BAB 6 KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

KOMBINATORIAL (COMBINATORIC) : ADALAH CABANG MATEMATIKA YANG MEMPELAJARI PENGATURAN OBJEK- OBJEK. ADALAH CABANG MATEMATIKA YANG MEMPELAJARI PENGATURAN OBJEK- OBJEK. SOLUSI YANG INGIN KITA PEROLEH DGN KOMBINATORIAL INI JUMLAH CARA PENGATURAN OBJEK-OBJEK TERTENTU DI DALAM HIMPUNANNYA. SOLUSI YANG INGIN KITA PEROLEH DGN KOMBINATORIAL INI JUMLAH CARA PENGATURAN OBJEK-OBJEK TERTENTU DI DALAM HIMPUNANNYA.

KAIDAH DASAR MENGHITUNG : 1. KAIDAH PERKALIAN (RULE OF PRODUCT) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yg mgkn terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yg mgkn terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka terdapat p x q hasil percobaan.

2. Kaidah Penjumlahan (rule of sum) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yg mgkn terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yg mgkn terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila hanya satu percobaan saja yg dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2), terdpt p + q kemungkinan hsl percobaan yg mgkn terjadi.

PERMUTASI DEFINISI : DEFINISI : PERMUTASI ADALAH JUMLAH URUTAN BERBEDA DARI PENGATURAN OBJEK- OBJEK. PERMUTASI ADALAH JUMLAH URUTAN BERBEDA DARI PENGATURAN OBJEK- OBJEK. JUMLAH SUSUNAN YG BERBEDA DARI PEMILIHAN r OBJEK YG DIAMBIL DARI n OBJEK DISEBUT PERMUTASI-r, P(n,r), YAITU : JUMLAH SUSUNAN YG BERBEDA DARI PEMILIHAN r OBJEK YG DIAMBIL DARI n OBJEK DISEBUT PERMUTASI-r, P(n,r), YAITU : P(n,r) = n(n-1)(n-2)…(n-(r-1)) = n!/(n-r)! P(n,r) = n(n-1)(n-2)…(n-(r-1)) = n!/(n-r)!

DEFINISI KOMBINASI : Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yg tdk terurut r elemen yg diambil dari n buah elemen. Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yg tdk terurut r elemen yg diambil dari n buah elemen. Rumus kombinasi : Rumus kombinasi : C(n,r) = n!/r!(n-r)!

KOMBINASI DENGAN PENGULANGAN C(n + r – 1, r) adalah jumlah kombinasi yg membolehkan adanya pengulangan elemen, yaitu dari n objek kita akan mengambil r buah objek, dgn pengulangan diperbolehkan. C(n + r – 1, r) adalah jumlah kombinasi yg membolehkan adanya pengulangan elemen, yaitu dari n objek kita akan mengambil r buah objek, dgn pengulangan diperbolehkan. Perhatikan C(n + r – 1, r) = C(n + r – 1, n – 1) Perhatikan C(n + r – 1, r) = C(n + r – 1, n – 1)

KOEFISIEN BINOMIAL Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan adalah : Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan adalah : 1. Suku pertama adalah, sedangkan suku terakhir adalah. 1. Suku pertama adalah, sedangkan suku terakhir adalah. 2. Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu sedangkan pangkat y bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n. 2. Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu sedangkan pangkat y bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n. 3. Koefisien untuk, yaitu suku ke-(k+1), adalah C(n,k). Bilangan C(n, k) disebut koefisien binomial. 3. Koefisien untuk, yaitu suku ke-(k+1), adalah C(n,k). Bilangan C(n, k) disebut koefisien binomial. Kesimpulan : Kesimpulan :

PRINSIP SARANG BURUNG MERPATI (PIGEON HOLE PRINCIPLES) In mathematics, the pigeonhole principle, also known as Dirichlet's box (or drawer) principle, is exemplified by such things as the fact that in a family of three children there must be at least two of the same gender. This principle states that, given two natural numbers n and m with n > m, if n items are put into m pigeonholes, then at least one pigeonhole must contain more than one item. Another way of stating this would be that m holes can hold at most m objects with one object to a hole; adding another object will force one to reuse one of the holes, provided that m is finite. In mathematics, the pigeonhole principle, also known as Dirichlet's box (or drawer) principle, is exemplified by such things as the fact that in a family of three children there must be at least two of the same gender. This principle states that, given two natural numbers n and m with n > m, if n items are put into m pigeonholes, then at least one pigeonhole must contain more than one item. Another way of stating this would be that m holes can hold at most m objects with one object to a hole; adding another object will force one to reuse one of the holes, provided that m is finite.natural numbersitemspigeonholesnatural numbersitemspigeonholes

