Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y

PD Serentak (Simultan) f 1 (D)y + g 1 (D)z = h 1 (x) f 2 (D)y + g 2 (D)z = h 2 (x) PD: ∆y = ∆1 dan ∆z = ∆2 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 PD: Dy – z = e x y + (D+2)z = 0 Δy = Δ1  (D 2 + 2D +1) y= 3e x yc = e -x (c 1 +c 2 x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 (Lanjutan) PUPD: y = y c + y p  y = e -x (c 1 + c 2 x) + ¾ e x Δz = Δ2  (D 2 + 2D +1)z = -e x z c = e -x (c 3 +c 4 x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1 PUPD: z = z c + z p  z = e -x (c 3 + c 4 x) -1/4e x

Example 1 (Lanjutan) y dan z masuk ke PD D[e -x (c 1 + c 2 x) + ¾ e x ]- [e -x (c 3 + c 4 x) -1/4e x ]=e x -e -x (c 1 + c 2 x) + e -x c 2 + ¾ e x -e -x c 3 - e -x c 4 x + 1/4e x = e x e -x x (-c 2 - c 4 ) + e -x (-c 1 + c 2 - c 3 ) = 0 -c 2 - c 4 = 0  c 2 = - c 4 -c 1 + c 2 - c 3 = 0  c 3 = -c 1 + c 2 PUPD: y = y c + y p  y = e -x (c 1 + c 2 x) + ¾ e x PUPD: z = z c + z p  z = e -x ((-c 1 + c 2 ) – c 2 x) -1/4e x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 2 PD: (D+2)y = z (D+1)z = 2y (D+2)y – z = 0 -2y + (D+1)z = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1 = D 2 + 3D

Example 2 (Lanjutan) Δy = Δ1  (D 2 + 3D) y= 0 y c = c 1 +c 2 e -3x Δz = Δ2  (D 2 + 3D) z= 0 z c = c 3 +c 4 e -3x y dan z masuk ke PD (D+2)y – z = 0 (D+2) (c 1 +c 2 e -3x ) – (c 3 +c 4 e -3x ) = 0 D(c 1 +c 2 e -3x ) + 2c 1 + 2c 2 e -3x – c 3 - c 4 e -3x = c 2 e -3x + 2c 1 + 2c 2 e -3x – c 3 - c 4 e -3x = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

e -3x (-3c 2 + 2c 2 - c 4 ) + (2c 1 – c 3 ) = 0 -c 2 - c 4 = 0  c 2 = -c 4 2c 1 – c 3 = 0  2c 1 = c 3 PUPD: y = c 1 + c 2 e -3x PUPD: z = 2c 1 - c 2 e -3x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

PD Euler (ax+b) 2 y” + p(ax+b)y’ + qy = f(x); a, b, p, q konstan Substitusi: ax+b = e t  t = ln (ax+b) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 (2x+1) 2 y” – 2(2x+1)y’ – 12y = 6x Subst: 2x+1 = e t  t=ln(2x+1) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Example 1 (Lanjutan) (4D 2 – 8D – 12)y = 3e t - 3 PR: (4D 2 – 8D – 12)y = 0 PK : 4k 2 – 8k – 12 = 0 k 2 – 2k – 3 = 0 (k-3)(k+1) = 0 k = 3 dan k = -1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

y c = c 1 e -t + c 2 e 3t PUPD: y = y c + yp = c 1 e -t + c 2 e 3t -3/16e t + ¼ = c 1 (2x+1) -1 + c 2 (2x+1) 3 - 3/16(2x+1) + ¼ Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Aplikasi Bidang T. Sipil Pada struktur dinamik dikenal adanya getaran. Persamaan umum getaran pada struktur dinamik : - perpindahan (x) - kecepatan - percepatan Sistem getaran dibagi menjadi 4: 1. Getaran bebas 2. Getaran bebas dan teredam 3. Getaran terpaksa 4. Getaran teredam & terpaksa Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Sistem getaran dibagi menjadi 4: 1. Getaran bebas 2. Getaran bebas dan teredam 3. Getaran terpaksa 4. Getaran teredam & terpaksa Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Getaran Terpaksa my” + ky = Fo cos ωt y c = e 0t (c 1 cos ω 0 t + c 2 sin ω 0 t ) y p = B1 cos ωt + B2 sin ωt y’ p = -B1 ω sin ωt + B2 ω cos ωt y” p = -B1 ω 2 cos ωt - B2 ω 2 sin ωt m (-B1 ω 2 cos ωt - B2 ω 2 sin ωt) + k (B1 cos ωt + B2 sin ωt) = Fo cos ωt B1 (k-m ω 2 ) cos ωt + B2(k-m ω 2 ) sin ωt = Fo cos ωt B1 (k-m ω 2 ) = Fo B1 = Fo/ k-m ω 2 B2(k-m ω 2 ) = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

PUPD: y = c 1 cos ω 0 t + c 2 sin ω 0 t + (Fo/ k-m ω 2 )cos ωt Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Getaran Terpaksa & Teredam my” + cy’ + ky = Fo sin ωt y c = ?? y p = B1 cos ωt + B2 sin ωt y’ p = -B1 ω sin ωt + B2 ω cos ωt y” p = -B1 ω 2 cos ωt - B2 ω 2 sin ωt m(-B1 ω 2 cos ωt - B2 ω 2 sin ωt)+c(-B1 ω sin ωt + B2 ω cos ωt ) + k (B1 cos ωt + B2 sin ωt) = Fo sin ωt B1 = [(k-m ω 2 ) Fo] / [(k-m ω 2 ) 2 + (c ω) 2 ] B2 = [-c ω Fo] / [(k-m ω 2 ) 2 + (c ω) 2 ] Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

Finish!!!! Bertemu di Integral Rangkap