PENYELESAIAN MODEL LP PENYELESAIAN PERMASALAHAN DNG MODEL LP DAPAT DILAKUKAN DENGAN 2 METODE : (1). METODE GRAFIK Metode grafik hanya digunakan untuk model LP mengandung dua variabel ke- putusan. (2). METODE SIMPLEKS Metode simpleks digunakan untuk pe- nyelesaian model LP yang mengandung lebih dari dua variabel keputusan.

1. METODE GRAFIK Model LP : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 2. Fungsi Kendala : 2.1. Mesin-1 : 2X1  8 2.2. Mesin-2 : 3X2  15 2.3. Mesin-3 : 6X1 + 5X2  30 X1, X2  0

Penyelesaian : X2 2X1  8 B A 3X2  15 6X1+5X2 30 C X1 O D

1. Titik O(0,0) : ZA = 0 2. Titik A(0,5) : ZB = 3(0) + 5(5) = 25 3. Titik D(4,0) : ZD = 3(4) + 5(0) = 12 4. Titik B : 6X1+5X2 = 30 -----> 18X1+15X2 = 90 3X2 = 15 -----> 15X2 = 75 -------------------- - 18X1 = 15 X1 = 5/6 X2 = 5 ZB = 3(5/6) + 5(5) = 27,5

(5). Titik C : 6X1+5X2 = 30 ----> 6X1+5X2 = 30 2X1 = 8 ----> 6X1 = 24 ------------------ - 5X2 = 6 X2 = 6/5 X1 = 4 ZC =3(4) + 5(6/5) = 18 Kesimpulan : Perusahaan harus memproduksi X1=5/6 dan X2=5 untuk mendapatkan keuntung- an maksimum sebesar Rp 2.750.000.-

Contoh 2 : (1). Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = 4X1 + 2X2 (2). Fungsi Kendala : 2.1. Nutrisi A: 3X1+X2  27 2.2. Nutrisi B: X1+ X2  21 2.3. Nutrisi C: X1+2X2  30 X1,X2  0

Penyelesaian : A X2 3X1+X227 X1+X221 B X1+2X230 C D O X1

Titik A (0,27), maka ZA =40.000(0)+20.000(27) = 540.000 Titik D (30,0), maka Zb= 40.000(30)+20.000(0) = 1.200.000 Titik B : 3X1+X2 = 27 X1+X2 = 21 ----------------- - 2X1 = 6 ------> X1 = 3 X2 = 21-3=18 ZB = 40.000(3) + 20.000(18) = 120.000 + 360.000 =480.000

TITIK C : X1+2X2 = 30 X1+ X2 = 21 ---------------- - X2 = 9 X1 = 21-9 =12 ZC = 40.000(12) + 20.000(9) = 480.000 + 180.000 = 660.000 Kesimpulan : Petani harus memproduksi pakan X1 = 3 dan X2 =18 dengan penge- luaran minimum sebesar : Rp 480.000.-

2. METODE SIMPLEKS Metode simpleks merupakan suatu teknik peme- cahan masalah Program Linear (LP) untuk me- nentukan kombinasi optimal dari lebih dari dua variabel keputusan. Pada masa sekarang masalah LP yg melibatkan banyak variabel keputusan dapat diselesaikan dengan cepat dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan tidak terlalu banyak, masa- lah tsb dapat diselesaikan dengan suatu algorit- ma yg disebut dengan Metode Simpleks.

Langkah-langkah penyelesaian model LP dengan metode simpleks : (1). Merubah fungsi tujuan dan fungsi batasan : Fungsi tujuan dirubah menjadi fungsi implisit, artinya semua cjxj digeser kekiri. Contoh : Z = 3X1+5X2  Z - 3X1 - 5X2 = 0

Semua ketidaksamaan harus dirubah menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel atau surplus variabel. Slack atau surplus variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat penggunaan kapasitas sumberdaya. Jika slack variabel positif, berarti sumberdaya tidak digunakan seluruhnya (berlebihan), jika slack variabel sama dengan nol, berarti sumberdaya diguna-kan seluruhnya oleh kegiatan dalam model, dan jika slack variabel negatif, berarti sumberdaya yang digunakan dalam keadaan kekurangan.

Untuk fungsi tujuan “memaksimumkan” di-gunakan (ditambah) dengan slack variabel, sedangkan untuk fungsi tujuan “meminimum-kan” digunakan (dikurangi) surplus variabel. Slack/surplus variabel diberi simbol S Pada bentuk standar, semua persamaan dlm fungsi kendala mempunyai tanda ketidak-samaan (,) diubah menjadi =. Contoh : (1). 2X1  8  2X1 +S1 = 8 (2). 3X2  15  3X2 +S2 = 15 (3). 6X1 +5X2  30  6X1 +5X2 + +S3 =30

Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan di atas dapat disusun formulasi model simpleks sebagai berikut : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z-3X1-5X2 2. Fungsi Kendala : 2.1. 2X1 +S1 = 8 2.2. 3X2 +S2 = 15 2.3. 6X1 +5X2 + +S3 = 30 (2). Menyusun persamaan ke dalam Tabel : Setelah formulasi dirubah kemudian di- susun ke dalam Tabel Simpleks.

Var. Dasar adalah variabel yg nilainya sama dgn ----------------------------------------------------------------------- VAR. Z X1 X2 S1 S2 S3 NK DASAR Z 1 -3 -5 0 0 0 0 S1 0 2 0 1 0 0 8 S2 0 0 3 0 1 0 15 S3 0 6 5 0 0 1 30 Var. Dasar adalah variabel yg nilainya sama dgn sisi kanan persamaan. Pada persamaan : 2X1 + S1 = 8, kalau belum ada kegiatan apa- apa, maka S1= 8, dst. Jadi pada Tabel di atas var. dasar adalah : S1, S2, S3.

(3). Memilih kolom kunci : Kolom kunci : adalah kolom yg merupakan dasar utk merubah tabel di atas. Pilihan kolom yg mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yg bernilai negatif dgn angka terbesar. ----------------------------------------------------------------------- VAR. Z X1 X2 S1 S2 S3 NK DASAR Z 1 -3 -5 0 0 0 0 S1 0 2 0 1 0 0 8 S2 0 0 3 0 1 0 15 S3 0 6 5 0 0 1 30

(4). Memilih baris kunci : Baris kunci :adalah baris yg merupakan dasar utk merubah tabel tsb di atas. Nilai kolom NK Indeks = -------------------- Nilai kolom kunci Untuk baris : - kendala 1, indeks = 8/0 =  - kendala 2, indeks = 15/3 = 5 - kendala 3, indeks = 30/5 = 6 Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil.

Nilai baris kunci dirubah dengan cara mem- baginya dengan angka kunci. ------------------------------------------------------------------------- VAR. Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks DASAR ------------------------------------------------------------------------ Z 1 -3 -5 0 0 0 0 - S1 0 2 0 1 0 0 8  S2 0 0 3 0 1 0 15 5 S3 0 6 5 0 0 1 30 6 Angka Kunci (5). Merubah nilai-nilai baris kunci Nilai baris kunci dirubah dengan cara mem- baginya dengan angka kunci.

------------------------------------------------------------------------- VAR. Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks DASAR ------------------------------------------------------------------------ Z 1 -3 -5 0 0 0 0 - S1 0 2 0 1 0 0 8  S2 0 0 3 0 1 0 15 5 S3 0 6 5 0 0 1 30 6 Z 1 -3 0 0 5/3 0 25 - S1 0 2 0 1 0 0 8 4 X2 0 0 1 0 1/3 0 5 0 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6 Angka Kunci

(6). Merubah nilai-nilai selain pada baris kunci : Baris baru = baris lama - (koefisien pada pada kunci)x nilai baris kunci. Baris (1)  Fungsi Tujuan Z : [ -3 -5 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 1/3 0 5 ]x [-5] --------------------------------------------- - [ -3 0 0 -1/3 0 25 ]

Baris (2)  Kendala (1) : [ 2 0 1 0 0 8 ] [ 0 1 0 1/3 0 5 ]x [0] --------------------------------------------- - [ 2 0 1 0 0 8 ] Baris (3)  Kendala (3) [ 6 5 0 0 1 30 ] [ 0 1 0 1/3 0 5 ]x [5] [ 6 0 0 -5/3 1 5 ]

(7). Lanjutkan perubahan-perubahan Tabel Simpleks menurut langkah-langkah sebelum nya sampai nilai-nilai baris Z (fungsi tujuan) tidak ada yang bertanda negatif. Solusi Optimal : ------------------------------------------------------------------------ VAR. Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks DASAR Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27,5 S1 0 0 0 1 5/9 -1/3 6 1/3 X2 0 0 1 0 1/3 0 5 X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Kesimpulan : Perusahaan harus memproduksi X1= 5/6 dan X2 =5 untuk mendapatkan keuntungan maksi- mum sebesar Rp 2.750.000.- KETENTUAN TAMBAHAN : Di dalam contoh di atas kebetulan penentuan kolom maupun baris kunci dapat dilakukan se- cara jelas, serta tidak terdapat “multi solutions” (penyelesaian ganda). Masalah yg dihadapi kadang-kadang dapat menghasilkan dua kolom kunci, dua baris kunci & multi solution.

1. Terdapat lebih dari satu kolom bernilai nega- tif yang angkanya terbesar, maka ada dua kolom yg bisa dipilih menjadi kolom kunci. Untuk mengatasi tersebut kita bisa pilih salah satu diantara dua secara sembarang. 2. Dua baris atau lebih mempunyai indeks positif terkecil, maka ada beberapa baris yg dapat terpilih sebagai baris kunci. Untuk mengatasi masalah ini dapat dipilih baris kunci secara bebas diantara keduanya. 3. Multi solutions