FUNGSI VEKTOR DAN TURUNAN FUNGSI VEKTOR Fungsi Vektor dan Kurva Ruang Fungsi bernilai vektor atau fungsi vektor adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan real dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor. Fungsi vektor r(t) yang nilanya adalah vektor tiga dimensi dapat dinotasikan dengan r(t) =f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k dengan f, g dan h adalah fungsi bernilai real, dan disebut fungsi komponen dari r.

CONTOH 1 Jika tentukan fungsi komponen dan daerah asal dari r. Limit dari suatu fungsi vektor r didefinisikan dengan cara mengambil limit dari fungsi-fungsi komponennya, yaitu asalkan limit dari fungsi komponen ada.

CONTOH 2 Carilah dengan Fungsi vektor r dikatakan kontinu di a, Jadi, r kontinu di a jika hanya jika fungsi-fungsi komponennya kontinu di a. Jika r fungsi kontinu pada selang I, maka himpunan C yang terdiri dari semua titik (x,y,z) di ruang, dengan (*) x = f (t) y = g(t) z = h(t) dan t berubah-ubah sepanjang selang I, disebut kurva ruang. Persamaan (*) disebut persamaan parametrik dari C dan t disebut parameter.

CONTOH 3 Jelaskan kurva yang didefinisikan oleh fungsi vektor r(t) =1 + t, 2 +5t, -1 + 6t r(t) = t2 – 2t, t + 1 CONTOH 4 Carilah fungsi vektor yang menyatakan kurva perpotongan dari silinder x2 + y2 = 1 dan bidang y + z = 2.

r'(t) =f '(t), g'(t), h'(t) = f '(t)i + g'(t)j + h'(t)k. Turunan Fungsi Vektor Jika r = r (t), maka turunannya didefinisikan sebagai Apabila r(t) =f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k, dengan f, g, dan h fungsi yang terdiferensiasi, maka r'(t) =f '(t), g'(t), h'(t) = f '(t)i + g'(t)j + h'(t)k.

Teorema Jika u dan v dadalah fungsi vektor yang terdeferensialkan, c adalah skalar, dan f fungsi bernilaui real, maka

Vektor Singgung Satuan Garis singgung kurva terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui P yang sejajar terhadap vektor singgung r'(t). Vektor singgung satuan diberikan oleh Jika titik P dan Q mempunyai vektor posisi r(t) dan r(t+h), maka r(t+h) - r(t) menyatakan vektor . Pada saat vektor ini mendekati vektor yang terletak pada garis singgungnya. Vektor r'(t) disebut vektor singgung kurva yang diberikan oleh r di titik P. z r(t+h) – r(t) r'(t) P Q r(t) C r(t+h) y x

r'(t) =f '(t), g'(t), h'(t) = f '(t)i + g'(t)j + h'(t)k. Garis singgung kurva terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui P yang sejajar terhadap vektor singgung r'(t). Vektor singgung satuan diberikan oleh Teorema Jika r(t) =f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k, dengan f, g, dan h fungsi yang terdiferensiasi, maka r'(t) =f '(t), g'(t), h'(t) = f '(t)i + g'(t)j + h'(t)k. CONTOH 1 Carilah turunan dari r(t) = (1+ t3)i + tet j + sin2t k. Carilah vektor singgung satuan di titik dimana t = 0.

CONTOH 2 Untuk kurva , carilah r'(t) dan buat sketsa untuk vektor posisi r(1) dan vektor singgung r'(1). CONTOH 3 Carilah persamaan parametrik untuk garis singgung terhadap heliks dengan persamaan x = 2cos t y = sin t z = t di titik (0,1,/2).

Teorema Jika u dan v adalah fungsi vektor yang terdeferensialkan, c adalah skalar, dan f fungsi bernilai real, maka

CONTOH 4 Tunjukkan bahwa jika |r(t)| = c (konstanta), maka r'(t) ortogonal terhadap r(t) untuk semua t. Integral tentu dari fungsi vektor kontinu r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k diberikan oleh Teorema Fundamantal Kalkulus fungsi vektor , yaitu dengan R adalah anti turunan dari r, yaitu R'(t) = r'(t).

