© STMIK-Indonesia 2012 SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN TEKNIK KOMPUTER INDONESIA KALKULUS PROPOSISI 1 DosenAlbaar Rubhasy, S.Si., M.T.I. Mata KuliahLogika Matematika Pertemuan2 Tanggal

STMIK Indonesia © 2012 Pokok Pembahasan Operator Boolean Formula Proposisi Interpretasi 2

STMIK Indonesia © 2012 Kalkulus Proposisi Logics: bahasa formal untuk merepresentasikan fakta sedemikian sehingga kesimpulan (fakta baru, jawaban) dapat ditarik. Propositional logic atau kalkulus proposisi adalah logic yang paling sederhana karena hanya terdiri dari proposisi/kalimat saja. Yang ditinjau dari kalkulus proposisi adalah semantik atau nilai kebenaran dari suatu kalimat. 3

STMIK Indonesia © 2012 Review: Syntax dan Semantic KRL Bahasa Aritmatika: – Syntax: x + 2 ≥ y adalah kalimat sah. x2 + y ≥ bukan kalimat sah. – Semantics: x + 2 ≥ y benar  bilangan x + 2 tidak lebih kecil dari bilangan y: x + 2 ≥ y benar dalam “dunia” di mana x = 7, y = 1 x + 2 ≥ y salah dalam “dunia” di mana x = 0, y = 6 KRL Bahasa Indonesia: – Syntax: “Jakarta adalah ibukota Indonesia” adalah kalimat sah. “Ibu Indonesia kota Jakarta adalah” bukan kalimat sah. – Semantics: “X adalah ibukota Y” benar  X adalah pusat pemerintahan negara Y. “Jakarta adalah ibukota Indonesia” benar dalam “dunia” kita sekarang. “Jakarta adalah ibukota Indonesia” salah dalam “dunia” th (Yogya? Bukittinggi?). 4

STMIK Indonesia © 2012 Definisi Kalkulus Proposisi Kalimat dalam Kalkulus Proposisi terdiri dari simbol-simbol: – Simbol kebenaran: TRUE dan FALSE – Simbol kalimat: A, B, C, D,... – Simbol variabel: p, q, r, s,... Kalimat pada Kalkulus Proposisi dibentuk dengan penghubung logik: 1.NOT (  ) 2.AND (  ) 3.OR (  ) 4.IF-THEN (  ) 5.IF-AND-ONLY-IF (  ) Operasi pada kalimat proposisi didasarkan pada urutan prioritas penghubung logiknya. 5

STMIK Indonesia © 2012 Prioritisasi Penghubung Logik Contoh: jika diberikan kalimat A:  p  q   r Maka penyelesaian operasi kalimat A adalah ((  p)  q)  (  r) bukan  (p  q)  (  r) 6

STMIK Indonesia © 2012 Aturan Kalimat Kalkulus Proposisi Kalimat dibentuk dalam aturan-aturan berikut: 1.Setiap proposisi adalah kalimat, 2.Jika F adalah kalimat, maka negasi (  F) adalah kalimat, 3.Jika F dan G adalah kalimat, maka konjungsi (F  G) adalah kalimat, 4.Jika F dan G adalah kalimat, maka disjungsi (F  G) adalah kalimat, 5.Jika F dan G adalah kalimat, maka implikasi (F  G) adalah kalimat. F disebut sebagai antisenden dan G sebagai konsekuen, 6.Jika F dan G adalah kalimat, maka ekivalensi (F  G) adalah kalimat. F disebut sebagai left-hand-side dan G sebagai right- hand-side dari ekivalensi. 7 Jika suatu kalimat tidak mengikuti aturan kalimat di atas, maka dapat dikatakan bahwa kalimat tersebut tidak sah!

