Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli STRUKTUR ALJABAR Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli

Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner Pendahuluan Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner

Grup Definisi Grup dan contoh grup Sub Grup Sub grup Normal dan Grup hasil bagi Homorfisma Automorfisma Grup Permutasi  

Ring (Gelanggang), Daerah Integral dan Lapangan Definisi dari gelanggang Daerah integral Lapangan  

REFERENSI I.N. Herstein, Topics in Algebra, secon edition, 1975. Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert, Elements of Modern Aljebra, fifth edition, 2000, publiser Gary Ostedt. Buku-buku lain yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas

HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan dinamakan anggota himpunan. Untuk membentuk himpunan dapat digunakan metode Roster yaitu dengan cara menyebut atau mendaftar semua anggota dan metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya.

HIMPUNAN Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B dan dinotasikan dengan . Himpunan A=B jika dan hanya jika dan

HIMPUNAN Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A. Komplemen dari himpunan A adalah semua anggota dari semesta yang bukan anggota A, dan dinotasikan

HIMPUNAN Gabungan dari dua buah himpunan A dan B, ditulis adalah Irisan dari dua himpunan A dan B, ditulis dengan , adalah himpunan Diberikan sembarang dua buah himpunan A dan B, maka A-B adalah himpunan

HIMPUNAN Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing apaa bila Misalkan diberikan dua buah himpunan A dan B, maka himpunan AxB adalah didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B. Pasangan (c,d)=(e,f) jika dan hanya jika c = e dan d = f.

RELASI EKIVALEN Relasi biner  pada Himpunan A dikatakan relasi ekivalen pada A, jika untuk setiap a, b, c dalam A memenuhi : 1. a a (reflesif) 2. jika a b maka b c (simetri) 3. jika a  b dan b  c maka a  c (transitif)

RELASI EKIVALEN Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suatu relasi ekivalen pada S. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan bulat genap. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah kelipatan dari n. Misalkan A, B himpunan dan f:AB suatu fungsi. Jika didefinisikan pada A dengan x y jika f(x)=f(y)

DEFINISI CLASS EKIVALEN Jika A suatu himpunan dan jika  suatu relasi ekivalen pada A, maka class ekivalen dari a anggota A adalah himpunan semua x anggota A dimana a berelasi dengan x. Dan kita notasikan dengan cl(a).

class EKIVALEN Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S. Class ekivalen pada a adalah a sendiri. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan bulat genap. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + 2m, dimana m bilangan bulat. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah kelipatan dari n. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + kn, dimana k bilangan bulat.

TEOREMA Class ekivalen yang berbeda dari suatu relasi ekivalen pada A dapat menentukan suatu dekomposisi pada A melalui gabungan dari sub himpunan yang saling asing. Sebaliknya diberikan dekomposisi dari A melalui gabungan dari sub himpunan tak kosong yang saling asing kita dapat mendefinisikan suatu relasi ekivalen pada A dari sub himpunan-subhimpunan class ekivalen yang berbeda tersebut.

Partisi Suatu partisi (partition) dari himpunan X merupakan suatu keluarga himpunan bagian tidak kosong dari X yang saling asing dan gabungannya sama dengan X. Partisi merupakan hal yang penting dalam matematika dan terdapat hubungan antara relasi ekuivalensi dan partisi

Partisi

PEMETAAN DEFINISI Jika S dan T himpunan-himpunan tak kosong, maka pemetaan dari S ke T adalah sub himpunan M dari SxT sedemikian sehingga untuk setiap sS terdapat secara tunggal t T sedemikian sehingga pasangan terurut (s,t) M.

CONTOH PEMETAAN Misalkan S sembarang himpunan; definisikan :SS dengan (s) = s untuk setiap sS. Pemetaan  disebut pemetaan identitas dari S Misalkan S dan T sembarang himpunan; dan t0 suatu elemen dari T. Definisikan :ST dengan  :s  t0 untuk setiap s S. Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional positif dan T=JxJ dimana J adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan suatu bilangan rasional s, dimana s dapat ditulis dengan s = m/n dimana m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1. Definisikan :ST dengan (s) = (m,n).

