakan R adalah MR Matriks yang menyatakan S adalah MS Matriks yang menyatakan R ∪ S adalah MR∪S Matriks yang menyatakan R ∩ S adalah MR∩S

MR∪S = MR  MS = ⋁ b) MR∪S = MR ⋀ MS = ⋀

Mengkomposisi dua buah relasi atau lebih adalah 4.5 Komposisi Relasi Mengkomposisi dua buah relasi atau lebih adalah cara lain untuk mengkombinasikan relasi. Misal terdapat dua buah relasi, yaitu R dan S. Jika R adalah relasi dari himpunan A ke B dan S adalah relasi dari himpunan B ke C, maka komposisi R dan S, ditulis SoR merupakan suatu relasi yang didefinisikan sebagai:  SoR = {(a,c)aA, cC dan terdapat bB untuk setiap (a,b)R dan (b,c)S} 

Contoh 4.6 Diketahui: A ={1, 3, 4, 7} ; B = {2, 3, 4} ; C = {a, b, c} R = {(1,2), (1,3), (3,4), (4,2), (4,3), (7,3), (7,4)} S = {(2,a), (2,c), (3,b), (4,a), (4,c)} R adalah relasi dari A ke B S adalah relasi dari B ke C Tentukan komposisi dari R dan S! Penyelesaian

Relasi RoS dalam bentuk diagram pemetaan ditunjukkan pada Gambar berikut.  1 3 4 7 2 A B C a b c ► RoS = {(1,a), (1,c), (1, b), (3,a), (3,c), (4,a), (4,c), (4,b), (7,b), (7,a), (7,c)} 

Komposisi dua buah relasi juga dapat ditentukan dengan cara perkalian Boolean. Misal terdapat relasi R dan S. Dalam bentuk matriks relasi tersebut disimbolkan dengan MR dan MS. Komponen dari matriks MR dan MS adalah 0 dan 1. Komposisi R o S ditentukan dengan perkalian Boolean MR dan MS, disimbolkan dengan MR☉MS. Sedangkan komposisi S o R ditentukan dengan cara perkalian Boolean MS dan MR, disimbolkan dengan MS☉MR.

Definisi Perkalian Boolean, disimbolkan dengan ☉, dari matriks A = [aij] yang berukuran m x n dan matriks B = [bjk] yang berukuran n x p akan menghasilkan matriks C = [cik] yang berukuran m x p. Contoh 4.7 Misal R = {(1,2), (1,3), (2,2), (3,1)} dan S = {(2,a), (2,c), (3,b)}. Tentukan SoR dengan cara perkalian Boolean!

Komposit R dan S adalah Penyelesaian: Langkah pertama adalah menentukan bentuk matriks MR dan MS. Ingat, elemen pertama pada masing-masing relasi merupakan baris dari matriks. Sedangkan elemen kedua merupakan kolom dari matriks. Matriks MRdan MS ditunjukkan pada matriks berikut. Komposit R dan S adalah

Simbol Rn digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, yaitu Rn = R o R o R o . . . o R (sebanyak n kali) dan MRn = MR (n) Oleh karena Rn+1 = Rn o R, maka MRn+1 = MR (n) . MR

Misal R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)} adalah relasi Contoh 4.8 Misal R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3} Tentukan R2 Penyelesaian = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)} o Bila diselesaikan dengan menggunakan matriks, maka matriks yang merepresentasikan R adalah MR =

Sehingga MRn = MR (2) = MR . MR Latihan: Relasi R dan S pada himpunan A yang disajikan dalam bentuk matriks mempunyai bentuk sebagai berikut. Tentukan bentuk matriks yang menyajikan: R ∪ S b) R ∩ S c) R o S

4.6 Sifat-sifat Relasi Sifat-sifat relasi yang akan dibahas pada materi ini adalah sifat-sifat relasi biner yang didefinisikan pada satu himpunan A. 4.6.1. Refleksif Relasi R pada himpunan A bersifat refleksif jika terdapat a R a atau (a,a)  R untuk setiap aA. Relasi “Lebih besar dari atau sama dengan” termasuk relasi refleksif.