STMIK Indonesia © 2012 Subkalimat pada Kalkulus Proposisi Kalimat-kalimat yang digunakan untuk membangun kalimat lain yang lebih kompleks, menggunakan salah satu aturan di atas dinamakan subkalimat dari kalimat tsb. Subkalimat dari kalimat A adalah: Setiap kalimat antara, yang dipakai untuk membangun kalimat A termasuk kalimat A itu sendiri. 8

STMIK Indonesia © 2012 Latihan Diberikan kalimat E : (  (p  q))  ((  p)  (  q)) a.Apakah E merupakan kalimat? b.Cari subkalimat dari E! 9

STMIK Indonesia © 2012 Jawaban Diketahui ekspresi E : (  (p  q))  ((  p)  (  q)) a.E adalah kalimat b.Subkalimat dari E ada 8: p, q, (p or q), (not p), (not q), not (p or q), (not p) and (not q), ((not (p or q)) if and only if ((not p) and (not q))) 10

STMIK Indonesia © 2012 Interpretasi Interpretasi I untuk kalimat A adalah pemberian nilai kebenaran true atau false, untuk setiap kumpulan simbol kalimat A tsb. Untuk sebarang kalimat A, interpretasi I disebut sebagai interpretasi untuk A jika I memberikan nilai kebenaran untuk setiap variabel proposisi yang muncul pada kalimat A. 11

STMIK Indonesia © 2012 Contoh Interpretasi Diberikan kalimat F : p  (  q) Ada beberapa macam interpretasi yang dapat diberikan untuk F: – I 1 : p  false q  true – I 2 : p  false q  false – I 3 : p  false – I 4 : p  false q  true r  true 12 Dapat disimpulkan bahwa I 3 bukan interpretasi yang sah untuk F karena ada variabel yang tidak memiliki interpretasi. Sedangkan I 1, I 2, dan I 4 merupakan interpretasi walaupun pada I 4 ada variabel yang tidak muncul pada F.

STMIK Indonesia © 2012 Aturan Semantik Jika E berupa kalimat dan I adalah intepretasi dari E, maka nilai kebenaran dari E (dan semua subkalimatnya) dengan interpretasi I ditentukan dengan melakukan pengulangan aturan-aturan semantik berikut ini : Aturan Proposisi Nilai kebenaran dari setiap simbol proposisi p, q, r, … dalam E adalah sama dengan nilai kebenaran yang diberikan untuk I Aturan TRUE Kalimat true adalah true untuk I Aturan FALSE Kalimat false adalah false untuk I 13

STMIK Indonesia © 2012 Aturan Semantik Aturan NOT Negasi kalimat : not F adalah true jika F adalah false dan false jika F adalah true Aturan AND Konjungsi F and G adalah true jika F dan G keduanya benar, dan false jika sebaliknya (yaitu jika F false atau G false) Aturan OR Disjungsi F or G adalah true jika F true atau jika G true, dan false jika keduanya false 14

STMIK Indonesia © 2012 Aturan Semantik Aturan IF-THEN Implikasi if F then G adalah true jika F false atau jika G true dan false jika F true dan G false Aturan IF-AND-ONLY-IF Ekivalensi F if and only if G adalah true jika nilai kebenaran F adalah sama dengan nilai kebenaran G, sebaliknya false jika memiliki nilai kebenaran keduanya berbeda. 15

STMIK Indonesia © 2012 Contoh Semantik dalam Kalkulus Proposisi Diberikan sebuah kalimat: A : (x  (  y))  ((  x)  z) Dengan interpretasi I untuk A adalah: I: x  true y  false z  false Nilai kebenaran berdasarkan aturan semantik: – y  false, berdasarkan aturan not, (  y)  true – x  true, berdasarkan aturan and, (x  (  y))  true – x  true, berdasarkan aturan not, (  x)  false – (  x)  false dan z  false, berdasarkan aturan or, ((  x)  z)  false – (x  (  y))  true dan ((  x)  z)  false, berdasarkan aturan if-then, (x  (  y))  ((  x)  z)  false 16

STMIK Indonesia © 2012 Penentuan Nilai Kebenaran dengan Tabel Kebenaran Diberikan kalimat: S: (p  q)  (p  (  r)) Tentukan nilai kebenaran kalimat A dengan menggunakan tabel kebenaran 17 pqr p  q rrp  (  r)(p  q)  (p  (  r)) FFFFTTT FFTFFFT FTFFTTT FTTFFFT TFFFTTT TFTFFTT TTFTTTT TTTTFTT

STMIK Indonesia © 2012 Tugas 1 (Tugas ditulis tangan dan dikumpulkan pada pertemuan ke-3) a.Periksa keabsahan kalimat berikut: 1)a  b  a  b 2)a  b  c  3)  a  b  c 4)a  b  b 5)a  b  c Jika sah, tentukan: a.Penyelesaian operasi kalimatnya (prioritisasi penghubung logik) b.Nilai kebenaran kalimat (menggunakan tabel kebenaran) 18