Bab 12 Nonparametrik: Data Tanda

Bab Bab 12 NONPARAMETRIK: DATA TANDA A. Pendahuluan 1. Data Statistika Di samping data frekuensi, statistika nonparametrik dapat menggunakan data tanda Data tanda adalah tanda + dan tanda  yang diperoleh dari membandingkan data dengan data patokan Banyaknya + dan banyaknya  digunakan sebagai dasar pengujian hipotesis

Bab Penentuan Tanda Tanda pada data berupa +, , atau 0 Ada kalanya data dengan tanda 0 diabaikan Tanda dapat ditentukan melalui Kedudukan data terhadap median (rerata) hipotesis atau patokan Kedudukan data terhadap median (rerata) sampel Kedudukan data dari selisih dua data berpasangan

Bab Tanda terhadap Median (Rerata) Hipotesis Dapat dilakukan pada median dan juga pada rerata Misalkan median hipotesis adalah M 0 Data X > M 0 diberi tahda + Data X < M 0 diberi tanda  Data X = M 0 diberi tanda 0 M0M0 0+ 

Bab Contoh 1 Misalkan median hipotesis adalah M 0 = 50. Tentukan tanda data X untuk sampel Data X Tanda  34  67 + X + =  X  = X 0 = 1 (diabaikan) 40  n =

Bab Contoh 2 (dikerjakan di kelas) Tentukan tanda pada sampel X untuk median hipotesis 100, 101,0 103,3 101,8 102,5 101,7 98,2 101,1 104,5 105,3 99,4 102,4 100,9 100,3 100,0 103,6 97,3 101,8 102,4 103,0 101,8

Bab Contoh 3 Tentukan tanda pada sampel X terhadap median hipotesisi 165, Contoh 4 Tentukan tanda pada sampel X terhadap median hipotesisi 43,00, 42,15 43,04 42,38 42,17 41,58 42,40 42,52 43,36 42,79 42,53 43,12 42,87 42,83 41,76 43,12 42,61 41,89 41,93 41,77 42,61 43,00 42,49 41,92 42,62

Bab Tanda terhadap Median (Rerata) Sampel Data Hitung median (rerata) sampel data. Misalkan median = M Data X > M diberi tanda + Data X < M diberi tanda  Data X = M diberi tanda 0

Bab Contoh 5 Tentukan tanda terhadap median sampel untuk sampel data Menghitung median sampel data Data frek prop  prop Interpolasi 2 1 0,1 0, ,1 0,2 4,5 0, ,2 0,4 M 0, ,3 0, ,2 0,9 5,5 0, ,1 1,0 10

Bab Tanda M = 4,833 Data X Tanda Data X Tanda 2  X + =  X  =  4  n = 10

Bab Contoh 6 (dikerjakan di kelas) Tentukan tanda terhadap median sampel untuk sampel data

Bab Contoh 7 Tentukan tanda terhadap median sampel untuk sampel data

Bab Tanda terhadap Selisih Data Berpasangan Misalkan data berpasangan adalah X dan Y Hitung selisih pasangan X dan Y Data X  Y > 0 diberi tanda + Data X  Y < 0 diberi tanda  Data X  Y = 0 diberi tanda 0

Bab Contoh 8 Tentukan tanda untuk selisih data X  Y untuk data X Y X Y Tanda  n + = 3 n  = 2 n 0 = 

Bab Contoh 9 Tentukan tanda untuk selisih data X  Y untuk data X Y X Y Tanda  n + = 3 n  = 2 n 0 = 

Bab Contoh 10 (dikerjakan di kelas) Tentukan tanda untuk selisih data X  Y untuk data X Y

Bab Contoh 11 Tentukan tanda untuk selisih data X  Y untuk data (a) X 37,1 72,5 26,6 25,0 45,8 54,3 13,2 79,5 12,6 34,9 Y 28,0 59,3 24,7 20,3 46,2 43,6 15,6 75,1 18,3 29,7 (b) X Y

Bab B. Uji Median (dan Rerata) 1. Dasar Pengujian dilakukan terhadap median untuk menentukan apakah median (rerata) kurang dari, sama dengan, atau lebih dari M 0 (  0 ) Pengujian tentang rerata dapat dilakukan melalui statistika parametrik, namun dapat juga secara nonparametrik Hipotesis untuk pengujian adalah M M 0   0 Sebagai dasar pengujian median dan rerata adalah banyaknya tanda