Contoh 4.9 Tulis relasi R dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5} yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x2  y Penyelesaian : R = {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)}

 4 3 2 1 Gambar 4.4 Relasi refleksif

4.6.2. Simetri (Setangkup) Relasi R pada himpunan A bersifat simetri, jika terdapat a R b maka b R a untuk setiap a dan b A. Contoh 4.10 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

Penyelesaian: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (3,4) dan (4,1) tapi tidak terdapat pasangan terurut (4,3) dan (1,4) R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} Simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2) dan terdapat juga pasangan terurut (2,1) R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} Simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2) dan (1,4) dan terdapat juga pasangan terurut (2,1) dan (4,1)

R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), tapi tidak terdapat terurut (2,1), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4),(3,3), (3,4), (4,4)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), tapi tidak terdapat terurut (2,1), (3,1), (4,1), (3,2), (4,2), (4,3)

4.6.3. Anti-Simetri (tolak setangkup) Relasi R pada himpunan A bersifat anti-simetri jika a R b dan b R a, maka a = b untuk setiap a dan b A. Contoh 4.11 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} Tidak anti-simetri (tidak tolak setangkup) karena terdapat pasangan (1,2) dan (2,1) R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} terdapat pasangan (1,2) dan (2,1) serta (1,4) dan (4,1)

R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} Anti-simetri (tolak setangkup) karena tidak terdapat (1,2), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)

4.6.4. Transitif Relasi R pada himpunan A bersifat transitif atau menghantar jika a R b dan b R c, maka a R c untuk setiap a, b dan c A. Contoh 4.12 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} (1,1) dan (1,2)  (1,2) (1,2) dan (2,1)  (1,1) (1,2) dan (2,2)  (1,2) (3,4) dan (4,1)  (3,1) (3,4) dan (4,4)  (3,4) (4,1) dan (1,1)  (4,1) (4,1) dan (1,2)  (4,2) (4,4) dan (4,1)  (4,1) Karena pasangan bilangan terurut (3,1) dan (4,2) tidak terdapat dalam relasi, maka R1 adalah relasi yang tidak transitif.

R2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} (3,2) dan (2,1)  (3,1) (4,2) dan (2,1)  (4,1) (4,3) dan (3,1)  (4,1) (4,3) dan (3,2)  (4,2) Karena pasangan bilangan terurut (3,1), (4,1), dan (4,2) terdapat dalam relasi, maka R1 adalah relasi yang bersifat transitif.

4.7 Relasi kesetaraan Suatu relasi dikatakan sebagai relasi kesetaraan (equicalence relation) jika relasi tersebut bersifat refleksif, setangkup, dan menghantar Contoh 4.13 Misalkan R = {(0,0), (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {0, 1, 2, 3}. Periksa, apakah R bersifat kesetaraan atau tidak. Penyelesaian: Syarat kesetaraan adalah refleksi, setangkup, dan menghantar.

R bersifat refleksif karena terdapat elemen (0,0), (1,1), (2,2), ( 3,3) R bersifat setangkup karena terdapat elemen (1,2) dan (2,1) R bersifat menghantar karena untuk: (1,1) dan (1,2)  R, terdapat (1,2)  R (1,2) dan (2,1)  R, terdapat (1,1)  R (2,1) dan (1,2)  R, terdapat (2,2)  R (2,2) dan (2,1)  R, terdapat (2,1)  R Karena memenuhi sifat refleksi, setangkup, dan menghantar, maka dikatakan relasi R bersifat kesetaraan.

4.8 Relasi Pengurutan Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan sebagai relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation) jika relasi tersebut bersifat refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar. Relasi R bersama dengan himpunan S disebut Himpunan terurut secara parsial (Partially Ordered Set atau Poset) Contoh 4.14 Misalkan R = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), ( 3,3), (4,2), (4,4)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}.