EXAMPLES : An introductory example of the pigeonhole principle is to imagine five people who want to play softball (n = 5 items), with a limitation of only four softball teams (m = 4 holes) to choose from. A further limitation is imposed in the form of each of the five refusing to play on a team with any of the other four players. It is impossible to divide five people among four teams without putting two of the people on the same team, and since they refuse to play on the same team, by asserting the pigeonhole principle it is easily deducible that at most four of the five possible players will be able to play. An introductory example of the pigeonhole principle is to imagine five people who want to play softball (n = 5 items), with a limitation of only four softball teams (m = 4 holes) to choose from. A further limitation is imposed in the form of each of the five refusing to play on a team with any of the other four players. It is impossible to divide five people among four teams without putting two of the people on the same team, and since they refuse to play on the same team, by asserting the pigeonhole principle it is easily deducible that at most four of the five possible players will be able to play. Assuming that in a box there are 10 black socks and 12 blue socks, calculating the minimum number of socks needed to be drawn from the box before a pair of the same colour can be made can be considered a further example. Using the pigeonhole principle, to have at least one pair of the same colour (m = 2 holes, one per colour) using one pigeonhole per colour, you need only three socks (n = 3 items). In this example, if the first and second sock drawn are not of the same colour, the very next sock drawn would complete at least one same-colour pair. (m = 2) Assuming that in a box there are 10 black socks and 12 blue socks, calculating the minimum number of socks needed to be drawn from the box before a pair of the same colour can be made can be considered a further example. Using the pigeonhole principle, to have at least one pair of the same colour (m = 2 holes, one per colour) using one pigeonhole per colour, you need only three socks (n = 3 items). In this example, if the first and second sock drawn are not of the same colour, the very next sock drawn would complete at least one same-colour pair. (m = 2)

PELUANG DISKRIT Himpunan semua kemungkinan hsl percobaan dinamakan RUANG CONTOH (SAMPLE SPACE) dari percobaan yg bersangkutan. Himpunan semua kemungkinan hsl percobaan dinamakan RUANG CONTOH (SAMPLE SPACE) dari percobaan yg bersangkutan. Setiap hasil percobaan di dalam ruang contoh disebut TITIK CONTOH (SAMPLE POINT) Setiap hasil percobaan di dalam ruang contoh disebut TITIK CONTOH (SAMPLE POINT) Hasil-hasil percobaan tsb bersifat saling terpisah (mutually exclusive), karena dari seluruh ruang contoh, hanya satu ttk contoh yg muncul. Hasil-hasil percobaan tsb bersifat saling terpisah (mutually exclusive), karena dari seluruh ruang contoh, hanya satu ttk contoh yg muncul.

Ruang contoh yg jlh anggotanya terbatas disebut ruang contoh diskrit (discrete sample space) Ruang contoh yg jlh anggotanya terbatas disebut ruang contoh diskrit (discrete sample space) Peluang terjadinya sebuah ttk contoh dinamakan peluang diskrit dan simbolnya p(x i ) Peluang terjadinya sebuah ttk contoh dinamakan peluang diskrit dan simbolnya p(x i )

Sifat-Sifat Peluang Diskrit : 1. 0 ≤ p(x i ) ≤ 1, yaitu nilai peluang adalah bilangan tdk negatif dan selalu lebih kecil atau sama dgn 1. 2., yaitu jumlah peluang semua ttk contoh di dalam ruang contoh S adalah 1.

Kejadian (event) Disimbolkan E, adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Disimbolkan E, adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Contoh : pada percobaan melempar dadu, kejadian munculnya angka ganjil adalah Contoh : pada percobaan melempar dadu, kejadian munculnya angka ganjil adalah E = {1, 3, 5}, kejadian munculnya angka 1 adalah E = {1} Kejadian yg hanya mengandung satu ttk contoh disebut kejadian sederhana (simple event) Kejadian yg hanya mengandung satu ttk contoh disebut kejadian sederhana (simple event)

Kejadian yg mengandung lebih dari satu ttk contoh disebut kejadian majemuk (compound event) Kejadian yg mengandung lebih dari satu ttk contoh disebut kejadian majemuk (compound event) Peluang kejadian E di dalam ruang contoh S (atau dpt diartikan jumlah peluang semua ttk contoh di dlm E) yaitu : Peluang kejadian E di dalam ruang contoh S (atau dpt diartikan jumlah peluang semua ttk contoh di dlm E) yaitu :