Bab Pengujian Hipotesis Hipotesis ditentukan melalui proporsi X + dan X - berupa  + dan  -  + adalah proporsi tanda + dan   adalah proporsi tanda  Jika M = M 0 atau  =  0 dengan M 0 atau  0 sebagai patokan, seharusnya banyaknya tanda + dan tanda  adalah berimbang sehingga  + =   = 0,5

Bab Pada hipotresis M > M 0 Seharusnya + lebih banyak dari  sehingga hipotesis  + > 0,5 atau Seharusnya  kurang dari + sehingga hipotesis   < 0,5 Pada hipotresis M < M 0 Seharusnya  lebih banyak dari + sehingga hipotesis   > 0,5 atau Seharusnya + kurang dari  sehingga hipotesis  + < 0,5 Pada hipotesis M  M 0 Salah satu tanda dapat lebih atau dapat kurang dari lainnya sehingga hipotesis  +  0,5 atau    0,5.

Bab Kriteria Pengujian Ada dua macam kriteria pengujian hipotesis pada taraf signifikansi  Menggunakan distribusi probabilitas pensampelan berbentuk distribusi probabilitas binomial melalui pendekatan ke distribusi probabilitas normal untuk n cukup besar Tabel khusus untuk jumlah tanda terkecil (tabel h)

Bab Pengujian melalui DPP Binomial yang Didekatkan ke DP normal Kekeliruan baku dapat ditentukan melalui Penggunaan proporsi pada sampel Penggunaan variansi maksimum (0,25)

Bab Contoh 12 Dengan sampel pada contoh 1, diuji hipotesis apakah median M lebih dari 50. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05 Hipotesis H 0 :  + = 0,5 H 1 :  + > 0,5 Sampel X + = 8 p + = 8 / 12 = 0,67 Distribusi probabilitas pensampelan Didekatkan ke distribusi probabilitas normal Kekeliruan baku (diambil maksimum)  p maks = (0,5)(√ 1/12) = 0,144

Bab Statistik uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z (0,95) = 1,645 Tolak H 0 jika z > 1,645 Terima H 0 jika z  1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab Contoh 13 (dikerjakan di kelas) Dengan sampel pada contoh 2, diuji hipotesis apakah median M lebih dari 100. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel adalah 101,0 103,3 101,8 102,5 101,7 98,2 101,1 104,5 105,3 99,4 102,4 100,9 100,3 100,0 103,6 97,3 101,8 102,4 103,0 101,8

Bab Contoh 14 Dengan sampel pada contoh 3, diuji hipotesis apakah median M kurang dari 165. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel adalah

Bab Contoh 15 Dengan sampel pada contoh 4, diuji hipotesis apakah median M kurang dari 43,00. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel adalah 42,15 43,04 42,38 42,17 41,58 42,40 42,52 43,36 42,79 42,53 43,12 42,87 42,83 41,76 43,12 42,61 41,89 41,93 41,77 42,61 43,00 42,49 41,92 42,62

Bab Pengujian melalui Tabel Khusus h Hipotesis H 0 diterima apabila tanda + dan  tidak banyak berbeda Hipotesis H 0 ditolak apabila salah satu tanda terlalu banyak atau terlalu sedikit Kalau + terlalu banyak maka  terlalu sedikit. Kalau  terlalu banyak maka + terlalu sedikit Tabel h menentukan batas tanda yang terlalu sedikit. Tanda yang sedikit kurang dari h tabel menyebabkan H 0 ditolak

Bab Tabel Nilai Kritis h pada Uji Tanda n  = 0,01  = 0,05 n  = 0,01  = 0,05 n  = 0,01  = 0,

Bab Tabel Nilai Kritis h pada Uji Tanda n  = 0,01  = 0,05 n  = 0,01  = 0,05 n  = 0,01  = 0, n > 95  = 0,01 k = 1,2879  = 0,05 k = 0,9800

Bab Contoh 16 Dengan sampel pada contoh 1, diuji hipotesis apakah median M lebih dari 50. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05 (Contoh 12) Hipotesis H 0 :  + = 0,5 H 1 :  + > 0,5 Sampel X + = 8 X  = 4 n = 12 terkecil h = 4 Dari tabel h n = 12  = 0,05 h (0,05)(12) = 2 Kriteria pengujian Tolak H 0 jika h < 2 Terima H 0 jika h  2 KeputusanTerima H 0