Periksa, apakah R sebagai relasi pengurutan parsial atau bukan. Penyelesaian: Syarat relasi pengurutan parsial adalah refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar. R bersifat refleksif karena terdapat elemen (1,1), (2,2), ( 3,3), (4,4) R bersifat tolak-setangkup karena terdapat elemen (2,1)  R dan (1,2)  R (3,1)  R dan (1,3)  R (3,2)  R dan (2,3)  R (4,2)  R dan (2,4)  R

R bersifat menghantar karena untuk: (2,1) dan (1,1)  R, terdapat (2,1)  R (2,2) dan (2,1)  R, terdapat (2,1)  R (3,1) dan (1,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,2) dan (2,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,3) dan (3,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,3) dan (3,2)  R, terdapat (3,2)  R (4,2) dan (2,1)  R, terdapat (4,1)  R (4,2) dan (2,2)  R, terdapat (4,2)  R (4,4) dan (4,2)  R, terdapat (4,2)  R Karena memenuhi sifat refleksi, tolak-setangkup, dan menghantar, maka dikatakan relasi R bersifat relasi pengurutan parsial

4.9 Klosur Relasi 4.9.1 Klosur Refleksif Jika terdapat himpunan A, maka terdapat relasi  = {(a,a) | a  A}. Misal R adalah relasi pada himpunan A, maka Klosur refleksif dari R adalah R   Contoh 4.15 Misalkan R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur refleksif dari R Penyelesaian

R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} = {(1,1), (2,2), (3,3)} Klosur refleksif dari R adalah, R   = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)}  {(1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (2,2), (3,1), (3,2), ( 3,3)}

4.9.2 Klosur Setangkup Jika R adalah relasi pada himpunan A, maka R = {(a,b)| a, b  A} dan R-1 = {(b,a) | (a,b)  A} Klosur setangkup dari R adalah R  R-1 Contoh 4.16 Misalkan R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur setangkup dari R Penyelesaian

Klosur menghantar dari relasi R adalah Klosur setangkup dari R adalah, R  R-1 = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)}  {(1,1), (1,3), (2,3), (3,3)} = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3), (1,3), (2,3), (3,3)} 4.9.3 Klosur Menghantar Klosur menghantar dari relasi R adalah

Jika adalah matriks yang merepresentasikan relasi R pada sebuah himpunan dengan n elemen, maka matriks klosur menghantar R* adalah, Contoh 4.17 Misalkan R = {(1,1), (1,3), (2,2), ( 3,1), (3,2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur menghantar dari R Penyelesaian

Matriks yang merepresentasikan R adalah Matriks klosur menghantar dari R adalah

Jadi R* = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}

4.10 Relasi n-ary Relasi n-ary adalah relasi yang menghubungkan lebih dari dua himpunan. Relasi n-ary mempunyai terapan dalam bidang basis data. Misal terdapat himpuan A1, A2, . . . , An. Relasi n-ary R dari himpunan-himpunan tsb adalah himpunan bagian dari A1x A2 x . . . x An , dapat ditulis sebagai R  A1x A2 x . . . x An Himpunan A1, A2, . . . , An disebut daerah asal atau domain, sedangkan n disebut derajat.

4.11 Basis Data Relasional Salah satu model basis data adalah model basis data relasional yang didasarkan pada konsep relasi n-ary. Pada Basis Data Relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Sebuah relasi (biasanya disajikan dalam bentuk tabel) terdiri dari:

a) Field atau Attribute Merupakan bagian dari record yang menunjukkan suatu item data yang sejenis, Misalnya : field nama, file NIM dan lain sebagainya. Setiap field harus mempunyai nama dan tipe data tertentu. Isi dari field di sebut Data Value. Dalam table database, field ini disebut juga kolom. Record atau Tupple Tuple/Record adalah kumpulan data value dari attributee yang berkaitan sehingga dapat menjelaskan sebuah entity secara lengkap.