Jika r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2 t k, tentukan CONTOH 5 Jika r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2 t k, tentukan

Panjang Busur dan Kelengkungan Pada kuliah Kalkulus, panjang kurva bidang dengan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t) a  t  b, diberikan oleh Dengan analogi itu, maka panjang kurva ruang dengan persamaan vektor r(t) =f (t), g(t), h(t), a  t  b atau ekuivalen dengan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), z = h(t), dengan f ', g', dan h' kontinu adalah Rumus ini dapat dituliskan kembali sebagai

CONTOH 1 Tentukan panjang busur dari heliks melingkar dengan persamaan vektor r(t) = cos t i + sin t j + t k dari titik (1,0,0) sampai titik (1,0,2). Fungsi panjang busur dari kurva C dengan persamaan vektor r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k, a  t  b didefinisikan sebagai Jadi, s(t) adalah panjang C diantara r(a) dan r(t). Dengan menerapkan Teorema Fundamental Kalkulus diperoleh Dengan hasil ini, maka kurva dapat diparameterisasi terhadap panjang busurnya.

CONTOH 2 Parameterkan ulang heliks r(t) = cos t i + sin t j + t k terhadap panjang busur yang diukur dari titik (1,0,0) dalam arah pertambahan t. Kelengkungan (curvature) C di suatu titik yang diberikan adalah ukuran seberapa cepat kurva berubah arah di titik tersebut. Dengan kata lain, kelengkungan () adalah besarnya laju perubahan vektor singgung satuan berdasarkan panjang busur, Dengan Aturan Rantai, rumus kelengkunan ini dapat dituliskan kembali sebagai

CONTOH 3 Perlihatkan bahwa kelengkungan sebuah lingkaran berjari-jari a adalah 1/a. Teorema Kelengkungan kurva yang diberikan oleh fungsi vektor r adalah CONTOH 4 Carilah kelengkungan dari kubik terpelintir r(t) = t i + t2 j + t3 k di t dan di (0,0,0).

Vektor Normal Satuan dan Vektor Binormal Mudah ditunjukkan bahwa T(t)T'(t) = 0, sehingga T'(t) ortogonal terhadap T(t), tetapi T'(t) bukan vektor satuan. Vektor normal satuan utama (atau normal satuan) didefinisikan sebagai Vektor satuan yang ortogonal terhadap T maupun N disebut vektor binormal, yang diberikan oleh B(t) = T(t)N(t) CONTOH 5 Carilah vektor normal satuan dan vektor binormal satuan untuk heliks melingkar r(t) = cos t i + sin t j + t k.

Bidang normal dari kurva C di titik P adalah bidang yang memuat vektor normal N dan vektor binormal B di titik P. Bidang oskulasi dari kurva C di titik P adalah bidang yang memuat vektor T dan N di titik P. Lingkaran oskulasi atau lingkaran kelengkungan dari kurva C di titik P adalah lingkaran dengan jari-jari  = 1/ yang terletak pada bidang oskulasi. Lingkaran ini terletak pada sisi cekung dari C dan mempunyai garis singgung persekutuan dengan C di P. CONTOH 6 Carilah persamaan bidang normal dan bidang oskulasi dari kurva heliks r(t) = cos t i + sin t j + t k. di titik P(0,1,/2). Carilah dan sketsakan lingkaran oskulasi dari parabola y = x2 di titik asal.

Kecepatan dan Percepatan Misalkan partikel bergerak menembus ruang sehingga vektor posisinya saat t adalah r(t). Untuk nilai h kecil, vektor menghampiri arah partikel yang bergerak sepanjang kurva r(t). Lihat gamb Vektor di atas memberikan kecepatan rata-rata pada selang waktu sepanjang h dan limitnya adalah vektor kecepatan v(t) pada saat t: z r(t+h) – r(t) r'(t) P Q r(t) C r(t+h) y x

Laju partikel pada saat t adalah besarnya vektor kecepatan, yaitu |v(t)|. Oleh karena itu, Percepatan didefinisikan sebagai turunan dari kecepatan: CONTOH 1 Vektor posisi dari suatu benda yang bergerak di bidang diberikan oleh r(t) = t3i + t2 j, t  0. Carilah kecepatan, laju, dan percepatan ketika t = 1. CONTOH 2 Carilah kecepatan, laju, dan kecepatan sebuah partikel dengan vektor posisi r(t) =  t2, et, tet .

CONTOH 3 Partikel bergerak memulai pergerakannya dari posisi awal r(0) = 1, 0, 0 dengan kecepatan awal v(0) = i – j + k. Percepatannya adalah a(t) = 4t i + 6t j + k. Carilah kecepatan dan posisinya pada saat t.