1. PENDAHULUAN

1.1 Definisi Metode Numerik Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali dan bagi. Alasan pemakaian metode numerik Tidak semua permasalahan matematis dapat diselesaikan dengan metode analitik. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit.

Contoh 1.1 a) Menentukan akar-akar dari persamaan polinomial, 30,2 x7 + 1,25x5 – 100x4 + 15x3 – 64x2 – x + 31 = 0 b) Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan, c) Menentukan nilai integral tentu

1.2 Perbedaan Metode Analitik dan Metode Numerik Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka. Sedangkan pada metode analitik biasanya dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya dapat dievaluasi utk menghasilkan nilai dalam bentuk angka atau numerik. 2. Solusi dari metode numerik menghasilkan solusi hampiran. Sedangkan metode analitik menghasilkan solusi sejati. 1.3 Definisi Hampiran dan Galat Hampiran / pendekatan / aproksimasi (approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sejati (exact solution) Galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran.

Tentukan solusi dari persoalan integrasi-tentu berikut Contoh 1.2 Tentukan solusi dari persoalan integrasi-tentu berikut dengan menggunakan metode numerik. Penyelesaian Sebelum menentukan solusi menggunakan metode numerik, pertama-tama kita tentukan solusi dengan metode analitik untuk mendapatkan nilai sejati.

Solusi analitik dalam bentuk fungsi matematik Nilai numerik dengan cara mengevaluasi fungsi matematik untuk batas integral x = 0 dan x = 2. Solusi dengan metode numerik. Kita telah mengetahui bahwa proses integrasi f(x) dari x = a sampai x = b merupakan luas bidang yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a, dan garis x = b.

Untuk mencari luas bidang yg dimaksud, kita bagi bidang menjadi beberapa trapesium, seperti gambar berikut. y a b c d x –1 1/2 1 3/2 2 3

Luas bidang yang akan dicari = a + b + c + d 1/2 2 –1 3/2 1 3 y x d c b a

Luas bidang yang akan dicari = a + b + c + d 1/2 2 –1 3/2 1 3 y x d c b a

Solusi hampiran = a + b + c + d = 27/16 + 31/16 + 31/16 + 27/16 = 116/16 = 29/4 Galat = solusi sejati – solusi hampiran = 22/3 – 29/4 = 1/12 Galat solusi hampiran dapat diperkecil dengan jalan memperkecil ukuran lebar trapesium, sehingga jumlah trapesium lebih banyak. Walapun metode numerik menghasilkan solusi hampiran, akan tetapi tingkat akurasinya dapat ditingkatkan dengan mengubah ukuran parameter.

2. ATURAN PEMBULATAN DAN ANGKA SIGNIFIKAN

2.1 Angka Bena atau Angka Penting atau Angka Signifikan (Significan Figure) Angka signifikan adalah jumlah angka yang digunakan sebagai batas minimal tingkat keyakinan. Angka signifikan terdiri dari angka pasti dan angka tafsiran. Angka tafsiran terletak pada akhir angka signifikan Contoh : 27,63 (angka 3 adalah angka tafsiran) Semua angka yang bukan nol adalah angka signifikan. Contoh : 14,256 ( 5 angka signifikan). Semua angka nol yang terletak di antara angka-angka bukan nol adalah angka signifikan. Contoh : 7000,2003 ( 9 angka signifikan).

Contoh: 23,50000 (7 angka signifikan). Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda desimal adalah angka signifikan. Contoh: 23,50000 (7 angka signifikan). Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol terakhir dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka signifikan. Contoh: 3500000 (2 angka signifikan). Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan merupakan angka signifikan. Contoh: 0,0000352 (3 angka signifikan). Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir tapi terletak di depan tanda desimal adalah angka signifikan Contoh : 7000, (5 angka signifikan)

Untuk menunjukkan jumlah angka signifikan, kita dapat memberi tanda pada angka yang merupakan batas angka signifikan dengan garis bawah, garis atas, atau cetak tebal. Contoh 1256 adalah bilangan yang mempunyai 4 angka signifikan 1256  adalah bilangan yang mempunyai 3 angka signifikan

Contoh 2.1 43,123 memiliki 5 angka signifikan (yaitu 4, 3, 1, 2, 3) (1360), (1,360), (0,001360) semuanya memiliki 4 angka signifikan.

Perhatikanlah bahwa angka 0 bisa menjadi angka signifikan atau bukan. Misal pada bilangan 0.001360, tiga buah angka nol pertama merupakan angka tidak signifikan, sedangkan 0 yang terakhir adalah angka signifikan. Pengukuran dilakukan sampai ketelitian 4 digit. Jumlah angka signifikan akan terlihat dengan pasti bila bilangan ditulis dalam penulisan ilmiah (scientific notation), misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau ukuran jarak dalam astronomi.