Bab Contoh 17 (dikerjakan di kelas) Dengan sampel pada contoh 2, diuji hipotesis apakah median M lebih dari 100. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel adalah 101,0 103,3 101,8 102,5 101,7 98,2 101,1 104,5 105,3 99,4 102,4 100,9 100,3 100,0 103,6 97,3 101,8 102,4 103,0 101,8 Telah diuji pada Contoh 13 Sekarang diuji dengan menggunakan tabel h

Bab Contoh 18 Dengan sampel pada contoh 3, diuji hipotesis apakah median M kurang dari 165. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel adalah Telah diuji pada contoh 14 Sekarang diuji menggunakan tabel h

Bab Contoh 19 Dengan sampel pada contoh 4, diuji hipotesis apakah median M kurang dari 43,00. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel adalah 42,15 43,04 42,38 42,17 41,58 42,40 42,52 43,36 42,79 42,53 43,12 42,87 42,83 41,76 43,12 42,61 41,89 41,93 41,77 42,61 43,00 42,49 41,92 42,62 Telah diuji pada contoh 15 Kini diuji menggunakan tabel h

Bab C. Uji Kesamaan Dua Populasi Berpasangan 1. Dasar pengujian Pengujian dilakukan terhadap dua populasi berpasangan untuk menguji kesamaan distribusi probabilitas mereka Pengujian dilakukan melalui selisih pada pasangan data dengan pemberikan tanda + atau  Jika populasi adalah sama maka banyaknya tanda + dan  adalah seimbang Jika suatu tanda (+ atau  ) terlalu banyak atau terlalu sedikit, sampai batas tertentu, maka populasi adalah tidak sama

Bab Kriteria Pengujian Bentuk hipotesis H 0 : Populasi X dan Y adalah sama H 1 : Populasi X dan Y tidak sama Hipotesis H 0 ditolak jika banyaknya + dan  jauh tak seimbang Batas dapat ditentukan untuk kebanyakan salah satu tanda atau kesedikitan salah satu tanda Tabel nilai kritis disediakan untuk kesedikitan tanda Frekuensi tanda terkecil (di antara + dan  ) dinyatakan sebagai h, sehingga Tolak H 0 jika h < h tabel Terima H 0 jika h  h tabel

Bab Contoh 20 Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan populasi X dan Y, untuk sampel pasangan data X Y Hipotesis H 0 : Populasi X dan Y adalah sama H 1 : Populasi X dan y tidak sama Sampel Tanda dari selisih pasangan data pada sampel X dan Y adalah

Bab X Y Tanda X Y Tanda   Tanda Frekuensi   n = 18 h = 3

Bab Statistik uji Frekuensi terkecil adalah sebesar 3 sehingga h = 3 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Dari tabel nilai kritis uji tanda h (0,05)(18) = 4 Tolak H 0 jika h < 4 Terima H 0 jika h  4 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H 0

Bab Contoh 21 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis kesamaan populasi di antara X dan Y untuk sampel (dari contoh 10) X Y

Bab Contoh 22 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis kesamaan populasi di antara X dan Y untuk sampel (dari contoh 11) (a) X 37,1 72,5 26,6 25,0 45,8 54,3 13,2 79,5 12,6 34,9 Y 28,0 59,3 24,7 20,3 46,2 43,6 15,6 75,1 18,3 29,7 (b) X Y

Bab Contoh 23 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis kesamaan populasi di antara X dan Y untuk sampel X Y X Y 42,15 42,43 42,52 43,12 43,04 42,47 43,36 42,44 42,38 42,46 42,79 42,57 42,17 42,43 42,53 42,48 41,58 42,03 43,12 44,65 42,40 42,55 42,87 43,03

Bab D. Uji Brown-Mood untuk Koefisien Regresi Linier 1. Tujuan Pengujian Regresi linier berbentuk PopulasiŶ = A + BX Sampel Ŷ = a + bX Uji Brown-Mood mencakup koefisien regresi A dan B, tetapi di sini pengujian kita batasi pada koefisien regresi B Hipotesis pada uji Brown-Mood mencakup B = B 0 tetapi di sini juga kita batasi hanya pada H 0 : B = 0 H 1 : B > 0 Pengujian dilakukan pada n  20

Bab Statistik Uji Pada regresi sampep Ŷ = a + bX, kita gunakan median pada X dan median pada Y Banyaknya data (X -, Y + ) kita nyatakan sebagai n 1 sedangkan banyaknya pasangan data kita nyatakan dengan n Uji statistik Brown-Mood untuk kasus ini berdistribusi probailitas khi-kuadrat dengan derajat kebebasan = 1 Pengujian hipotesis dilakukan terhadap taraf signifikansi 

