HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari Modul 5 & 6 Juli 2006

ALJABAR KALKULUS Konsep matematika yg mempelajari tk perubahan dr suatu fungsi DIFERENSIAL Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi Mencari turunan dr suatu fungsi APLIKASI Menghitung nilai optimal Analisis marginal INTEGRAL Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya Menentukan luas bidang APLIKASI Surplus konsumen dan surplus produsen

PENGERTIAN LIMIT Konsep dasar diferensial Adalah harga batas tertentu, L, yang dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a. Kegunaan Limit :  Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu  Menentukan kontinuitas/diskontinuitas suatu fungsi  Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan fungsi

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1 ~, ~ - ~ Contoh :

KONTINUITAS FUNGSI Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu untuk x = a dari suatu nterval tertentu jika :  Y = f(a) terdefinisi  mempunyai harga tertentu, misal L  L = f(a)

PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X Jika perubahan X (  X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka :  Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT Y = c  Y’ = 0 Y = aX + b  Y’ = a Y = X n  Y’ = n X n-1 Y = U n  Y’ = n U n-1. U’ Y = U ± V  Y’ = U’ ± V’ Y = U/V  Y’ = (U’V – V’U)/V 2 Y = e x  Y’ = e x Y = e u  Y’ = u’.e u Y = ln X  Y’ = 1/X Y = ln U  Y’ = U’/U Y = a x  Y’ = a x ln a

Turunan fungsi implisit  Y = f’(x)  X Turunan yang lebih tinggi Turunan fungsi dalam bentuk parameter Jika X = f(x) dan Y = g(x), maka

APLIKASI TURUNAN PERTAMA Menentukan gradien/slope garis singgung Y – Y 1 = m (X – X 1 )  m = Y’ Menentukan koordinat titik stasioner  Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien 0  f’(x) = 0  Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner. Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun  Monoton naik :  X > 0   Y > 0  Monoton turun :  X > 0   Y < 0 Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan cara L’Hopital

APLIKASI TURUNAN KEDUA Menentukan bentuk kurva  Cekung ke atas (concave upward) : Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0  Cekung ke bawah (concave downward) : Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0 Menentukan titik belok dan titik sadel  Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya  Syarat : Y” = f”(x) = 0  Titik Belok : untuk X = 0  Y’ = 0, Y” = 0  Titik Sadel : untuk X = 0  Y’ ≠ 0, Y” = 0

CONTOH SOAL Diketahui fungsi Y = X 3 – 3X 2 – 9X + 22, tentukan : 1. Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 2. Koordinat titik esktrim (maks/min) 3. Koordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Analisis marginal  Laju pertumbuhan  Menghitung Marginal Revenue (MR) dan Marginal Cost (MC) MR = TR’MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Harga Ekstrim  Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0  Laba maksimum (rugi minimum),   = TR – TC  ’ = 0  MR = MC  Output optimum Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum AC minimum  AC’ = 0  AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Elastisitas  Mengukur perubahan suatu variabel akibat perubahan variabel lain  Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed), penawaran (Es), dll  Perhitungan elastisitas : Elastisitas Titik (Point Elasticity) Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

CONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan TC = Q Q Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC, AVC, dan AFC ketika Q = Hitung TR maksimum 3. Hitung laba maksimum/rugi minimum 4. Hitung output optimum 5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100