Contoh 2.2 4,3123 x 101 memiliki 5 angka signifikan 1,764 x 10-1 memiliki 4 angka signifikan 1,2 x 10-6 memiliki 2 angka signifikan 2,78300 x 102 memiliki 6 angka signifikan 0,2700090 x 103 memiliki 7 angka signifikan 9,0 x 10-3 memiliki 2 angka signifikan (13,60 x 102), (0,1360 x 101), (1,360 x 10-3) memiliki 4 angka signifikan 6,02 x 1023 (bilangan Avogadro) memiliki 24 angka signifikan 1,5 x 107 memiliki 8 angka signifikan (jarak bumi-matahari)

Contoh 2.4 Tulis bilangan berikut menjadi 3 angka signifikan. a) 2397,63 b) 17784, 9114 Penyelesaian a) 2397,63 ditulis menjadi 2390 b) 17784, 9114 ditulis menjadi 17800

Latihan: Berapa jumlah angka signifikan dari bilangan berikut? a) 85 b) 3600 c) 97,0 d) 8,00 d) 0,67 x 102 e) 0,57000 f ) 0,00570 2. Bulatkan bilangan berikut menjadi tiga bilangan signifikan! a) 9,765 b) 0,57342 x 103 c) 61,675

Cara menulis bilangan dalam notasi scientific Notasi scientific digunakan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Bentuk umum notasi scientific adalah n x 10x atau n Ex atau n ex dengan 1 n < 10 dan x bilangan integer Contoh 2.3 Tulis bilangan 0,00243 dan 729752000 ke dalam notasi Scientific Penyelesaian 0,00243 = 2,43 x 10–3 = 2,43 E–3 = 2,43 e–3 7297520000 = 7,29752 x 109 = 7,29752E+9 = 7,29752e–3

Operasi aritmatika bilangan dalam notasi scientific Penjumlahan dan Pengurangan Langkah pertama untuk melakulan proses penjumlahan atau pengurangan bilangan dalam notasi scientific adalah dengan menyamakan eksponen masing-masing bilangan, sehingga didapat (n x 10a) + (m x 10a) = (n + m) x 10a (n x 10a) – (m x 10a) = (n – m) x 10a Jika eksponen bilangan yang akan dijumlahkan atau Dikurangan belum sama, maka harus disamakan dengan cara Menggeser angka desimal dari salah satu bilangan. Contoh (3.2 x 105) + (5.1 x 104) = (3.2 x 105) + (0.51 x 105) = 3.71 x 105

Perkalian Bentuk umum dari proses perkalian bilangan dalam notasi scientific adalah (n x 10a)(m x 10b) = (nm) x 10a+b Contoh (3.2 x 105)(5.12 x 104) = 16,384 x 109 =1,6384 x 109

Pembagian Bentuk umum dari proses pembagian bilangan dalam notasi scientific adalah Contoh Selesaikan Penyelesaian

Latihan: Tulis bilangan berikut dalam notasi scientific? a) 0,00049878 b) 36000000 2. Selesaikan! a) (4.5 x 10–4)  (5.2 x 103) = ?

2.2 Aturan Pembulatan Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka signifikan dan membuang angka tidak signifikan dengan mengituki aturan-aturan berikut: a) Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka tidak signifikan. Contoh Empat angka signifikan dari bilangan 16,7321 adalah 1 6 , 7 3 2 1 Angka signifikan Angka tidak signifikan

b) Jika digit pertama dari angka tidak signifikan lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan. Contoh Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,5 c) Jika digit pertama dari angka tidak signifikan lebih kecil dari 5, maka buang bilangan yang tidak signifikan. Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,67

d) Jika digit pertama dari bilangan bukan angka signifikan sama dengan 5, maka: Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan. Contoh Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 37,8 Jika digit terakhir dari angka signifikan genap, maka buang angka tidak signifikan. Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 79,8

2.3 Ketentuan-ketentuan pada Operasi Aritmatika Angka Signifikan 2.3.1 Penjumlahan dan pengurangan "Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakang koma sebanyak angka di belakang koma paling sedikit pada bilangan pada penjumlahan atau pengurangan". Contoh 2.5 2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68) 34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48) 40,55 + 3,1 + 10,222 = 53,872 (dibulatkan menjadi 53,9) 14,2294 – 2,37 = 11,8594 (dibulatkan menjadi 11,86)

2.3.2 Perkalian dan pembagian: "Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai angka signifikan sebanyak bilangan dengan angka signifikan paling sedikit". Contoh 2.6 (32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095 Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2 (2 angka signifikan). Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dapat dibulatkan menjadi 33 (2 angka signifikan).

Contoh 2.7 Tulis hasil perkalian dan pembagian berikut dalam jumlah angka signifikan yang benar. a) 32,2 x 7,1 = 228,62 b) 3,34 x 444,76 = 1485,4984 c) 84,22  2,1 = 40,1048 d) 76,3  4, 88888 = 15,668 e) 67,3333 x 2,5 x 3,555555 = 598,5181 Penyelesaian a) 228,62 ditulis menjadi 230 b) 1485,4984 ditulis menjadi 1480 c) 40,1048 ditulis menjadi 4,0 x 101 d) 15,668 ditulis menjadi 15,7 e) 598,5181 ditulis menjadi 6,0 x 102

2.3.3 Kombinasi Perkalian dan/atau pembagian dengan Penjumlahan dan/atau Pengurangan Jika terdapat kombinasi operasi aritmatika seperti: atau maka hasil operasi aritmatika di dalam kurung harus dibulatkan terlebih dahulu sebelum melakukan operasi selanjutnya.

Contoh 8 Selesaikan [15,2 x (2,8 x 10–4 )] + [(8,456 x 10–4)  0,177] [4,256 x 10–3 ] + [4,7774011… x 10–3] Bulatkan besaran-besaran di dalam kurung [4,3 x 10–3 ] + [4,78 x 10–3] 9,08 x 10–3 Bulatkan 9,1 x 10–3 Latihan