VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN BAB II DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN

Variabel Random (Acak) Didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel acak adalah variabel yang nilai- nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam ruang sampel. Variabel acak biasanya menghubungkan nilai- nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan.

Variabel Random (Acak) Misalnya, pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali maka munculnya angka 1 sebanyak 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 kali merupakan suatu kesempatan.

Variabel Random (acak) dapat dibedakan atas : Variabel acak diskrit (hasil perhitungan) Variabel Acak Kontinu (hasil pengukuran)

Variabel Random (Acak) Diskrit Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yg umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek. Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak pecahan.

Variabel Random (Acak) Diskrit Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah. 1 2 3 4 5 6

Variabel Random (Acak) Diskrit Contoh: Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah koin (uang logam). Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

Contoh soal: Dua buah kotak masing-masing berisi 4 bola yang berisikan angka 1,2,3,4. Dari kotak I dan II masing-masing diambil sebuah bola secara random. Tentukan nilai dari variabel random yang menyatakan jumlah kedua angka pada bola yang terambil! Penyelesaian: Dari pengambilan bola pada kotak I dan II, diperoleh titik sampel sebanyak 16. Jika Y menyatakan jumlah kedua angka pada bola yang terambil maka: Y(1 , 1) = 2 Y(1 , 2) = 3 Y(1 , 3) = 4 dan seterusnya. Sehingga, daerah hasil dari variabel random Y adalah Ry = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Contoh-contoh variabel Diskrit Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai V. Acak Penjualan Mobil Jenis kelamin Pembeli 0 : Jika Wanita 1 : Jika Pria Penelitian thdp 50 produk baru Jumlah produk yang rusak 0,1,2,3……50

Variabel Random (Acak) Kontinu Variabel Acak Kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval, atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan.

Variabel Random (Acak) Kontinu Variabel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membentuk suatu garis lurus sbb : 6 Nilai variabel random kontinu dapat terjadi dimanapun dalam interval itu

Variabel Random (Acak) Kontinu Contoh: Usia penduduk suatu daerah. Panjang beberapa helai kain.

Diameter kawat baja tidak boleh kurang dari Contoh soal: Pada label kawat baja, tertulis diameter 2 ± 0,0005 mm. Tentukan nilai dari variabel random yang menunjukkan diameter kawat tersebut! Penyelesaian: Diameter kawat baja tidak boleh kurang dari 2 – 0,0005 mm = 1,9995 mm dan tidak boleh lebih dari 2 + 0,0005 mm = 2,0005 mm, sehingga daerah hasil dari variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤ x ≤ 2,0005, x bilangan real}.

Contoh variabel kontinu Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai-nilai Variabel Acak Membangun Proyek perkantoran baru setelah 6 bulan Prosentasi proyek yang diselesaikan

PENGERTIAN DAN JENIS-JENIS DISTRIBUSI TEORETIS. 1.Pengertian Distribusi Teoretis. Distribusi teoretis atau distribusi probabilitas teoretis adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan, atau distribusi yang frekuensinya diperoleh secara matematis (perhitungan).

Contoh Distribusi Teoretis : Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoretisnya dan gambarkan grafiknya.

Contoh Distribusi Teoretis : Penyelesaian: Dari pelemparan tsb. akan diperoleh ruang sampel dengan anggota sebanyak 8 (n = 8), yaitu: S = {AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BBA, BAB, BBB} Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A) maka; Untuk AAA, didapat X = 3 Untuk AAB, didapat X = 2 Untuk ABA, didapat X = 2 Untuk BAA, didapat X = 2 Untuk ABB, didapat X = 1 Untuk BBA, didapat X = 1 Untuk BAB, didapat X = 1 Untuk BBB, didapat X = 0 Dengan demikian: X = {0, 1, 2, 3}

Contoh Distribusi Teoretis : Jika setiap nilai X dicari nilai probabilitasnya, maka distribusi teoritisnya adalah seperti tabel berikut: Tabel 2.2 Hasil Pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali X P(X) 1 2 3 0,125 0,375 Jumlah 1,000 Gambar 2.2 Grafik batang distribusi teoritis Pelemparan uang logam 3 kali

2. Jenis-Jenis Distribusi Teoretis Berdasarkan bentuk variabelnya, distribusi teoretis dibedakan atas 2 jenis, yaitu : a. Distribusi Teoretis Diskrit. b. Distribusi Teoretis Kontinu.

a. Distribusi Teoretis Diskrit. Distribusi teoretis diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Contoh : Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak dimabil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil.

a. Distribusi Teoretis Diskrit.

a. Distribusi Teoretis Diskrit.