CONTOH PEMETAAN 4. Misalkan J himpunan semua bilangan bulat dan S = ; misalkan T adalah himpunan dari bilangan rasional; definisikan :ST, dengan ((m,n))=m/n untuk setiap (m,n) dalam S. 5. Misalkan J himpunan bilangan bulat dan S = JxJ. Definisikan :SJ dengan (m,n)=m+n. 6. Misalkan S dan T sembarang himpunan; definisikan :SxTS dengan (a,b) = a untuk setiap (a,b)SxT.  ini disebut proyeksi dari SxT pada S. Dengan cara serupa definisikan proyeksi dari SxT pada T.

CONTOH PEMETAAN Misalkan S adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen x1, x2, x3. Definisikan :SS dengan (x1)=x2, (x2)=x3, (x3)=x1. Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat dan T adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen E dan 0. Definisikan :ST dengan (n)=E jika n bilangan genap dan (n)=0 jika n bilangan ganjil

CONTOH PEMETAAN Misalkan diberikan himpunan S, kita dapat mengkonstruksi himpunan baru S*, yaitu himpunan semua subhimpunan dari S. Misalkan S adalah himpunan dan T = S*; definisikan :ST dengan (s) = dalam S = S-{s}.

CONTOH PEMETAAN Misalkan S suatu himpunan dengan suatu relasi ekivalen, dan misalkan T adalah himpunan dari semua klas ekivalen dalam S. Definisikan :ST dengan (s) = cl(s).

DEFINISI Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan onto (pada) T, jika diberikan tT terdapat suatu sS sedemikian sehingga (s)=t. Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan pemetaan satu-satu jika untuk sembarang s1s2 maka (s1)(s2)

DEFINISI Pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S ke T disebut korespondensi satu-satu.

DEFINISI Dua pemetaan ,  dari S kedalam T dikatakan sama, jika (s)= (s) untuk setiap s anggota S. Jika  : S  T dan : T U maka komposisi dari  dan  adalah pemetaan : SU yang didefinisikan dengan (s)=((s)) untuk setiap s anggota S

Contoh Misalkan S = {x1,x2,x3} dan T = S. Misalkan :SS yang didefinisikan dengan (x1) = x2, (x2) = x3, (x3) = x1 dan  :SS dengan (x1) = x1, (x2) = x3, (x3) = x2 Apakah   =  ?

Contoh 2. Misalkan S Himpunan bilangan bulat, T = SxS, andaikan :ST yang didefinisikan dengan (m) =(m-1,1). Misalkan U=S dan andaikan bahwa : TU yang didefinisikan dengan (m,n) = m+n. Sehingga :SS, demikian juga :TT. Apa yang dapat dikatakan antara  dan 

Contoh 3. Misalkan S Himpunan bilangan real, T himpunan bilangan bulat dan U={E,0}. Definisikan  :ST dengan (s) = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan s, dan : TU yang didefinisikan dengan (n) = E jika n genap dan (n) = 0 jika n ganjil. Sebagai catatan  tidak dapat didefinisikan.

Lemma Jika : ST, :T U dan :UV, maka ()= () Misalkan : ST, :T U; maka:   adalah pada jika  dan  pada.   adalah satu-satu jika  dan  satu-satu.

Lemma Pemetaan : ST, :S U adalah korespondensi satu-satu diantara S dan T jika terdapat pemetaan :TS sedemikian sehingga  dan  adalah pemetaan identitas pada S dan T Masing-masing.

Definisi Jika S suatu himpunan tak kosong maka A(S) adalah himpunan semua pemetaan satu-satu dan pada dari S pada dirinya sendiri.

Teorema Jika , ,  adalah elemen A(S), maka : 1.  adalah di A(S) 2. ()= () 3. Terdapat suatu elemen (pemetaan identitas) di A(S) sedemikian sehingga 4. Terdapat elemen anggaota A(S) sedemikian

Lemma Jika S mempunyai lebih dari dua unsur, maka kita dapat menemukan dua unsur ,  dalam A(S) sedemikian sehingga   

http://salamsalenda.wordpress.com