Relasi Field atau atribut MAHASISWA Record atau tupel NPM Nama Prog. Studi IPK sks tempuh 200624005 Amir SI 3,60 120 200725005 Badu TI 3,50 100 200712005 Chairil TK 2,75 98 200811005 Dedy MI 3,75 95 200913005 Effendi KA 2,50 90 Record atau tupel

Relasi Mahasiswa terdiri dari 5 tupel . Masing-masing tupel terdiri dari 6 atribut. Relasi Mahasiswa terdiri dari 5 ( 6-tupel). Relasi Mahasiswa terdiri dari 5 record. Masing-masing record terdiri dari 6 field.

4.11 Operasi Aljabar Relasional Operasi Unary Operasi Himpunan Operasi Join Operasi Pembagian Seleksi Proyeksi Irisan Perkalian Kartesius Selisih Gabungan Equijoin Outer join Semijoin Natural join

Operasi Seleksi (Selection Operation)  predikat (R) Operasi seleksi adalah operasi yang memilih baris/record/tuple tertentu pada sebuah relasi Contoh 4.18 Dari relasi mahasiswa , tampilkan seluruh mahasiswa yang mempunyai IPK lebih besar dari 3,00 Penyelesaian: IPK > 3,00 (MAHASISWA)

MAHASISWA NPM Nama Prog. Studi IPK sks tempuh 200624005 Amir SI 3,60 120 200725005 Badu TI 3,50 100 200712005 Chairil TK 2,75 98 200811005 Dedy MI 3,75 95 200913005 Effendi KA 2,50 90 NPM Nama Prog. Studi IPK sks tempuh 200624005 Amir SI 3,60 120 200725005 Badu TI 3,50 100 200811005 Dedy MI 3,75 95

Operasi Proyeksi (Projection )  Operasi proyeksi adalah operasi yang memilih atribut/field tertentu pada sebuah relasi Contoh 4.19 Dari relasi mahasiswa , tampilkan IPK seluruh mahasiswa dan atribut Nama, Program Studi dan IPK Penyelesaian:

MAHASISWA NPM Nama Prog. Studi IPK sks tempuh 200624005 Amir SI 3,60 120 200725005 Badu TI 3,50 100 200712005 Chairil TK 2,75 98 200811005 Dedy MI 3,75 95 200913005 Effendi KA 2,50 90 Nama Prog. Studi IPK Amir SI 3,60 Badu TI 3,50 Chairil TK 2,75 Dedy MI 3,75 Effendi KA 2,50

Gabungan (Union) Jika terdapat relasi R1 dan R2, maka R1 gabungan R2, ditulis R1  R2. Syarat yang harus dipenuhi oleh R1 dan R2 adalah “union compatible”, yaitu mempunyai jumlah atribut sama dan atribut ke i harus mempunyai domain yang sama. Contoh 4.20 Dari relasi R1 dan R2 berikut, tentukan R1  R2 Penyelesaian

R1 Nama Umur Jenis Kelamin Ali 22 L Barry 20 Chaidir 24 R2 Nama Umur Jenis Kelamin Dave 21 L Ella P Barry 20 R1  R2 Nama Umur Jenis Kelamin Ali 22 L Barry 20 Chaidir 24 Dave 21 Ella P R1  R2

Selain menggabungkan dua buah relasi secara keseluruhan, kita juga dapat melakukan operasi gabungan terhadap dua atribut yang sama yang berasal dari dua buah relasi. Sebelum operasi gabungan, kita lakukan operasi proyeksi untuk memilih atribut mana yang akan digabungkan. Contoh 4.21 Dari relasi Dosen dan Mahasiswa berikut, tentukan asal daerah dimana dosen atau mahasiswa berasal Penyelesaian