Distribusi yang tergolong ke dalam distribusi teoretis diskrit antara lain : Distribusi Binomial. Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson.

b. Distribusi Teoretis Kontinu Distribusi Teoretis kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Distribusi probabilitas dari variabel random kontinu disebut juga densitas atau fungsi densitas (kepadatan) dari variabel random.

b. Distribusi Teoretis Kontinu

Distribusi yang tergolong distribusi teoretis kontinu, antara lain : Distribusi Normal. Distribusi X2 Distribusi F Distribusi t.

Nilai Harapan dan Varians dari Variabel Acak Diskrit Nilai Harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil ( outcome ).

Nilai Harapan Variabel Acak Diskrit E ( X )= x = xi.f (x) atau E ( X )= x = (xi.P(x)) Dimana : Xi = nilai ke i dari variabel acak X P(xi) = probabilitas terjadinya xi

Contoh : X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) = probabilitas X = x. X 1 2 3 P(x) 0,125 0,375 Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan.

Varians dan Simpangan Baku Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu : Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2 Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x)  = Var (X)

Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama. E[h(x,y) =  h(x,y) p(x,y) dimana : h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Y p(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.

Contoh : Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut : 1 2 3 4 P(x) 0,1 0,2 0,4 q(y) Carilah nilai E (X+Y) Carilah nilai E (X) + E (Y) Carilah nilai E (XY)

Kovarians Kovarians adalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabel acak. Kovarians antara 2 variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut :

Persamaan Kovarians Dimana : Xi = nilai variabel acak X ke i Yi = nilai variabel acak Y ke i p(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi i = 1, 2, 3, …., n

DISTRIBUSI BINOMIAL Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Binomial. Distribusi Binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen. Misal : Ya-tidak, Sukses-Gagal, Kepala-Ekor, Baik-Buruk.

Ciri-ciri Distribusi Binomial Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah setiap percobaan. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi dalam percobaan lainnya. Jumlah percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Contoh : Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi, maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah : - menjawab benar, P(B) = 1/5 - menjawab salah, P(S) = 1 – 1/5 = 4/5

2. Rumus Distribusi Binomial a. Rumus Binomial suatu peristiwa. Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. P(X = x) = b (x ; n, p ) = nCx . px . qn-x dimana : nCx = koefisien binomial x = banyaknya peristiwa sukses. n = banyaknya percobaan. p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 – p ( probabilitas peristiwa gagal)

Contoh : a. Mata dadu 5 muncul 1 kali. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut : a. Mata dadu 5 muncul 1 kali. b. Mata dadu genap muncul 2 kali. c. Mata dadu 2 dan 6 muncul 4 kali.

b. Probabilitas Binomial Kumulatif. Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

Contoh : Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas : a. paling banyak 2 orang lulus. b. yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang. c. paling sedikit 4 di antaranya lulus.

3. Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial. Rata-rata (  ) = n . p Varians ( 2) = n . p . q Simpangan Baku () =

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK. Pengertian Distribusi Hipergeometrik. Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan 2 kejadian yang berkomplemen, seperti distribusi binomial.

Perbedaan Distribusi Binomial dan Distribusi Hipergeometrik, adalah : Perbedaan utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah : Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian. Pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

2. Rumus Distribusi Hipergeometrik p(x)= probabilitas x sukses dalam n percobaan n = jumlah percobaan N = jumlah elemen dalam populasi r = jumlah elemen dalam populasi yang sukses

Contoh: Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas, diketahui bahwa dari 10 mahasiswa terdapat: 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 mahasiswa bergolongan darah B, 3 mahasiswa bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapa probabilitas 1 orang bergolongan darah A, 2 orang B dan 2 orang O.

DISTRIBUSI POISSON 1. Pengertian Distribusi Poisson Distribusi Poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X, yaitu banyaknya percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

2. Rumus Distribusi Poisson Dimana : = rata-rata distribusi = 0, 1, 2, 3, …. e = konstanta 2, 71828

3. Rata-rata, Varians, dan Simpangan baku distribusi Poisson E(X) =  =  = n . p Varians: E(X - )2 =  2 = n . P Simpangan Baku :  =  n . p

Distribusi Normal 1. Pengertian dan ciri-ciri Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoretis dari variabel random kontinu. Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu. Misal : tinggi badan, berat badan, skor IQ, jumlah curah hujan, dll.

Distribusi Normal Distibusi normal merupakan distribusi kontinu yang sangat penting dalam statistik dan banyak dipakai memecahkan persoalan. Distribusi normal disebut juga Distribusi Gauss

Rumus Umum Distribusi Normal Dimana  = Rata-rata  = Simpangan baku  = 3,14159 e = 2,71828 Distribusi normal f(x) didefinisikan pada interval terbuka - < x < +

Sifat-sifat Distribusi Normal Grafik simetri terhadap garis tegak x =  Grafik selalu berada diatas sumbu X atau f (x)>0 Mempunyai satu nilai modus Grafiknya mendekati sumbu X, tetapi tidak akan memotong sumbu X, sumbu X merupakan garis batas (asimtot) Luas daerah di bawah kurva f (x) dan diatas sumbu X sama dengan 1, yaitu P (- ∞ < x < + ∞)=1

Probabilitas (a < x < b) Probabilitas distribusi normal f(x) pada interval a < x < b, ditentukan dengan memakai luas daerah di bawah kurva f(x) sebagaimana ditunjukan oleh Gambar berikut: Probabilitas P (a < x < b) ditunjukan oleh luas daerah yang diarsir, yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu X, garis tegak X=a dan X=b f(X) X a µ b

Karakteristik distribusi normal. Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu  dan  yang masing-masing membentuk lokasi dan distribusi. Titik tertinggi kurva normal berada pada rata-rata. Distribusi normal adalah distribusi yang simetris. Simpangan baku mementukan lebarnya kurva. Total luas daerah di bawah kurva normal adalah 1.

Jika jarak dari masing-masing nilai x diukur dengan simpangan baku , maka : dapat ditulis sebagai berikut : P ( - 1  X   + 1) = ± 68 % P ( - 2  X   + 2) = ± 95 % P ( - 3  X   + 3) = ± 99 %

Distribusi Normal Standar (Baku) Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal baku adalah dengan mencari variabel Z yang didapat sbb : Bila x berada di antara x1 dan x2, maka variabel acak z akan berada di antara z1 dan z2, dimana :

Probabilitas P (a < x < b) dihitung dengan memakai integral dari fungsi f(x) yang dibatasi oleh X = a dan X = b, yaitu dengan rumus : Akan tetapi, secara matematis bentuk integral dari fungsi f (x) tersebut sulit dipecahkan secara langsung dengan teknik integral. Oleh karena itu, penyelesaiannya dilakukan dengan memakai transformasi nilai-nilai X menjadi nilai-nilai baku Z, yaitu Rumus 12.3

Dengan transformasi tersebut kita memperoleh normal Z yang mempunyai nilai rata-rata  = 0 dan simpangan baku  = 1 atau ditulis N(0,1). Distribusi normal Z seperti ini disebut distribusi normal standar. Dengan demikian fungsi distriusi f (x) berubah menjadi fungsi distribusi f (Z), yaitu dengan rumus Rumus 12.4

Berdasarkan fungsi distribusi Z tersebut, probabilitas nilai-nilai Z pada interval z1 < Z < z2 ditunjukan oleh luas daerah yang diarsir pada gambar berikut : f(Z) Z z1 z2 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Gambar 12.5

Selanjutnya probabilitas P(z1 < Z < z2) dihitung dengan rumus berikut: Berdasarkan integral dari fungsi didistribusikan normal standar tersebut, probabilitas P(z1 < Z < z2) dihitung dengan memakai tabel Distribusi Normal Standar Rumus 12.5

