BAB 12 PROBABILITAS

Pengertian Probabilitas Kata Probabilitas sering dipertukarkan dengan istilah lain seperti peluang dan kemungkinan. Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

Probabilitas dinyatakan dengan bilangan desimal atau pecahan Contoh : 0,50, 0,25, 0,70 Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1

Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

Pendekatan Perhitungan Probabilitas Bersifat Obyektif Bersifat Subyektif Pendekatan Klasik Pendekatan Frekuensi Relatif

Pendekatan Klasik Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama

Konsep Frekuensi Relatif Pendekatan yang mutakhir ialah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif, besarnya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian. Probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.

X f fr X1 f1 X2 f2 Xk fk Jumlah

Contoh 12.4 Tabel 12.1 X 55 65 75 85 95 105 115 f 8 10 16 14 5 2

Nilai Banyaknya mahasiswa (1) (2) < 25 10 25 – 50 30 50 – 75 45 75 Contoh 12.5 Tabel 12.2 Nilai Banyaknya mahasiswa (1) (2) < 25 10 25 – 50 30 50 – 75 45 75 15 Jumlah 100

Contoh 12.6 Tabel 12.3 f fr X1 8 0,8 60 0,6 450 0,45 5.490 0,549 52.490 0,5249 X2 2 0,2 40 0,4 550 0,55 4.510 0,451 47.510 0,4751 n 10 1,0 100 1000 1,00 10.000 1,000 100.000 1,0000

Probabilitas Subyektif Probabilitas Subyektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengamatan masa lalu sebagai dasar, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subyektif.

Kejadian / peristiwa dan notasi Himpunan Eksperimen melempar mata uang logam Rp 50 sebanyak 2 kali Hasil eksperimen salah satu dari 4 kemungkinan 1 2 3 4 Hasil yang berbeda dari suatu eksperimen disebut titik sampel Himpunan dari seluruh kemungkinan hasil disebut ruang sampel

Tabel 12.4 Ruang sampel untuk eksperimen Pelemparan 2 dadu 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 II I I = dadu pertama II = dadu kedua 23 = dadu pertama 2 dadu kedua 3

Mata uang logam Rp 50 dilempar sebanyak 3 kali maka akan diperoleh ruang sampel 2 1 2 3 4 5 6 7 8 Kalau X = jumlah gambar burung ( B ) untuk 3 kali lemparan

X f fr 1 3 2

Tabel 12.6 Tabel 12.5 X fr 1 2 3 X f fr 1 3 2

Tabel 12.7 X f 2 1 1/36 (=0,028) 3 2/36 (=0,056) 4 3/36 (=0,083) 5 4/36 (=0,111) 6 5/36 (=0,139) 7 6/36 (=0,167) 8 9 10 11 12 36 1 (=1,00)

Dimana 1 dan 2 merupakan himpunan bagian

Misalnya A = mendapatkan 1B (satu burung), berarti A terdiri dari 2 elemen yaitu Kejadian yang terdiri dari satu elemen dalam Ruang Sampel S, disebut kejadian elementer (elementary event)

Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0  P(Si)  1 ) Jika P(Si) = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi. Jika P(Si) = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi. Jika 0  P(Si)  1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

A. HIMPUNAN 1.Pengertian Himpunan. Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan, disebut elemen atau unsur atau anggota himpunan.

2.Penulisan Himpunan Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai populasi. Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar: A, B,... Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambang .

Himpunan dapat ditulis dengan 2 cara : Cara Pendaftaran  Diskrit Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar Contoh : A={a,i,u,e,o} , B={1,2,3,4,5} Cara Pencirian  Kontinyu Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat / ciri-ciri himpunan tsb. Contoh : A={ X : x huruf hidup } B={ X : 1  x  5 }

3. Macam-macam Himpunan a.Himpunan Semesta Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan. Dilambangkan S atau U. Contoh : S=U={a,b,c,…..} S=U={ X : x bilangan asli}

b.Himpunan Kosong. Himpunan yang tidak memiliki anggota. Dilambangkan { } atau . c.Himpunan Bagian. Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Dilambangkan . Dalam statistik himpunan bagian merupakan sampel.

Contoh : Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat dalam B, atau B memuat A. Dilambangkan : A  B. Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n unsur adalah 2n

Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau Kejadian / event terdiri antara lain : 1. Kejadian komplementer 2. Interseksi (perpotongan) 3. union (gabungan) Komplemen Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau

S A A

Diagram Venn Komplemen

Operasi Irisan (interseksi) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

Diagram Venn Operasi Irisan

Rp 100.000 milik A dan juga milik B

5 10 A

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. Gabungan (Union) dua kejadian Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

Diagram Venn Operasi Gabungan

B A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S K A

S K A

Beberapa aturan dasar probabilitas Secara umum ada 2 aturan : - aturan penjumlahan - aturan perkalian Aturan Penjumlahan Kejadian Saling Meniadakan. ( Mutually exclusive event) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B) = P (A) + P (B) atau P ( A  B) = P (A) + P (B)

Tabel 12.8 Berat Kejadian Jumlah padat Probabilitas Lebih ringan A 100 Standar B 3600 Lebih berat C 300 Jumlah 4000 1,000 P (A atau C) = P ( A  C) = P (A) + P (C) = 0,025 + 0,075 = 0,10

Diagram Venn A B C

S1 S2 Sk N1 N2 Nk

Kejadian tidak saling meniadakan. Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa tidak saling lepas disebut juga peristiwa bersama.

