BAB II HIMPUNAN

2.1 DEFINISI HIMPUNAN & PENYAJIAN HIMPUNAN Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang terdapat di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Jumlah elemen berbeda dalam suatu himpunan disebut kardinal, notasinya n(A) atau |A| artinya kardinal dari himpunan A.

PENYAJIAN HIMPUNAN Enumerasi Mengenumurasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya. Contoh : Himpunan A yang berisi empat bilangan asli pertama dapat ditulis sebagai A = {1, 2, 3, 4}

P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3,…} Simbol-simbol baku Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain : P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3,…} N = himpunan bilangan asli= {1, 2, 3,…} Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2, -1, 0, 1, 2,…} Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

Notasi Pembentuk Himpunan Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x} Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan : Bagian di kiri tanda ‘ | ‘ melambangkan elemen himpunan Tanda ‘ | ‘ dibaca dimana atau sedemikian sehingga Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan Setiap tanda ‘ , ‘ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan. Contoh : A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 } atau dalam notasi yang lebih ringkas A = {x | x ∈ P, x < 5} yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. Di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U atau S) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Contoh : Misalkan S = {1, 2, 3,…, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Ketiga himpunan tersebut digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut : .1 .3 .6 .8 S B A .2 .5 .4 .7

2.2 JENIS-JENIS HIMPUNAN & OPERASI HIMPUNAN 1. Himpunan Semesta Lambang : S atau U Himpunan yang memuat seluruh objek pembicaraan. 2. Himpunan kosong Lambang : { } atau Ø Himpunan yang tidak memiliki anggota atau kardinal = 0 3. Himpunan Bagian Lambang : atau  Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B jika setiap elemen A merupakan elemen himpunan B Menghitung banyak himpunan bagian dari suatu himpunan sebesar n adalah P = 2n (Himpunan Kuasa)

4. Himpunan yang Sama Lambang : A=B ↔ A B dan B A Himpunan A dikatakan himpunan yang sama dengan himpunan B jika keduanya memuat elemen yang sama. 5. Himpunan yang Ekivalen Lambang : A~B ↔ |A|=|B| Himpunan A dikatakan himpunan yang ekivalen dengan himpunan B jika kardinal keduanya sama. 6. Himpunan Saling Lepas Lambang : A // B Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama

Operasi Himpunan notasi : Lambang : A U B atau A + B 1. Operasi Gabungan (union) Lambang : A U B atau A + B Gabungan dari himpunan A atau B adalah semua unsur yang terdapat di A atau B sekaligus. notasi : 2. Operasi Irisan (intersection) Lambang : A ∩ B atau AB Irisan dari himpunan A dan B adalah semua unsur yang sama di dalam A dan B. 3. Operasi Selisih (difference) Lambang : A – B atau A ∩ Bc Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A tetapi bukan elemn B.

Komplemen (Complement) Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A Notasi : = Ac = A’ Beda Setangkup (Symmetric Difference) Definisi : Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya. Notasi :

Perkalian Kartesian (Cartesian Product) Definisi : Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Notasi :

2.3 HUKUM-HUKUM HIMPUNAN Hukum Identitas A U Ø = A Hukum Involusi Hukum Null/Dominasi A ∩ Ø = Ø A U S = S Hukum Komplemen A U Ac= S A ∩ Ac = Ø Hukum Idempoten A U A = A A ∩ A = A Hukum Involusi (Ac)c = A Hukum Penyerapan (Absorpsi) A U (A∩B) = A A ∩ (AUB) = A Hukum Komutatif A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A Hukum Asosiatif A U(BUC) = (AUB)UC A ∩(B∩C) = (A∩B)∩C

Hukum Distributif AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC) A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) Hukum De Morgan (A ∩ B)c = AcUBc (AUB)c = Ac ∩ Bc Hukum 0/1 (Hukum Komplemen 2) Øc = S Sc = Ø

2.4 PRINSIP DUALITAS Contoh: Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Misalkan D adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika D* diperoleh dari D dengan mengganti ∪→∩, ∩→∪, ∅→S, S→∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan D* juga benar dan disebut dual dari kesamaan D. Contoh: Dual dari (A ∩ B)∪(A ∩ Bc) = A adalah (A ∪ B) ∩ (A ∪ Bc) = A

2.5 PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI n(AUB) = n(A) + n(B) Jika himpunan A dan B saling lepas n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AB) Jika himpunan A dan B tidak saling lepas n(AB) = n(A) + n(B) – 2 n(AB) Jumlah elemen hasil operasi beda setangkup n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC) Untuk operasi lebih dari 2 himpunan

2.6 PEMBUKTIAN PERNYATAAN PERIHAL HIMPUNAN Dengan diagram Venn Dengan tabel keanggotaan Dengan aljabar himpunan Dengan definisi

Himpunan Ganda Himpuna Ganda (multiset) adalah himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda). Contoh: A={a,a,a,b,b,c,c,c,d} atau dapat dinyatakan A={3.a,2.b,3.c,d} dan |A|=9

Operasi Himpunan Ganda Contoh: Diketahui: A={a,a,a,c,d,d} B={a,a,b,c,c} Maka, AUB={a,a,a,b,c,c,d,d} A∩B={a,a,c} A-B={a,d,d}  hanya diambil yang + B-A={b,c} hanya diambil yang + A+B={a,a,a,a,a,b,c,c,c,d,d} Untuk beda setangkup tidak berlaku di operasi himpunan ganda.