Bab Contoh 24 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koefisien regresi linier B > 0. Sampel acak adalah X Y X Y 23,0 9,5 13,1 8,5 18,7 9,0 13,0 8,7 17,5 9,2 13,6 8,6 21,0 9,2 14,2 8,7 20,0 9,4 13,9 8,5 19,0 9,3 14,8 9,1 15,3 9,0 14,2 9,1 14,0 8,5 13,0 8,0 14,0 9,0 16,1 8,1 13,7 8,4 15,9 8,5 13,3 8,8 13,0 8,4 13,6 8,9 11,7 8,7

Bab Hipotesis H 0 : B = 0 H 1 : B > 0 Sampel Menentukan median pada X dan pada Y M X = 14,150 M Y = 8,750

Bab Penetuan tanda + dan  (M X = 14,150 M Y = 8.750) X Y X Y 23,0 9, ,1 8,5   18,7 9, ,0 8,7    + 17,5 9, ,6 8,6   14,0 9,0 21,0 9, ,2 8,7 +  13,3 8,8 20,0 9, ,9 8,5   13,6 8,9 19,0 9, ,8 9, ,3 9, ,2 9, ,0 8,5   13,0 8,0   14,0 9,0  + 16,1 8,1 +  13,7 8,4   15,9 8,5 +  13,3 8,8  + 13,0 8,4   13,6 8,9  + 11,7 8,7  

Bab Pasangan data (X -, Y + ) adalah 13,3 8,8 13,6 8,9 n 1 = 3 n = 24 14,0 9,0 Dapat juga secara grafik X Y    ,0 8,5 9,0 9,5                    n 1 = 3   

Bab Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = 1 Statistik uji (Brown-Mood) Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Nilai kritis  2 (0,95)(1) = 3,841 Tolak H 0 jika  2 > 3,841 Terima H 0 jika  2  3,841 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, tolak H 0

Bab Contoh 25 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koefisien regresi linier B > 0. Sampel acak adalah X Y X Y

Bab E. Uji Perubahan McNemar 1. Pendahuluan Status dapat saja berubah dari satu ke lainnya. Misalnya lulus menjadi tidak lulus kecil menjadi besar Secara umum berbagai perubahan status itu kita wakili dengan + dan  Tidak berubah Berubah +  + +        +

Bab Uji perubahan ini menyangkut dua keadaan yang ditandai oleh “sebelum” dan “sesudah” untuk mengetahui apakah terjadi perubahan Keadaan sebelum dibagi ke dalam + dan – dan keadaan sesudah juga dibagi ke dalam + dan – Sesudah – + A = +  Sebelum + A B B = + + – C D C =   D =  +

Bab Perubahan Tampak dari diagram bahwa A dan D menunjukkan perubahan B dan C tidak menunjukkan perubahan Frekuensi perubahan ditunjukkan oleh A + D Jika tidak ada perubahan maka probabilitas P A = P D = 0,5 Arah perubahan dapat menuju ke A atau ke D Perubahan ke A P A > P D Perubahan ke D P A < P D

Bab Statistik Uji Harapan matematik untuk perubahan  = ½ (A + D) Statistik uji untuk derajat kebebasan > 1

Bab Statistik uji untuk derajat kebebasan = 1 dengan koreksi Yates Kriteria pengujian Derajat kebebasan = (baris – 1)(lajur – 1) Pengujian hipotesis Pengujian hipotesis dilakukan dengan membandingkan statistik uji ini dengan kriteria pengujian pada taraf signifikansi tertentu

Bab Uji Hipotesis Perubahan McNemar Contoh 26 Menurut peneliti, anak baru di Taman Kanak lebih suka berhubungan dengan orang dewasa. Setelah sekian hari, mereka lebih suka berhubungan dengan teman sebaya Percobaan dengan sampel 25 anak menunjukkan Hari ke-30 Anak Dewasa Hari ke-1 Dewasa 14 4 Anak 3 4 Uji pernyataan peneliti itu pada taraf signifikansi 0,05

Bab Hipotesis H 0 : P A = P D H 1 : P A > P D A = perubahan dari dewasa ke anak B = pada dewasa tidak berubah C = pada anak tidak berubah D = perubahan dari anak ke dewasa Sampel A = 14, B = 4, C = 3, D = 4 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = (2 – 1)(2 – 1) = 1

Bab Statistik uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Nilai kritis  2 (0,95)(1) = 3,841 Tolak H 0 jika  2 > 3,841 Terima H 0 jika  2  3,841 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, tolak H 0