P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B) Jika dua peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B) P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) P(Taman Mini atau Ancol) = P(Taman Mini) + P(Ancol) – P(Taman Mini atau Ancol)

Tabel 12.9 Kartu Probabilitas Penjelasan Raja (King) 4 kartu raja dalam 1 set kartu Hati (Heart) 13 kartu heart dalam 1 set kartu Raja bergambar hati 1 kartu raja bergambar heart dalam 1 set kartu

Merencanakan untuk membeli Tabel 12.10 Merencanakan untuk membeli Benar2 telah membeli Total Ya Tidak 200 50 250 100 650 750 300 700 1000 P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Contoh 12.10 53 82 164 10 93 68 30 S K A

- Kejadian tak bebas (dependent event) Aturan Perkalian - Kejadian tak bebas (dependent event) - Kejadian bebas (independent event)

Kejadian tak bebas (bersyarat) Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi.

mahasiswa putri lama = 800 = (c) A = 2000 mahasiswa lama (a) S = 10.000, seluruh mahasiswa (N) mahasiswa putri lama = 800 = (c) B = 3500 mahasiswa putri (b)

Pada umumnya probabilitas bersyarat dirumuskan sbb:

Tabel 12.11 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

Bukan Doktor Sudah menikah Belum menikah Pria 3 12 Wanita 10 5 Doktor Sudah menikah Belum menikah Pria 40 10 Wanita

Probabilitas kejadian interseksi Rumus Aturan Umum dari Perkalian Probabilitas

Jadi Terbukti Kalau kejadiannya A, B dan C (3 kejadian), maka : Pembuktiannya : misalnya Jadi Terbukti

Tidak merencanakan membeli Diagram pohon Benar telah membeli Merencanakan membeli Tidak membeli Seluruh responden Benar telah membeli Tidak merencanakan membeli Tidak membeli

Kejadian Bebas (Independent Event) Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. P (AB) = P(A) P(B) = P(B) P(A) (A dan B merupakan kejadian bebas)

Contoh 12.18 S = N

Probabilitas marginal Probabilitas terjadinya suatu Peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain.

Contoh 12.21 S = 1000 H 200 T 150 E 400 ME MH 50 K 250 MK MT 25 M

Rumus Bayes S Ax A1 A2 Ai A1A A2A AiA AxA A

Kotak 1 = A1 2 M 1 M 1 P 2 P Kotak 2 = A2 Kotak 3 = A3

PERMUTASI & KOMBINASI

PERMUTASI & KOMBINASI Koran Majalah TVRI k x m = 4 x 2 = 8 RRI m 1 Plastik Koran k 1 m 2 Karton Majalah m 3 Plastik k 2 m 4 Karton m 5 Plastik TVRI k 3 m 6 Karton k x m = 4 x 2 = 8 RRI m 7 Plastik k 4 m 8 Karton

mk = 23 = 8 Tahun pertama 2 1 Tahun kedua 3 1 2 4 Tahun ketiga 1 2 3 4 5 6 7 8

Contoh 12.25 Ke Denpasar ( 3 pilihan ) Ke Surabaya Caranya = 6 1 M 1 M M Dari Jakarta 1 2 G 2 M G M 3 B 3 M B 1 M 4 G M 2 2 G 5 G G G 3 B 6 G B

Permutasi Pengertian Permutasi Suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu, dimana urutan itu penting Contoh : 123 213 ABC BCA

Contoh : 3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6 pengaturan dengan cara yang berbeda. A B C 3 2 1 6 5 4 Permutasi Rank

3 cara  A, B dan C Jadi banyaknya permutasi merupakan hasil kali 3 x 2 x 1 = 6 Kalau ada 4 calon, banyaknya permutasi adalah 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Banyaknya permutasi = m(m-1)(m-2)…..(1) m = banyaknya elemen

Rumus-rumus Permutasi Permutasi dari m obyek tanpa pengembalian. a. Permutasi dari n objek seluruhnya. Permutasi m obyek diambil m setiap kali

b. Permutasi sebanyak x dari m obyek. Permutasi m obyek diambil x setiap kali

Contoh 12.26 Untuk m = 10 x = 5

KOMBINASI Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut . ABC = ACB = BCA LUCY = UCYL

Rumus-rumus Kombinasi : a. Kombinasi x dari m objek yang berbeda. Combinasi m obyek diambil x setiap kali

Contoh 12.27 a. Jika N = 3 , n = 2, maka 3 sampel tsb. ialah : X1X2 ; X1X3 dan X2X3

Contoh 12.28 c. P (2 merah dan 1 putih)

Contoh 12.29 Jika m = 7 dan x = 4 maka :

Hubungan permutasi dengan kombinasi. Hubungan permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :