RUANG VEKTOR Pertemuan 3 Matakuliah : MATRIX ALGEBRA FOR STATISTICS Tahun : 2009 RUANG VEKTOR Pertemuan 3

VEKTOR DALAM BIDANG (R2) Merepresentasikan pasangan berurut dari dua bilangan riel (koordinat kartesius), misalnya A(2,4) atau vektor posisi =(OA) A(2,4) a Y 4 a X 2 Bina Nusantara University

Panjang dan jumlah vektor Panjang vektor atau norm = Jumlah dua vektor Bina Nusantara University

VEKTOR DALAM RUANG (R2) Vektor dalam ruang x y z Bina Nusantara University

VEKTOR DALAM RUANG-n (Rn) Vektor dalam ruang ke-n (Rn) dinyatakan X = (X1, X2, X3, . . ., Xn) atau dalam matriks Bina Nusantara University

Ruang Vektor Andaikan V suatu himpunan u,v,wV dan r=skalar Berlaku sifat: 1. u+v=v+u 2. (u+v)+w=u+(v+w) 3. u+0=u 4. r(u+v)= ru+rv 5. 1u=u Bina Nusantara University

Ruang Bagian (Subspace) Bila S dan S  V S memiliki sifat ruang vektor Maka S merupakan ruang bagian dari ruang vektor V Bina Nusantara University

Proyeksi Jika u dan v adalah vektor di Rn untuk v 0, maka proeksi dari u pada v ditunjukkan dengan   Bina Nusantara University

Jika u=(2,-1, 3) dan v=(1, 5, 2), maka u.v = 2.1 + -1.5 + 3.2 = 3 DOT PRODUCT Jika u dan v adalah vektor dalam bidang (R2) atau dalam ruang (R3 ) maka dot product u.v adalah u.v = Contoh: Jika u=(2,-1, 3) dan v=(1, 5, 2), maka u.v = 2.1 + -1.5 + 3.2 = 3 Bina Nusantara University

Kombinasi Linear Defenisi: Suatu w disebut linear kombinasi dari vektor-vektor Jika terdapat vektor-vektor Sedemikian rupa sehingga Bina Nusantara University

Contoh: Bila x=(-1,23), v1 = (-7,1) v2 = (10,10) Dapat ditunjukkan bahwa x= 3v1 + 2v2 Maka x adlah kombinasi linear dari v1 dan v2 Bina Nusantara University

Span Andaikan v1, v2, . . . vn vektor dalam ruang vektor V. Himpunan S dari semua kombinasi linear v1, v2, . . . vn disebut span dari v1, v2, . . . vn atau vektor v1, v2, . . . vn Span S Bina Nusantara University

Linear independence Defenisi: Himpunan dari dua vektor atau lebih adalah linear dependent jika satu vektor dalam himpunan merupakan kombinasi linear dari vektor lainnya Himpunan vektor tidak kosang adalah linear independent jika tidak linear dependent Bina Nusantara University

Contoh: Diketahui v1=(2,4,14), v2 =(7,-3,15), dan v3 =(-1,4,7) Tunjukkan c1v1 + c2v2 + c3v3 =0 atau 2c1 + 7c2 - c3=0 4c1 - 3c2+ 4c3=0 14c1 + 15c2+ 7c3=0 Jika terdapat solusi nontrivial dari SPL maka vektor-vektor tersebut linear dependent dan sebaliknya linear independent jika hanya terdapat solusi trivial Bina Nusantara University

BASIS Suatu basis untuk ruang vektor V adalah suatu himpunan S dari vektor V sedemikian sehingga S adalah linear independent S spans V Bina Nusantara University

Dimensi Andaikan V adalah ruang vektor Dimensi dari V adalah n (>0) jika V mempunyai basis dengan n elemen Dimensi dari ruang vektor nol adalah 0 Bina Nusantara University

Orthogonal vektor Vektor yang saling tegak lurus disebut vektor orthogonal Dua vektor tidak nol adalah orthogonal jika dan hanya jika dot productnya sama dengan nol Bina Nusantara University

Vektor v disebut normal jika Kumpulan vektor dalam Definisi Kumpulan vektor dalam disebut orthogonal jika terdapat dua vektor yang saling tegak lurus Vektor v disebut normal jika Kumpulan vektor dalam disebut orthonormal jika vektor-vektor itu orthogonal dan tiap vektor adalah normal Orthonormal basis adalah suatu basis terbentuk dari vektor-vektor orthonormal Bina Nusantara University

Orthonormal basis adalah suatu basis terbentuk dari vektor-vektor orthonormal Bina Nusantara University

Matix Then Bina Nusantara University

Vector in Matrix Notation Vector x=(x1, x2, . . . , xn) can be written as row matrix or column matrix or Bina Nusantara University