Dosen Nama Pendidikan Umur Asal Daerah Ali S2 32 Palembang Barry 40 Bangka Chaidir S3 34 Jakarta Mahasiswa Nama sks tempuh Asal daerah Dave 130 Bandung Ella 120 Jakarta Barry 90 Palembang

 asal_daerah (Dosen)   asal_daerah (Mahasiswa) Palembang Bangka Jakarta Bandung

Irisan (Intersection) Jika terdapat relasi R1 dan R2, maka R1 irisan R2, ditulis R1  R2. Syarat yang harus dipenuhi oleh R1 dan R2 adalah “union compatible”, yaitu mempunyai jumlah atribut sama dan atribut ke i harus mempunyai domain yang sama. Contoh 4.22 Dari relasi R1 dan R2 berikut, tentukan R1  R2 Penyelesaian

R1 Nama Umur Jenis Kelamin Ali 22 L Barry 20 Chaidir 24 R2 Nama Umur Jenis Kelamin Dave 21 L Ella P Barry 20 R1  R2 Nama Umur Jenis Kelamin Barry 20 L R1  R2

Selain melakukan irisan dua buah relasi secara keseluruhan, kita juga dapat melakukan operasi irisan terhadap dua atribut yang sama yang berasal dari dua buah relasi. Sebelum operasi irisan, kita lakukan operasi proyeksi untuk memilih atribut mana yang akan diiriskan. Contoh 4.23 Dari relasi Dosen dan Mahasiswa berikut, tentukan asal daerah dimana dosen dan mahasiswa berasal Penyelesaian

Dosen Nama Pendidikan Umur Asal Daerah Ali S2 32 Palembang Barry 40 Bangka Chaidir S3 34 Jakarta Mahasiswa Nama sks tempuh Asal daerah Dave 130 Bandung Ella 120 Jakarta Barry 90 Palembang

 asal_daerah (Dosen)   asal_daerah (Mahasiswa) Palembang Jakarta

Selisih himpuan (Set Difference) Jika terdapat relasi R1 dan R2, maka R1 – R2 adalah relasi yang terdiri dari seluruh tupel yang ada di R1 tapi tidak terdapat di R2. Syarat yang harus dipenuhi oleh R1 dan R2 adalah “union compatible”, yaitu mempunyai jumlah atribut sama dan atribut ke i harus mempunyai domain yang sama. Contoh 4.23 Dari relasi R1 dan R2 berikut, tentukan R1 – R2 Penyelesaian

R1 Nama Umur Jenis Kelamin Ali 22 L Barry 20 Chaidir 24 R2 Nama Umur Jenis Kelamin Dave 21 L Ella P Barry 20 R1 – R2 Nama Umur Jenis Kelamin Ali 22 L Chaidir 24 R1 – R2 R2 – R1 Nama Umur Jenis Kelamin Dave 21 L Ella P R2 – R1

Selain melakukan operasi selih dua buah relasi secara keseluruhan, kita juga dapat melakukan operasi selisih terhadap dua atribut yang sama yang berasal dari dua buah relasi. Sebelum melakukan operasi selisih, kita lakukan operasi proyeksi untuk memilih atribut mana yang akan ditentukan selisihnya. Contoh 4.23 Dari relasi Dosen dan Mahasiswa, tentukan: asal daerah dimana terdapat dosen tapi tidak terdapat mahasiswa b) asal daerah dimana terdapat mahasiswa tapi tidak terdapat dosen Penyelesaian

Dosen Nama Pendidikan Umur Asal Daerah Ali S2 32 Palembang Barry 40 Bangka Chaidir S3 34 Jakarta Mahasiswa Nama sks tempuh Asal daerah Dave 130 Bandung Ella 120 Jakarta Barry 90 Palembang

 asal_daerah (Dosen)   asal_daerah (Mahasiswa) Palembang Jakarta a) Dosen - Mahasiswa Nama Pendidikan Umur Asal Daerah Barry S2 40 Bangka b) Mahasiswa - Dosen Nama sks tempuh Asal daerah Dave 130 Bandung