Bab Contoh 27 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah suatu perlakuan menghasilkan perubahan, apabila sampel acak menunjukkan Sebelum Ya Tidak Sesudah Tidak 14 6 Ya 16 2 Hipotesis H 0 : P A = P D H 1 : P A  P D A = perubahan dari ya ke tidak B = pada tidak (tidak berubah) C = pada ya (tidak berubah) D = perubahan dari tidak ke ya

Bab Sampel A = 14, B = 6, C = 16, D = 2 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = 1 Statistik uji

Bab Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Nilai kritis bawah  2 (0,025)(1) = 0,001 Nilai kritis atas  2 (0,975)(1) = 12,706 Tolak H 0 jika  2 12,706 Terima H 0 jika 0,001   2  12,706 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab Contoh 28 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah suatu perlakuan menghasilkan perubahan, apabila sampel acak menunjukkan Sebelum Ya Tidak Sesudah Ya Tidak 7 37

Bab Contoh 29 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah suatu perlakuan menghasilkan perubahan, apabila sampel acak menunjukkan Sebelum Ya Tidak Sesudah Ya Tidak 18 15

Bab Contoh 30 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah suatu perlakuan menghasilkan perubahan, apabila sampel acak menunjukkan Sebelum Ya Tidak Sesudah Ya 8 9 Tidak 5 8

Bab Contoh 31 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah suatu perlakuan menghasilkan perubahan, apabila sampel acak menunjukkan Sebelum Ya Tidak Sesudah Ya Tidak 10 43

Bab F. Uji Perbedaan Cochran 1. Pendahuluan Pada sejumlah kelompok dengan ukuran sampel yang sama, diuji perbedaan di antara kelompok Data yang digunakan adalah dikotomi 0 dan 1 (di sini dianggap sebagai tanda) Notasi yang digunakan k = banyaknya kelompok n = ukuran sampel di tiap kelompok G i = jumlah pada tiap kelompok L g = jumlah pada tiap sampel

Bab Kelompok dan sampel Kelompok L G k 1 k 2 k 3 k 4 k = 4 s 1 n = 6 s 2 Sampel s 3 s 4 s 5 s 6 G i

Bab Statistik Uji Cochran Q Cochran menggunakan Q sebagai statistik uji 3. Distribusi probabilitas pensampelan Statistik uji Cochran Q berdistribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = k – 1 4. Uji Hipotesis Cochran Q Statistik uji Q dibandingkan dengan nilai kritis pada distribusi probabilitas khi-kuadrat

Bab Contoh 32 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah ada perbedaan hasil promosi yang dilakukan oleh petugas pemasaran A, B, dan C. Sampel acak hasil promosi (0 = gagal, 1 = berhasil) adalah sebagai berikut Rumah Hasil Promosi A B C

Bab Hipotesis H 0 : Tidak ada perbedaan pada hasil promosi H 1 : Ada perbedaan pada hasil promosi Sampel Seperti pada soal k = 3, n = 18 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = k – 1 = 3 – 1 =2 Statistik uji Statistik uji Cochran Q

Bab Rumah Hasil Promosi A B C L g L 2 g G i G 2 i

Bab k = 3  G i = 29  G 2 i = 347  L g = 29  L 2 g = 63 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Nilai kritis  2 (0,95)(2) = 5,991 Tolak H 0 jika Q > 5,991 Terima H 0 jika Q  5,991 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H 0

Bab Contoh 33 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05 uji persamaan ramalan hasil pertandingan olah raga oleh A, B, dan C. Sampel 12 hasil pertandingan dengan 1 = tepat dan 0 salah menunjukkan Pertandingan Hasil ramalan A B C

Bab Contoh 34 Ada dua cara A dan B menjual barang ke ibu rumah tangga. Jika ibu rumah tangga ingin membeli diberi 1 dan tidak ingin diberi 0, uji perbedaan cara ini pada taraf signifikansi 0,05, apabila sampel menunjukkan Ibu RT Cara A Cara B

Bab Contoh 35 Ada 4 cara olah bahan, A, B, C, dan D. Cara ini diuji pada 6 macam bahan. Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan hasil olah, bila memuaskan = 1 dan tidak memuaskan = 0 untuk sampel acak Bahan Cara A Cara B Cara C Cara D

Bab Contoh 36 Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan populasi untuk sampel berikut Pekerja Mesin A Mesin B Mesin C Mesin D