MATEMATIKA DISKRIT LOGIKA MATEMATIKA

Contoh kasus Anda berdagang dan modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”. Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji? i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi

Modul Matematika Diskrit Logika Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning) Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Tentukan! 1. Rapikan tempat tidurmu! 2. Apakah hari ini akan hujan? 3. Yang duduk di bawah pohon itu cantik 4. Bagus benar buku ini! 5. Berapa orang yang datang? 6. Seseorang memakai kacamata 7. New York adalah ibukota Amerika Serikat 8. Sungai Themes melintasi kota London

Kalimat

Tentukan! 1. Rapikan tempat tidurmu! 2. Apakah hari ini akan hujan? 3. Yang duduk di bawah pohon itu cantik 4. Bagus benar buku ini! 5. Berapa orang yang datang? 6. Seseorang memakai kacamata 7. 2x + 8y ≥ 0 8. x + 2 = 8

Tentukan! 9. Semua bilangan irasional adalah bilangan real 10. Sungai membeli hijau daun 11. Apakah x^2 − 25 = ( x −5)( x + 5) ? 12. Ada daun yang tidak berwarna hijau 13. Buktikan 8 + 32 = 8 2 ! 14. 12345 habis dibagi 3 dan 5 15. 5x + 2 =15 ; x∈R

Proposisi Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh proposisi: 23 adalah bilangan prima proposisi primitip(primitif ) Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tenis proposisi majemuk(composite). Contoh bukan proposisi: Berapa harga tiket ke Malaysia? Silakan duduk.

MACAM PROPOSISI Kalimat deklaratif yang tidak memuat penghubung disebut proposisi primitif(primitif ) Kalimat deklaratif yang memuat penghubung ”atau” dan ”jika...maka...” disebut proposisi majemuk (composite).

Konektif Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif Macam-macam konektif: AND (konjungsi) Simbol ^ Inclusive OR (disjungsi) Simbol v Exclusive OR Simbol  NOT (negasi) Simbol  Implikasi Simbol  Implikasi ganda Simbol 

Tingkat Presedensi NEGASI (NOT) KONJUNGSI (AND) DISJUNGSI (OR, XOR) IMPLIKASI IMPLIKASI GANDA Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengan cara memberikan kurung di pada proposisi yang ingin didahulukan

Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q 1 Contoh : p = Harimau adalah binatang buas q = Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q salah. Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q

Tabel Kebenaran Disjungsi (Inclusive OR) p q p v q 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum

Tabel Kebenaran Exclusive Disjunction “Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer" p q p  q 1

Tabel Kebenaran Negasi p p 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa p = Jono bukan seorang mahasiswa

Kalimat majemuk (compound statements) p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai. Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: (pq)^r p(q^r) (p)( q) (pq)^( r) dll

HITUNG Lengkapilah tabel dibawah ini serta berikan kesimpulan akhirnya q p q p q (p q) v (p q) 1

Tabel Kebenaran (p   r)  q 1

Implikasi Disebut juga proposisi kondisional (conditional proposition) dan berbentuk “jika p maka q” Notasi simboliknya : p  q Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p  q = Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum

Tabel Kebenaran Implikasi q p  q 1

Hypotesa dan konklusi Dalam implikasi p  q p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent, conclusion)

Perlu dan Cukup Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

Tabel kebenaran Implikasi Ganda (Biimplikasi) Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” Notasi simboliknya p  q p q p  q (p  q) ^ (q  p) 1

KESIMPULAN BIIMPLIKASI p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p) p q p  q (p  q) ^ (q  p) 1

Ekivalensi Logikal Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p  q p q  p  q p  q 1

Konversi dan Inversi Konversi dari p  q adalah q  p Inversi dari p  q adalah  p   q Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!!

PEMBUKTIAN p  q tidak ekivalen q  p p  q tidak ekivalen  p   q p 1

Kontrapositif kontrapositif dari proposisi p  q adalah  q   p Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p  q dan  q   p ekivalen???

JAWAB KONTRAPOSITIF p  q dan  q   p ekivalen p q p  q  q   p 1

Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p  T  p p  F  p Identity laws p  T  T p  F  F Domination laws p  p  p p  p  p Idempotent laws (p)  p Double negation laws p  q  q  p p  q  q  p Commutative laws (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  ( q  r) Associative laws

Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Distributive laws (p  q)  ( p)  ( q) (p  q)  ( p)  ( q) De Morgan’s laws p  (p  q)  p p  (p  q)  p Absorption laws p  p  T p  p  F Negation laws

Ekivalensi Logika Ekivalensi p  q  p  q p  q  q  p (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r (p  q)  (p  r)  p  (q  r) (p  r)  (q  r)  (p  q)  r Ekivalensi p  q  (p  q)  (q  p) p  q  p  q p  q  (p  q)  (p  q) (p  q)  p   q

Tautology Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun Contoh: p  p v q p q p  p v q ((p => q) ^ p) => q 1

Kontradiksi Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun Contoh : p ^  p p p ^ ( p) 1

Contoh Implikasi Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas Invers Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas Konvers Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring Kontrapositif Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring

Tugas 2 Dari kalimat dibawah ini mana yang termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran dari proposisi tsb. 7 merupakan sebuah bilangan prima. Jangan lakukan. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2. x + y = y + x untuk setiap pasangan dari bilangan real x dan y Jam berapa sekarang?

Latihan 2. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p  q b. (p  q)  (p  q) c. (p  q) ^ (q  p) 3. Tentukanlah konvers dari Jika Beijing di RRC, maka Tokyo di Jepang 4. Tentukanlah invers dari Jika segitiga sama kaki, maka ketiga sudutnya sama 5. Tentukanlah kontrapositif dari Jika semua jeruk manis, maka jeruk ini harus manis