Fungsi Distribusi Kumulatif Seringkali perhitungan probabilitas variabel random Z yang berdistribusi normal standar lebih mudah dilakukan dengan memakai fungsi distribusi kumulatif. Bila variabel Z berdistribusi normal standar dengan fungsi padat probabilitas f (z), maka fungsi distribusi kumulatif dari z yang ditulis F(z) dirumuskan sebagai berikut: Rumus 12.6

Daerah diarsir pada gambar berikut ini menunjukan fungsi distribusi kumulatif F(z) = P(z < Z). z Gambar 12.6

Grafik dari fungsi distribusi kumulatif F(z) ditunjukan pada gambar berikut ini. 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Gambar 12.7

Sifat-sifat Fungsi Distribusi Kumulatif F(z) F(z) monoton naik 0 < F(z) < 1 F(-) = lim F(x) = 0 dan F (+) = lim F(x) = 1 X  X  Perhatikan bahwa grafik F(z) tidak memotong sumbu Z dan juga tidak memotong garis F(z) = 1. Oleh karena itu, sumbu Z dan garis F(z) = 1 merupakan garis batas (asimtot) dari grafik F(z)

Dengan memakai fungsi distribusi kumulatif F(z), maka probabilitas P(z1 < Z < z2) dihitung dengan memakai rumus berikut. Rumus 12.7

Tabel Normal Baku (Standard Normal)

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terharapan nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Notasi sebagai p(x)

Jumlah Mobil terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari Jumlah mobil terjual dlm sehari Jumlah hari 54 1 117 2 72 3 42 4 12 5 Total 300

Jika X menyatakan jumlah mobil yg terjual dalam sehari, maka p(0) menyatakan probabilitas 0 mobil terjual per hari, p(1) menyatakan probabilitas 1 mobil terjual perhari dan seterusnya. Berdasarkan informasi yang diperoleh maka probabilitas 0 mobil dalam sehari adalah 54/300 = 0.18.

Secara singkat nilai probabilitas ditabelkan sebagai berikut. X P(x) 0.18 1 0.39 2 0.24 3 0.14 4 0.04 5 0.01 Total

Sehingga apabila kita ingin menghitung probabilitas bahwa 3 atau lebih mobil terjual dalam sehari, maka kita hitung p(3) + p(4) + p(5) = 0.14 + 0.04 + 0.01 = 0.19

Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit atau Jumlah seluruh

Grafik fungsi Probabilitas Distribusi probabilitas di atas dapat dinyatakan dengan rumus (fungsi): P(x) = x/10, Untuk x = 1,2,3 atau 4 Fungsi distribusi tdk boleh negatif & syarat sblnya harus terpenuhi.

FUNGSI PROBABILITAS KUMULATIF VARIABEL ACAK DISKRIT Digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. Apabila kita ingin mencari probabilitas bahwa mobil yg terjual kurang dari 3, Maka kita akan menjumlahkan semua probabilitas dari nilai2x yang bersangkutan.

Rumus Probabilitas Kumulatif Variabel Diskrit Dimana : menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang merupakan jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai x sama atau kurang dari x

Probabilitas Kumulatif dari jumlah Mobil terjual dalam Sehari X F(X) 0.18 1 0.57 (=0.18+0.39) 2 0.81 (=0.57+0.24) 3 0.95 (=0.81+0.14) 4 0.99 (=0.95+0.04) 5 1.00 (=0.99+0.01)

Jadi jika fungsi kumulatif disajikan dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut :

Fungsi Probabilitas Bersama (Joint Probability) Pada Variabel acak dan distribusi probabilitas telah dibatasi hanya untuk ruang sample berdimensi satu, dalam arti bahwa hasil-hasil yg diperoleh dari suatu percobaan merupakan nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah (variabel) acak. Dalam prakteknya banyak kondisi yang menghendaki kita untuk mencatat.

Sehingga untuk dinyatakan dalam bentuk formula kita ambil suatu contoh yaitu X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam kasus variabel acak diskrit tersebut dinyatakan dalam :

f(x,y) = p(X=x, Y=y) Dimana : Formula Fungsi Probabilitas Bersama f(x,y) adalah pernyataan peluang bahwa x dan y terjadi secara brsamaan.

Variabel Diskrit Hasil Lemparan Dadu Dua kali X\Y 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

Distribusi Probabilitas Bersama, p(x,y) 1 2 3 4 5 6 1/36